Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

a) \(A = 1,25 + \left| {2,5 - x} \right|\)

Ta có: \(\left| {2,5 - x} \right| \ge 0\) với mọi \(x\)

Do đó, \(1,25 + \left| {2,5 - x} \right| \ge 0 + 1,25\) hay \(1,25 + \left| {2,5 - x} \right| \ge 1,25\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left| {2,5 - x} \right| = 0\) suy ra \(2,5 - x = 0\) khi \(x = 2,5\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A = 1,25\) khi \(x = 2,5\).

b) \(B = - 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| - 2011\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\\ - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| \le 0\end{array} \right.\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\).

Suy ra \( - 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| \le 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\).

Do đó, \( - 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| - 2011 \le 0 + \left( { - 2011} \right)\) hay \(B \le - 2011\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} - 2{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\ - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\\left| {3y + 7} \right| = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{{ - 7}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(B = - 2011\) khi \(x = 3\) và \(y = \frac{{ - 7}}{3}\).

c) \(C = {\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} - 1\)

Ta có \({\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\).

Do đó, \({\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} - 1 \ge 0 + \left( { - 1} \right)\) hay \(C \ge - 1\).

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} = 0\), suy ra \(2x + \frac{1}{3} = 0\) hay \(x = \frac{{ - 1}}{6}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C = - 1\) khi \(x = \frac{{ - 1}}{6}\).

d) \(D = \left| {2x - 1} \right| + \left| {2x - 5} \right|\)

Ta có: \(\left| {2x - 1} \right| + \left| {2x - 5} \right| = \left| {2x - 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right| \ge \left| {2x - 1 + 5 - 2x} \right|\)

Suy ra \(\left| {2x - 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right| \ge 4\) hay \(D \ge 4\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(\left( {2x - 1} \right)\left( {5 - 2x} \right) \ge 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\5 - 2x \ge 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x \le \frac{5}{2}\end{array} \right.\) hay \(\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \le 0\\5 - 2x \le 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\x \ge \frac{5}{2}\end{array} \right.\) (loại).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D = 4\) khi và chỉ khi \(\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}\).

e) \(E = \frac{3}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{2024}} + 5}}\)

Ta có: \({\left( {2x - 3} \right)^{2024}} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\({\left( {2x - 3} \right)^{2024}} + 5 \ge 5\)

\(\frac{3}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{2024}} + 5}} \le \frac{3}{5}\) hay \(A \le \frac{3}{5}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \({\left( {2x - 3} \right)^{2024}} = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \frac{3}{5}\) khi và chỉ khi \(x = \frac{3}{2}\).

Hướng dẫn giải

f) \(F = \frac{5}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2} - 1}}\)

Vì \({x^2} \ge 0\) với mọi x nên \({x^2} + 3 \ge 3\)với mọi x

Suy ra \({\left( {{x^2} + 3} \right)^2} \ge 9\)với mọi x

Do đó: \({\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - 1 \ge 8\)với mọi x

Suy ra: \[C = \frac{5}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2} - 1}} \le \frac{5}{8}\]với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\)

Vậy giá trị lớn nhất của C là \(\frac{5}{8}\) tại \(x = 0\).

a) \(A = \frac{5}{{2x - 3}}\)

Điều kiện \(2x - 3 \ne 0\) hay \(x \ne \frac{3}{2}\).

Để \(A\) có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {2x - 3} \right)\) hay \(\left( {2x - 3} \right)\) là ước của \(5\).

Mà các ước của \(5\) là: \( - 5; - 1;1;5.\)

Ta có bảng sau:

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;1;2;4} \right\}\).

b) \(B = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

Điều kiện: \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne - 1\).

Ta có: \(B = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{2x + 2 - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} - \frac{3}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\).

Để \(B\) có giá trị nguyên thì \(3 \vdots \left( {x + 1} \right)\) hay \(\left( {x + 1} \right)\) là ước của \(3\).

Mà ước của \(3\) là: \( - 3; - 1;1;3\).

Ta có bảng sau:

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 4; - 2;0;2} \right\}\).

c) \(C = \frac{5}{{{x^2} - 3}}\)

Điều kiện \({x^2} - 3 \ne 0\) suy ra \(x \ne \sqrt 3 \) và \(x \ne - \sqrt 3 \).

Để \(C\) có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {{x^2} - 3} \right)\) hay \(\left( {{x^2} - 3} \right)\) là ước của \(5\).

