Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[y' = 5\cos x + 3\sin x\]\[ \Rightarrow y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3}  \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\).

Vậy \(S = f\left( 1 \right) + 4f'\left( 1 \right) = 4\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \[{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\].

\[f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2 - 3{x^2}} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2 - 3{x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2 - 3{x^2}} }} = \frac{{ - 6x}}{{2\sqrt {2 - 3{x^2}} }} = \frac{{ - 3x}}{{\sqrt {2 - 3{x^2}} }}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \(y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1\)\( \Rightarrow y' = 5{x^4} - 12{x^3} + 1 \Rightarrow y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\(y =  - 3\cos x\)\( \Rightarrow y' = 3\sin x;\,y'' = 3\cos x\).

\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\[y = \sqrt {1 + 3x - {x^2}} \]\[ \Rightarrow {y^2} = 1 + 3x - {x^2}\]

\[ \Rightarrow 2y.y' = 3 - 2x\]\[ \Rightarrow 2.{\left( {y'} \right)^2} + 2y.y'' =  - 2\]\[ \Rightarrow {\left( {y'} \right)^2} + y.y'' =  - 1\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\(y = {\sin ^2}x \Rightarrow y' = 2\sin x.cosx = sin2x\)\( \Rightarrow y'' = 2\cos 2x\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(v\left( t \right) = s'(t) = 0,8\pi \cos \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\).

\(a\left( t \right) = v'(t) =  - {\left( {0,8\pi } \right)^2}\sin \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Thời điểm vận tốc bằng 0 là \(v\left( t \right) = 0,8\pi \cos \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 0,8\pi t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \)

\( \Leftrightarrow t = \frac{5}{{24}} + \frac{5}{4}k,k \in \mathbb{Z}\).

Tại \(t = \frac{5}{{24}} + \frac{5}{4}k,k \in \mathbb{Z}\) thì giá trị tuyệt đối của gia tốc là \[\left| {a\left( t \right)} \right| = \left| { - {{\left( {0,8\pi } \right)}^2}\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)} \right| = {\left( {0,8\pi } \right)^2} \approx 6,3\left( {{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(f''\left( x \right) =  - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\).

a) \(f''\left( { - 2} \right) =  - \frac{2}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^3}}} = 2\).

b) Ta có \(k = f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}\).

c) Có \(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right) = \ln \frac{x}{{x + 1}}\).

Có \(g'\left( x \right) = \frac{1}{{\frac{x}{{x + 1}}}}.{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Ta có \(g'\left( 1 \right) + g'\left( 2 \right) + ... + g'\left( {100} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}} = 1 - \frac{1}{{101}} = \frac{{100}}{{101}} \approx 0,99\).

d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\); \(f'\left( 0 \right) =  - 3\).

b) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 2\) bằng \(f'\left( 2 \right) = {3.2^2} - 3 = 9.\)

c) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).

d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {2;0} \right)\) là \(y = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + 0 = 9x - 18\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm \(t\) là \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 20 - 5t\).

b) Vận tốc tức thời ô tô ngay khi đạp phanh (\(t = 0\)) là \(v\left( 0 \right) = 20 - 5.0 = 20\) m/s.

c)  Đổi 20 m/s = 72 km/h > 70 km/h.

Do đó xe ô tô đã chạy quá tốc độ cho phép.

d) Khi xảy ra va chạm ô tô để lại vết trượt dài 20,4 m  nên ta có:

\(20t - \frac{5}{2}{t^2} = 20,4\)\( \Leftrightarrow t = 6,8\) hoặc \(t = 1,2\).

Vì \(0 \le t \le 4\) nên \(t = 1,2\).

Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là \(v\left( {1,2} \right) = 20 - 5.1,2 = 14\)m/s.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Hàm số có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\). Suy ra \(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}\).

c) Có \(y = f\left( {{x^2} + 1} \right) = \sqrt {{x^2} + 1} \).

Suy ra \(f'\left( {{x^2} + 1} \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

d) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có hệ số góc bằng \(f\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(y' = {e^{{x^3} + 3x + 1}}.{\left( {{x^3} + 3x + 1} \right)^\prime } = {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right)\).

b) Có \({x_0} = 0\)\( \Rightarrow {y_0} = e\).

Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = y'\left( 0 \right) = 3e\).

Phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3e\left( {x - 0} \right) + e = 3ex + e\).

c) \(y' = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right) = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {{x^2} + 1} \right) = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + 3x + 1 = 1\)\( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 0\).

d) Ta có \(y' \ge 2mx.{e^{{x^3} + 3x + 1}} \Leftrightarrow {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right) \ge 2mx.{e^{{x^3} + 3x + 1}}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 \ge 2mx\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 3 \ge 0\).

Để bất phương trình nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 9 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 3\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).

Vậy hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

c) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{6}\) nên \(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{6}\)\( \Leftrightarrow 6\left( {x + 1} \right) - 6x = x\left( {x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 3\).

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là \( - 1\).

d) \(P = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) + ... + f'\left( {2023} \right) + f'\left( {2024} \right)\)

\( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2025}}\)

\( = 1 - \frac{1}{{2025}} = \frac{{2024}}{{2025}}\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\).

b) Có \(y'\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 < 0\)\( \Leftrightarrow  - 1 < x < 3\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 1;3} \right)\).

c) Giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Oy\) là \(\left( {0;10} \right)\).

Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = y'\left( 0 \right) =  - 9\).

d) Có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 12 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 12 \ge  - 12\).

Khi đó \(y'\) nhỏ nhất là \( - 12\) khi \(x = 1\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y =  - 1\).

Vậy tiếp tuyến có phương trình là \(y =  - 12\left( {x - 1} \right) - 1 =  - 12x + 11\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có \(f'\left( x \right) = \cos x - 2\sin 2x\);

b) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0;4} \right)\) có hệ số góc là \(k = y'\left( 0 \right) = \cos 0 - 2\sin 0 = 1\).

Phương trình tiếp tuyến là: \(y = x + 4\).

c) Có \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x - 2\sin 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x - 4\sin x\cos x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 4\sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \arcsin \frac{1}{4} + l2\pi \\x = \pi  - \arcsin \frac{1}{4} + l2\pi \end{array} \right.\).

Với \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) thì phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2};x = \frac{{3\pi }}{2};x = \arcsin \frac{1}{4};x = \pi  - \arcsin \frac{1}{4}\).

d) \[f'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) - 2\sin \left( { - 2.\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2\].

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) S

Ta có \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9\); \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 6\).

a) \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 3\).

Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi \(t = 3\;{\rm{s}}\).

b) Có \(a\left( 3 \right) = 6.3 - 6 = 12\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).

c) Có \(a\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\;{\rm{s}}\).

d) \(v\left( 2 \right) = {3.2^2} - 6.2 - 9 =  - 9\;{\rm{m/s}}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

Có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\); \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) =  - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).

a) Có \(a\left( 3 \right) =  - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 12\pi } \right) =  - 16{\pi ^2}\).

b) \(v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 12\pi } \right) = 4\pi \).

c) \(v\left( t \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).

Vì \( - 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 1\) nên \(v\left( t \right) \le 4\pi \sqrt 2 \). Suy ra vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) (cm/s).

 d) Vì \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2  \le  - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) nên gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) .

Hướng dẫn giải

Trả lời: 245

Ta có \(f'\left( t \right) = 70t - 5{t^2}\).

Vì \(f'\left( t \right)\) có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống dưới nên đạt giá trị lớn nhất tại \(t =  - \frac{{70}}{{2.\left( { - 5} \right)}} = 7\).

Lúc đó, tốc độ truyền bệnh bằng \(f'\left( 7 \right) = 70.7 - {5.7^2} = 245\) (người/ngày).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 20

Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} - 4t + 10\); \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 4\).

Với \(v = 10\;{\rm{m/s}}\) thì \({t^3} - 3{t^2} - 4t + 10 = 10\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t =  - 1\\t = 0\end{array} \right.\). Do \(t > 0\) nên \(t = 4\).

Do đó gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc \(v = 10\;{\rm{m/s}}\) là \(a\left( 4 \right) = 20\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + 1\);

Có \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{3 - \sqrt 6 }}{3}\).

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là 2.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\);

Có \(y' \le 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\). Do đó có 5 giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

\(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Suy ra \(a = 1;b = 4;c = 7\). Do đó \(P = a + \frac{b}{4} + \frac{c}{7} = 3\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,5

\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\) \( \Rightarrow y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{2\sqrt {3 - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {2.3 + 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 7 }}\).

Suy ra \(a = \frac{1}{2};b = 1 \Rightarrow a + b = 1,5\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: −2

Ta có \(d:3x + y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow y =  - 3x + 4\); \(y' = \frac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:3x + y - 4 = 0\) nên \(y'\left( 1 \right) =  - 3\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} =  - 3\)\( \Leftrightarrow  - 2 - ab =  - 3{\left( {a - 2} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow  - 3{a^2} + 12a + ab - 10 = 0\) (1).

Mà \(y\left( 1 \right) =  - 2\) nên \(\frac{{1 + b}}{{a - 2}} =  - 2\)\( \Leftrightarrow  - 2a - b + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow b =  - 2a + 3\) (2).

Thay (2) vào (1), ta có \( - 3{a^2} + 12a + a\left( { - 2a + 3} \right) - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow  - 5{a^2} + 15a - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(a = 2\).

Với \(a = 1\) thì \(b = 1\) \( \Rightarrow a - 3b = 1 - 3.1 =  - 2\).

Với \(a = 2\) thì \(b =  - 1\) (loại vì \(ab \ne  - 2\)).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 6

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2;f''\left( x \right) = 6x\).

Do đó \(f''\left( 1 \right) = 6.1 = 6\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 22

Ta có \(f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 3\).

Do đó \({x^2} - 4x = 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2 - \sqrt 7 \) hoặc \(x = 2 + \sqrt 7 \).

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là \({\left( {2 - \sqrt 7 } \right)^2} + {\left( {2 + \sqrt 7 } \right)^2} = 22\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Ta có \(y' = \frac{4}{{2\sqrt {4x + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x + 1} }}\).

Để \(y'\left( x \right) = \frac{2}{3}\) thì \(\frac{2}{{\sqrt {4x + 1} }} = \frac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow 4x + 1 = 9 \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn).