Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì \(a,b > 0\) nên ta có: \(P = \frac{3}{2}{\log _a}b = \frac{3}{2}.3 = \frac{9}{2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\(\log 4000 = \log \left( {{{4.10}^3}} \right) = \log 4 + \log {10^3} = \log 4 + 3 = a + 3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \({\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50 = 2{\log _3}50 = 2{\log _3}\left( {10.5} \right)\)

\( = 2\left( {{{\log }_3}10 + {{\log }_3}5} \right)\)

\( = 2\left( {{{\log }_3}10 + {{\log }_3}15 - {{\log }_3}3} \right)\)

\( = 2\left( {a + b - 1} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\(\left\{ \begin{array}{l}{a^x} > {a^y}\\0 < a < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x < y\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 1\).

Mà \(\frac{1}{{\sqrt 7  - \sqrt 5 }} > 1\) nên \[y = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)}^x}}}\] đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta thấy (C₁) là hàm đồng biến nên \(a > 1.\)

Và (C₂) là hàm nghịch biến nên \(0 < b < 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số xác định \[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x <  - 1\end{array} \right..\]

Vậy tập xác định của hàm số là \[{\rm{D}} = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị, suy ra:

\({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({\log _b}x = 3\) nên \({\log _b}{x_1} = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {b^3}.\)

\({x_2}\) là nghiệm của phương trình \({\log _a}x = 3\) nên \({\log _a}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {a^3}.\)

Do \({x_2} = 2{x_1} \Rightarrow {a^3} = 2.{b^3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \sqrt[3]{2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\({3^{{x^2} - 3x + 8}} = {9^{2x - 1}}\)\[ \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 3x + 8}} = {3^{2\left( {2x - 1} \right)}}\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 8 = 4x - 2\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\]\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\).

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\x - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\).

\(\begin{array}{l}{\log _7}\left( {x + 1} \right) = 1 - {\log _7}\left( {x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {x + 1} \right) + {\log _7}\left( {x - 5} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 7\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

So với điều kiện, phương trình đã cho có \(1\) nghiệm \(x = 6\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2.9^x} - {5.6^x} + {3.4^x} < 0\\ \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{9}{4}} \right)^x} - 5.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 3 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} < \frac{3}{2} \Leftrightarrow 0 < x < 1\end{array}\).

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( {0;1} \right)\) suy ra \(a = 0;\;b = 1 \Rightarrow a + 3b = 3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có

\[\begin{array}{l}4\log _4^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 4.\frac{1}{2}\log _2^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)^2} - {\log _2}x + 1 \le 0\end{array}\].

Đặt \(t = {\log _2}x\), ta được: \[2{\left( {t - 1} \right)^2} - t + 1 \le 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 3 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le \frac{3}{2}\].

Suy ra \[1 \le {\log _2}x \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 \le x \le {2^{\frac{3}{2}}}\].

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên \(x = 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x\), bất phương trình trở thành \({t^2} - 3yt + 2{y^2} < 0\,\,\left( * \right)\).

\(\Delta  = {\left( {3y} \right)^2} - 4.2{y^2} = {y^2} > 0,\,\forall y\)nguyên dương, tam thức có hai nghiệm \(t = y \vee t = 2y\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow y < t < 2y\) hay \(y < {\log _2}x < 2y \Leftrightarrow {2^y} < x < {2^{2y}}\).

Vì \(x,y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(x \in A = \left\{ {{2^y} + 1\,;\,{2^y} + 2\,;\,\,...\,\, & ; & \,{2^{2y}} - 1} \right\}\).

Số phần tử của tập \(A\) là \(\left( {{2^{2y}} - 1} \right) - \left( {{2^y} + 1} \right) + 1 = {2^{2y}} - {2^y} - 1\).

Giả thiết bài toán có không quá \(4031\) số nguyên \(x\) nên ta có: \({2^{2y}} - {2^y} - 1 \le 4031\).

\( \Leftrightarrow {2^{2y}} - {2^y} - 4032 \le 0\,\,\, \Leftrightarrow  - 63 \le {2^y} \le 64\,\,\, \Leftrightarrow y \le 6\).

Vì \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(y \in E = \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}\). Số phần tử của tập hợp \(E\) là 6.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).

Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

b) Vì \(a = 3 > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

c) Thay \(x = 2\) vào hàm số ta có \(y = {\log _3}7\).

Do đó đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;{{\log }_3}7} \right)\).

d) Vì \(x \in \left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) hàm số đồng biến nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{4}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{4}{5} - 3} \right) = 0\);

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{12}}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{{12}}{5} - 3} \right) = 2\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\)  là \(0 + 2 = 2\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

c) Vì hàm số \(y = {\log _c}x\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(0 < c < 1\).

Hàm số \(y = {\log _a}x;{\log _b}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(a > 1;b > 1\).

Với \(x > 1\) thì \({\log _b}x < {\log _a}x\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _x}b > 1\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b > 1\)\( \Leftrightarrow b > a\).

Do đó \(0 < c < 1 < a < b\).

d) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = 3\\{\log _b}{x_2} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {a^3}\\{x_2} = {b^3}\end{array} \right.\).

Mà \({x_2} = 2{x_1}\) nên \({b^3} = 2{a^3}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).

b) Ta có \(f\left( {\frac{9}{5}} \right) - f\left( 1 \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{9}{5} - 3} \right) - {\log _3}\left( {5.1 - 3} \right) = {\log _3}6 - {\log _3}2 = {\log _3}3 = 1\).

c) Có \(f\left( x \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 5x - 3 = 3\)\( \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}\) (thỏa mãn điều kiện câu a).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{6}{5}\).

d) Có \(f\left( x \right) \le 2\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) \le 2\)\( \Leftrightarrow 5x - 3 \le 9\)\( \Leftrightarrow x \le \frac{{12}}{5}\).

Kết hợp với điều kiện \(x > \frac{3}{5}\), ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\frac{3}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình có đúng 2 số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Với \(m = 0\) thì phương trình có dạng \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right) = 0\).

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - 5x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\).

b) \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right)\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 5x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 2 \) hoặc \(x = 3 - 2\sqrt 2 \).

Kết hợp với điều kiện ở câu a, ta có nghiệm của phương trình là \(x = 3 + 2\sqrt 2 \).

c) Với \(m = 7\) thì phương trình có dạng \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\).

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - 5x + 7 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\).

\({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 5x + 7\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = 4\).

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2;4} \right\}\).

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là \(2 + 4 = 6\).

d) \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + m} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x - 1 = {x^2} - 5x + m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\m =  - {x^2} + 6x - 1\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 6x - 1\) với \(x > 1\).

Ta có \(f'\left( x \right) =  - 2x + 6;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(4 < m < 8\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).

b) Ta có \(f\left( x \right) = {25^x} - {5^{1 + x}} - 6\)\( = {5^{2x}} - {5.5^x} - 6\)\( = \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right)\).

c) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành là nghiệm của phương trình

\(f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {5^x} - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow {5^x} = 6\)\( \Leftrightarrow x = {\log _5}6\).

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Do đó số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành bằng 1.

d) Ta có \(f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow {5^x} \ge 6\)\( \Leftrightarrow x \ge {\log _5}6\)\( \Leftrightarrow x \ge {\log _5}2 + {\log _5}3\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left[ {{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3; + \infty } \right)\).