Mà ước của \(5\) là: \( - 5; - 1;1;5.\)

Ta có bảng sau:

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 2;2} \right\}\).

d) \(D = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\)

Điều kiện: \(x \ge 0\).

Ta có: \(D = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 - 5}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}.\)

Để \(D\) có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {\sqrt x + 2} \right)\) hay \(\left( {\sqrt x + 2} \right)\) là ước của \(5\).

Mà ước của \(5\) là: \( - 5; - 1;1;5.\)

Nhận thấy \(\sqrt x + 2 \ge 2\) với mọi \(x \ge 0\).

Suy ra \(\sqrt x + 2 = 5\) do đó \(\sqrt x = 3\) và \(x = 9\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 9\) thì \(D\) có giá trị nguyên.

a) \[\frac{{x + 1}}{{99}} + \frac{{x + 2}}{{98}} + \frac{{x + 3}}{{97}} + \frac{{x + 4}}{{96}} = - 4\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) + \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{2}{{98}} + \frac{3}{{97}} + \frac{4}{{96}}} \right) = - 4\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - \left( {1 + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {1 + \frac{2}{{98}}} \right) - \left( {1 + \frac{3}{{97}}} \right) - \left( {1 + \frac{4}{{96}}} \right)\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - \frac{{100}}{{99}} - \frac{{100}}{{98}} - \frac{{100}}{{97}} - \frac{{100}}{{96}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) =  - 100.\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right)\]

\[x = - 100\].

Vậy \[x = - 100\].

b) \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + ... + \frac{{\left( {x + 1} \right) - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{1}{1} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{{2009x - 2008\left( {x + 1} \right)}}{{2009\left( {x + 1} \right)}} = 0\]

\[2009x - 2008x - 2008 = 0\]

\[x - 2008 = 0\]

\[x = 2008\].

Vậy \[x = 2008\].

c) \[\frac{{x - 214}}{{86}} + \frac{{x - 132}}{{84}} + \frac{{x - 54}}{{82}} = 6\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 6 + \frac{{214}}{{86}} + \frac{{132}}{{84}} + \frac{{54}}{{82}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \left( {1 + \frac{{214}}{{86}}} \right) + \left( {2 + \frac{{132}}{{84}}} \right) + \left( {3 + \frac{{54}}{{82}}} \right)\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \frac{{300}}{{86}} + \frac{{300}}{{84}} + \frac{{300}}{{82}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 300\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right)\]

\[x = 300\]

Vậy \[x = 300\].

d) \[\left| {x + \frac{1}{{1.2.3}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{2.3.4}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{3.4.5}}} \right| + .... + \left| {x + \frac{1}{{18.19.20}}} \right| = 19x\]

Do \[\left| {x + \frac{1}{{1.2.3}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{2.3.4}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{3.4.5}}} \right| + .... + \left| {x + \frac{1}{{18.19.20}}} \right| \ge 0\] với mọi \[x\].

Do đó, \[19x \ge 0\], suy ra \[x \ge 0\].

Với mọi \[x \ge 0\], ta có:

\[x + \frac{1}{{1.2.3}} + x + \frac{1}{{2.3.4}} + x + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + x + \frac{1}{{18.19.20}} = 19x\]

\[x + \frac{1}{{1.2.3}} + x + \frac{1}{{2.3.4}} + x + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + x + \frac{1}{{18.19.20}} = 19x\]

\[18x + \left( {\frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + \frac{1}{{18.19.20}}} \right) = 19x\]

\[x = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + \frac{1}{{18.19.20}}\]

\[x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{4.5}}.... + \frac{1}{{18.19}} - \frac{1}{{19.20}}} \right)\]

\[x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{19.20}}} \right)\]

\[x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{380}}} \right)\]

\[x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{380}}} \right)\]

\[x = \frac{{189}}{{760}}\] (thỏa mãn)

Vậy \[x = \frac{{189}}{{760}}\].

e) \(\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| + \left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| + \left| {z - 2004} \right| = 0\)

Vì \[\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| \ge 0\]; \[\left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| \ge 0\]; \[\left| {z - 2004} \right| \ge 0\]

Khi đó để \(\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| + \left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| + \left| {z - 2004} \right| = 0\) thì \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| = 0\\\left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| = 0\\\left| {z - 2004} \right| = 0\end{array} \right.\]

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{19}}{5} = 0\\x + \frac{{1890}}{{1975}} = 0\\z - 2004 = 0\end{array} \right.\], do đó \[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{19}}{5}\\y = - \frac{{1890}}{{1975}} = - \frac{{378}}{{395}}\\z = 2004\end{array} \right.\].