Suy ra \(a = 2;b = 3\). Do đó \({e^{\ln a + 2\ln b}} = {e^{\ln 2 + 2\ln 3}}{e^{\ln 18}} = 18\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\4 - x > 0\\4 + x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\ - 4 < x < 4\end{array} \right.\).

b) \(f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x}  + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3} - {\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\)

\(f\left( x \right) = \frac{1}{2}.2{\log _2}\left( {4 - x} \right) + \frac{1}{3}.3{\log _2}\left( {4 + x} \right) - \frac{1}{2}.2{\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2\)

\[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {4 - x} \right) + {\log _2}\left( {4 + x} \right) - {\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2\].

c) d)  Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\ - 4 < x < 4\end{array} \right.\)

\[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) + {\log _2}\left( {4 + x} \right) - {\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {16 - {x^2}} \right) = {\log _2}4\left| {x + 1} \right|\]

\[ \Leftrightarrow 16 - {x^2} = 4\left| {x + 1} \right|\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}16 - {x^2} = 4\left( {x + 1} \right)\\16 - {x^2} =  - 4\left( {x + 1} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - 12 = 0\\{x^2} - 4x - 20 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 6\\x = 2 + 2\sqrt 6 \\x = 2 - 2\sqrt 6 \end{array} \right.\].

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x = 2;x = 2 - 2\sqrt 6 \).

Vậy tổng các nghiệm là \(4 - 2\sqrt 6 \).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \(a = \frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) Thay \(x = 3\) vào hàm số ta được \(y = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}3\)\( =  - 2{\log _3}3 =  - 2\).

c) Vì hàm số nghịch biến với \(x \in \left[ {\frac{1}{3};9} \right]\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{3};9} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{3} = 2\);

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{3};9} \right]} f\left( x \right) = f\left( 9 \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}9 =  - 4\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{1}{3};9} \right]\) là \( - 2\).

d) Ta có \(f\left( {\frac{1}{a}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{a} = 2{\log _3}a\); \(f\left( b \right) =  - 2\log b\).

Do đó \(2f\left( {\frac{1}{a}} \right) + f\left( b \right) = 4{\log _3}a - 2{\log _3}b\)\( = {\log _3}\frac{{{a^4}}}{{{b^2}}} = {\log _3}\frac{{{{81}^2}{b^2}}}{{{b^2}}} = {\log _3}{81^2} = 8\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \({a^x} = {b^x}\) luôn có duy nhất một nghiệm \(x = 0\).

c) Hai hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

d) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(a > 1\); hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(0 < b < 1\).

Do đó \(0 < b < 1 < a\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Khối lượng vi khuẩn ban đầu là \(M\left( 0 \right) = {50.1,06^0} = 50\)(g).

b) Vì \(1,06 > 1\) nên hàm số \(M\left( t \right) = {50.1,06^t}\) đồng biến.

Do đó khối lượng vi khuẩn tăng dần theo thời gian.

c) Khối lượng vi khuẩn sau 6 giờ là \(M\left( 6 \right) = {50.1,06^6} \approx 70,9\)(g).

d) Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ là \(M\left( {24} \right) = {50.1,06^{24}} \approx 202,4\) (g).

Có \(202,4:50 \approx 4,05\).

Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ gấp khoảng 4,05 lần số lượng vi khuẩn ban đầu.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Điều kiện: \(x + 8 > 0 \Leftrightarrow x >  - 8\).

Tập xác định của hàm số \(y = g\left( x \right)\) là \(D = \left( { - 8; + \infty } \right)\).

b) \(f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 9 - {3^x} \ge 0\)\( \Leftrightarrow {3^x} \le 9 \Leftrightarrow x \le 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;2} \right]\).

c) \(f\left( x \right) =  - 6\)\( \Leftrightarrow 9 - {3^x} =  - 6\)\( \Leftrightarrow {3^x} = 15 \Leftrightarrow x = {\log _3}15 > 0\).

d) \(g\left( x \right) \le 2\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 8} \right) \le 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 8 > 0\\x + 8 \le 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 8\\x \le 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - 8 < x \le 1\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 8;1} \right]\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

\(P = {\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[5]{b}} \right) = {\log _a}{a^2} + {\log _a}\sqrt[5]{b}\)\( = 2 + \frac{1}{5}{\log _a}b\)\( = 2 + \frac{1}{5}.5 = 3\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

Ta có \(P = {2^x} + {2^{ - x}} > 0\).

Ta có \({P^2} = {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = {4^x} + {4^{ - x}} + {2.2^x}{.2^{ - x}} = 23 + 2 = 25\).