Vậy \[\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{{19}}{5}; - \frac{{378}}{{395}};2004} \right)\]

f) \(\left| {x + \frac{9}{2}} \right| + \left| {y + \frac{4}{3}} \right| + \left| {z + \frac{7}{2}} \right| \le 0\)

Ta có \(\left| {x + \frac{9}{2}} \right| \ge 0\); \(\left| {y + \frac{4}{3}} \right| \ge 0\); \(\left| {z + \frac{7}{2}} \right| \ge 0\)

Mà \(\left| {x + \frac{9}{2}} \right| + \left| {y + \frac{4}{3}} \right| + \left| {z + \frac{7}{2}} \right| \le 0\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + \frac{9}{2}} \right| = 0\\\left| {y + \frac{4}{3}} \right| = 0\\\left| {z + \frac{7}{2}} \right| = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{9}{2} = 0\\y + \frac{4}{3} = 0\\z + \frac{7}{2} = 0\end{array} \right.\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{2}\\y = \frac{{ - 4}}{3}\\z = \frac{{ - 7}}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{9}{2};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 7}}{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải

g) \(\left| {x - 1,5} \right| + \left| {2,5 - x} \right| = 1\)

\(\left| {x - 1,5} \right| + \left| {2,5 - x} \right| = 1\)

Vì \(\left| {x - 1,5} \right| + \left| {2,5 - x} \right| \ge \left| {x - 1,5 + 2,5 - x} \right| = 1\)

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1,5 \ge 0\\2,5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1,5\\x \le 2,5\end{array} \right.\)

Vậy \(1,5 \le x \le 2,5\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

\[{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

\[{\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

...

\[{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\].

Do đó \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \ge 0\]

Mà đề bài cho \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \le 0\]

Suy ra \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = 0\]

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

\[{\left( {{a_k}m - {b_k}n} \right)^{2024}} = 0\]; \[k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}\] nên \[{a_k}m - {b_k}n = 0\,;\,\,k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}\].

Suy ra \[{a_k} = \frac{n}{m}{b_k}\] do đó \[{a_k} = n \cdot {t_k}\,;\,\,{b_k} = m \cdot {t_k}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]

\[\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2025}}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3} + ... + {b_{2025}}}} = \frac{{n.{t_1} + n.{t_2} + n.{t_3} + ... + n.{t_{2025}}}}{{m.{t_1} + m.{t_2} + m.{t_3} + ... + m.{t_{2025}}}}\]

\[ = \frac{{n.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}}{{m.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}} = \frac{n}{m}\].

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có các số \(m\), \(n\), \(p\) khác 0 nên \({m^2} + {n^2} + {p^2} \ne 0\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{nz - py}}{m} = \frac{{px - mz}}{n} = \frac{{my - nx}}{p} = \frac{{mnz - mpy}}{{{m^2}}} = \frac{{npx - mnz}}{{{n^2}}} = \frac{{mpy - npx}}{{{p^2}}}\] \[ = \frac{{mnz - mpy + npx - mnz + mpy - npx}}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = \frac{0}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = 0\]

Từ đó suy ra: \(nz - py = 0\); \(px - mz = 0\); \(my - nx = 0\)

Suy ra \(nz = py\); \(px = mz\); \(my = nx\)

Suy ra \(\frac{n}{y} = \frac{p}{z}\); \(\frac{p}{z} = \frac{m}{x}\); \(\frac{m}{x} = \frac{n}{y}\) (với \(x\), \(y\), \(z\) khác 0)

Suy ra \(\frac{m}{x} = \frac{n}{y} = \frac{p}{z}\).

Vậy \(m\), \(n\), \(p\) lần lượt tỉ lệ với \(x\), \(y\), \(z\) (điều phải chứng minh).

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có: \(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\);

\(\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}}\);

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}\).

Suy ra \(\frac{1}{a} = \frac{1}{c}\); \(\frac{1}{b} = \frac{1}{a}\) hay \(a = b = c\).

Với \(a\), \(b\), \(c\) là ba số khác 0, thay \(b = a\); \(c = a\) vào biểu thức \(M\), ta được:

\(M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}}{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2}}} = 1\).

Vậy \(M = 1\).

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}}\)

\(\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}} - 1\)

\(\frac{{2a + b + c + d - a}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d - b}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d - c}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d - d}}{{\;d}}\)

\(\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{{\;d}}\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(a + b + c + d \ne 0\) nên từ \(\left( 1 \right)\) suy ra: \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{{\;d}}\) hay \(a = b = c = d\).

Với \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) khác 0, thay \(b = a\); \(c = a\) và \(d = a\) vào biểu thức \(M\) ta được:

\(M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}} = \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\).

Vậy \(M = 4\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

\(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{a + b - c + b + c - a + c + a - b}}{{c + a + b}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\)

Suy ra \[a + b - c = c\] suy ra \[a + b = 2c\];

\[b + c - a = a\] suy ra \[b + c = 2a\];

\[c + a - b = b\] suy ra \[c + a = 2b\].

\[B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right) = \frac{{a + b}}{a} \cdot \frac{{c + a}}{c} \cdot \frac{{b + c}}{b} = \frac{{2c}}{a} \cdot \frac{{2b}}{c} \cdot \frac{{2a}}{b} = 8\]

Vậy \[B = 8\].

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{{{x^2} - yz}}{a} = \frac{{{y^2} - zx}}{b} = \frac{{{z^2} - xy}}{c}\)

Suy ra \(\frac{a}{{{x^2} - yz}} = \frac{b}{{{y^2} - zx}} = \frac{c}{{{z^2} - xy}}\)

Suy ra \({\left( {\frac{a}{{{x^2} - yz}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{{y^2} - zx}}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{{{z^2} - xy}}} \right)^2}\)

Lại có \[\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{x^2} - yz} \right)}^2}}} = \frac{{bc}}{{\left( {{y^2} - zx} \right)\left( {{z^2} - xy} \right)}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{\left( {{x^4} - 2{x^2}yz + {y^2}{z^2}} \right) - \left( {{y^2}{z^2} - x{y^3} - x{z^3} + {x^2}yz} \right)}}\]

\[ = \frac{{{a^2} - bc}}{{{x^4} - 3{x^2}yz + x{y^3} + x{z^3}}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]

Tương tự \[\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {{y^2} - zx} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\];

\[\frac{{{c^2}}}{{{{\left( {{z^2} - xy} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]

Suy ra \[\frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]

Do đó \[\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{b^2} - ac}}{y} = \frac{{{c^2} - ab}}{z}\].

Hướng dẫn giải

Đổi 4 giờ 15 phút = \(\frac{{17}}{4}\) giờ, 3 giờ 45 phút = \(\frac{{15}}{4}\) giờ.

Gọi \(a,b\) lần lượt là vận tốc xe ô tô xuất phát từ \(A\) và xuất phát từ \(B\) \(\left( {a,b > 0,{\rm{ km/h}}} \right)\).

Hai ô tô cùng khởi hành và đi ngược chiều nhau, đến điểm gặp nhau xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn xe thứ nhất là \(20{\rm{ km}}\) nên vị trí gặp nhau cách điểm chính giữa đoạn đường \(AB\) là \(10{\rm{ km}}\).

Gọi độ dài quãng đường \(AB\) là \(s{\rm{ }}\left( {s > 0,{\rm{km}}} \right)\).

Vì thời gian đi ngược chiều của hai xe là như nhau nên ta có:

\(\frac{{\frac{1}{2}s - 10}}{a} = \frac{{\frac{1}{2}s + 10}}{b}\) suy ra \(\frac{{2\left( {\frac{1}{2}s - 10} \right)}}{a} = \frac{{2\left( {\frac{1}{2}s + 10} \right)}}{b}\) hay \(\frac{{s - 20}}{a} = \frac{{s + 20}}{b}\) (1)

Nếu cùng đi hết quãng đường \(AB\) như nhau thì vận tốc và thời gian của mỗi xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, suy ra \(\frac{{17}}{4}a = \frac{{15}}{4}b\) suy ra \(17a = 15b\), do đó \(\frac{a}{{15}} = \frac{b}{{17}}\) (2)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được: \(\frac{{s - 20}}{{15}} = \frac{{s + 20}}{{17}}\)

Suy ra \(17\left( {s - 20} \right) = 15\left( {s + 20} \right)\)

Hay \(17s - 340 = 15s + 300\)

        \(2s = 340 + 300\)

         \(s = 320\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy quãng đường \(AB\) dài \(150{\rm{ km}}\).

Hướng dẫn giải

Gọi số gạo có trong mỗi kho lần lượt là \(x,y,z{\rm{ }}\left( {x,y,z > 0} \right)\).