Do đó \(P = 5\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 10

Áp dụng công thức tính lãi kép, sau 10 năm số tiền cả gốc và lãi bà Hạnh thu về là:

\(A{\left( {1 + r} \right)^n} = 100{\left( {1 + 0,08} \right)^{10}} \approx 215,892\) triệu đồng.

Suy ra số tiền lãi bà Hạnh thu về sau 10 năm là 215,892 – 100 = 115,892 triệu đồng.

Do đó \(a = 1;b = 9\) \( \Rightarrow ab + 1 = 10\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 4

Ta có \(A = 150\) (triệu đồng), \(r = 8,4\% \).

Vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng nghĩa là \({T_n} > 200\) (triệu đồng).

Ta có \(150{\left( {1 + 8,4\% } \right)^n} > 200\)\( \Leftrightarrow {1,084^n} > \frac{4}{3}\)\( \Leftrightarrow n > {\log _{1,084}}\frac{4}{3} \approx 3,6\).

Vậy thực tế thì sau ít nhất 4 năm người đó thu được cả vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

\(M = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right)\)\( = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.{a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{4}{5}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}}} \right)\)\( = {\log _a}\left( {\frac{{{a^{\frac{{52}}{{15}}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}}} \right)\)\( = {\log _a}{a^3} = 3\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

Ta có \(p{H_A} =  - \log {x_A};p{H_B} =  - \log {x_B}\).

Vì \(p{H_A} - p{H_B} = 0,7\) nên \( - \log {x_A} + \log {x_B} = 0,7\)\( \Leftrightarrow \log \frac{{{x_B}}}{{{x_A}}} = 0,7\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x_B}}}{{{x_A}}} = {10^{0,7}} \approx 5\).

Vậy dung dịch B có nồng độ ion \({H^ + }\) gấp 5 lần nồng độ ion \({H^ + }\) của dung dịch A.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 726

Điều kiện: \(x > 0\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{7^x} - 49 > 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 6 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^x} > {7^2}\\1 < {\log _3}x < 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\3 < x < 729\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x < 729\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{7^x} - 49 < 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 6 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^x} < {7^2}\\\left[ \begin{array}{l}{\log _3}x < 1\\{\log _3}x > 6\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\\left[ \begin{array}{l}x < 3\\x > 729\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x < 2\).

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {0;2} \right) \cup \left( {3;729} \right)\).

Vậy có tất cả 726 số nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 14

Điều kiện \({5^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0\).

Ta có \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \le m \Leftrightarrow {5^x} - 1 \le {2^m}\).

Ta có \({5^x} - 1 \ge 4\) với mọi \(x \ge 1\).

Để bất phương trình có nghiệm \(x \ge 1\) thì \({2^m} \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 2\).

Vì \(m \in \left[ {0;5} \right]\) nên \(m = \left\{ {2;3;4;5} \right\}\).

Do đó tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) bằng 14.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 4

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\x > 2y\end{array} \right.\). Đặt \({\log _4}x = {\log _9}y = {\log _6}\left( {x - 2y} \right) = t\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {9^t}\\x - 2y = {6^t}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {4^t} - {2.9^t} = {6^t}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 2\).

Từ đó \(\frac{x}{y} = {\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^t}} \right]^2} = {2^2} = 4\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,08

Gọi \(A\) là dân số của một quốc gia ban đầu (triệu người) và \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hằng năm của quốc gia đó.

Dân số của quốc gia đó sau năm thứ nhất là: \({A_1} = A + A.r = A\left( {1 + r} \right)\).

Dân số của quốc gia đó sau năm thứ hai là:

\({A_2} = {A_1} + {A_1}.r = {A_1}\left( {1 + r} \right) = A{\left( {1 + r} \right)^2} = 30000000{\left( {1 + r} \right)^2} = 30048288\)

\( \Rightarrow {\left( {1 + r} \right)^2} = 1,0016096 \Rightarrow 1 + r \approx 1,0008 \Rightarrow r \approx 0,08\% \).