Vì gạo được chứa trong ba kho tỉ lệ với \(1,3;{\rm{ 2}}\frac{1}{2};{\rm{ 1}}\frac{1}{5}\) nên ta có \(\frac{x}{{1,3}} = \frac{y}{{2\frac{1}{2}}} = \frac{z}{{1\frac{1}{5}}}\) (1)

Gạo trong kho thứ hai nhiều hơn gạo trong kho thứ nhất \(43,2\) tấn nên có \(y - x = 43,2\) (2)

Từ (1) và (2) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{1,3}} = \frac{y}{{2\frac{1}{2}}} = \frac{z}{{1\frac{1}{5}}} = \frac{{y - x}}{{2\frac{1}{2} - 1,3}} = \frac{{43,2}}{{1,2}} = 36\)

Do đó, \(x = 1,3 \cdot 36 = 46,8\); \(y = 2\frac{1}{2} \cdot 36 = 90\); \(z = 1\frac{1}{5} \cdot 36 = 43,2\).

Vậy ban đầu trong kho thứ nhất có \(46,8\) tấn gạo, kho thứ hai có 90 tấn gạo, kho thứ ba có \(43,2\) tấn gạo.

Sau một tháng, kho thứ nhất đã tiêu thụ số tấn gạo là: \(46,8 \cdot 40\% = 18,72\) (tấn)

Sau một tháng, kho thứ hai đã tiêu thụ số tấn gạo là: \(90 \cdot 30\% = 27\) (tấn)

Sau một tháng, kho thứ ba đã tiêu thụ số tấn gạo là: \(43,2 \cdot 25\%  = 10,8\) (tấn).

Vậy sau một tháng, khối lượng gạo đã tiêu thụ là: \(18,72 + 27 + 10,8 = 56,52\) (tấn gạo)

Hướng dẫn giải

Gọi tổng số vở ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được là \[x\] \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\].

Gọi số vở dự định chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(a,b,c\).

Theo đề, ban đầu chia vở cho ba lớp theo tỉ lệ \(7;6;5\) nên ta có:

\(\frac{a}{7} = \frac{b}{6} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{7 + 6 + 5}} = \frac{x}{{18}}\).

Suy ra \(a = \frac{{7x}}{{18}};b = \frac{{6x}}{{18}};c = \frac{{5x}}{{18}}\) (1)

Gọi số vở chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C sau khi thay đổi là \(a',b',c'\). Ta có:

\(\frac{{a'}}{6} = \frac{{b'}}{5} = \frac{{c'}}{4} = \frac{{a' + b' + c'}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{x}{{15}}\)

Suy ra \(a' = \frac{{6x}}{{15}};b' = \frac{{5x}}{{15}};c' = \frac{{4x}}{{15}}\) (2)

So sánh (1) và (2) nhận thấy \(a < a';b = b',c > c'\).

Do đó, lớp nhận được ít hơn 12 quyển là lớp 7C.

Suy tra \(\frac{{5x}}{{18}} - \frac{{4x}}{{15}} = 12\) hay \(\frac{x}{{90}} = 12\) nên \(x = 1080\) (quyển).

Số vở lớp 7A nhận trong thực tế là: \(a' = \frac{{6x}}{{15}} = \frac{{6.1080}}{{15}} = 432\) (quyển)

Số vở lớp 7B nhận trong thực tế là: \(b' = \frac{{5x}}{{15}} = \frac{{5.1080}}{{15}} = 360\) (quyển)

Số vở lớp 7C nhận trong thực tế là: \(c' = \frac{{4x}}{{15}} = \frac{{4.1080}}{{15}} = 288\) (quyển)

Vậy trong thực tế ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được lần lượt 432 quyển, 360 quyển và 288 quyển.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là thời gian hoàn thành công việc với năng suất lao động \(100\% \).

      \(y\) là thời gian hoàn thành với năng suất \(125\% \).

Vì công nhân không đổi nên thời gian hoàn thành tỉ lệ nghịch với năng suất lao động nên:

\(x.100 = y.125\) hay \(\frac{y}{x} = \frac{{100}}{{125}} = \frac{4}{5} = 80\% \).

Do đó, nếu số công nhân không thay đổi thì thời gian làm xong việc giảm đi \(100\% - 80\% = 20\% \).

Hướng dẫn giải

Theo đề, phần công việc làm thêm trong 4 giờ là: \[1 - \frac{1}{{18}} - \frac{5}{9} = \frac{7}{{18}}\] (công việc)

Phần công việc mà người thứ ba làm là \[\frac{1}{{18}}\] công việc.

Gọi năng suất của người thứ nhất là \[x\], năng suất của người thứ hai làm được là \[y\].

Vì trong 7 giờ người thứ nhất và 4 giờ người thứ hai làm được \[\frac{5}{9}\] công việc nên ta có:

\[7x + 4y = \frac{5}{9}\] nên \[4y = \frac{5}{9} - 7x\] (1)

Trong 4 giờ nữa, cả hai cùng làm được \[\frac{7}{{18}}\] công việc nên ta có: \[4x + 4y = \frac{7}{{18}}\] (2)

Thay (1) vào (2), ta được: \[4x + \frac{5}{9} - 7x = \frac{7}{{18}}\] hay \[\frac{5}{9} - 3x = \frac{7}{{18}}\] do đó \[3x = \frac{5}{9} - \frac{7}{{18}}\].

Suy ra \[x = \frac{1}{{18}}\].

Do đó, \[y = \left( {\frac{7}{{18}} - 4 \cdot \frac{1}{{18}}} \right):4 = \frac{1}{{24}}\].

Từ đây, phần công việc của người thứ nhất làm được là: \[7 \cdot \frac{1}{{18}} + 4 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{{11}}{{18}}\] (công việc)

Phần công việc của người thứ hai làm được là: \[4 \cdot \frac{1}{{24}} + 4 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{3}\] (công việc) .

Số tiền mỗi người được tỉ lệ với số phần công việc họ làm.

Do đó, số tiền mà người thứ nhất nhận được là: \[\frac{{11}}{{18}} \cdot 3600000 = 2{\rm{ }}200{\rm{ }}000\] (đồng).

Số tiền người thứ ba nhận được là: \[3{\rm{ }}600{\rm{ }}000 \cdot \frac{1}{3} = 1{\rm{ }}200{\rm{ }}000\] (triệu đồng)

Số tiền người thứ ba được nhận là: \[3{\rm{ }}600{\rm{ }}000 - 2{\rm{ }}200{\rm{ }}000 - 1{\rm{ }}200{\rm{ }}000 = 200{\rm{ }}000\] (đồng).

Hướng dẫn giải

Số phần quà còn lại là: \[40 - 3x\] (phần quà)

Số đội còn lại chưa nhận quà là: \[13 - x\] \[\left( {x < 13} \right)\] (đội).

Lúc này, số phần quà mỗi đội còn lại nhận được là: \[\left( {40 - 3x} \right):\left( {13 - x} \right) = \frac{{40 - 3x}}{{13 - x}}\] (phần quà)

Để mỗi đội nhận được nhiều quà nhất thì \[\frac{{40 - 3x}}{{13 - x}}\] đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \[\frac{{40 - 3x}}{{13 - x}} = \frac{{1 + 39 - 3x}}{{13 - x}} = \frac{1}{{13 - x}} + \frac{{3\left( {13 - x} \right)}}{{13 - x}} = \frac{1}{{13 - x}} + 3\]

Do đó, để thỏa mãn yêu cầu bài thì \[1 \vdots \left( {13 - x} \right)\] hay \[13 - x\] là Ư(1).

Suy ra \[13 - x = 1\] hoặc \[13 - x = - 1\].

Do đó, \[x = 12\] (thỏa mãn) hoặc \[x = 14\] (loại vì \[x < 13\]).

Vậy mỗi đội còn lại nhận được nhiều nhất số phần quà là: \[\frac{{40 - 3 \cdot 12}}{{13 - 12}} = 4\] (phần quà).

Hướng dẫn giải

Đổi \(3,2{\rm{ }}{{\rm{m}}^2} = 320{\rm{ d}}{{\rm{m}}^2}\).

Diện tích một mặt của hộp thiết bị là: \(96:6 = 16{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Do đó, cạnh của hộp thiết bị là \(4{\rm{ dm}}\)(vì \(4 \cdot 4 = 16\)).

Thể tích của một hộp đựng thiết bị là: \({4^3} = 64{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Diện tích một mặt của thùng đựng hàng là: \(320:5 = 64{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) (thùng lập phương không có nắp nên có 5 mặt)

Do đó, cạnh của thùng đựng hàng là: \(8{\rm{ dm}}\) (vì \(8 \cdot 8 = 64\)).

Thể tích thùng đựng hàng là: \({8^3} = 512{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Do đó, số hộp thiết bị đựng trong một thùng đó là: \(512:64 = 8\) (hộp).