Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3
28 câu hỏi
c) \(2016 + \left| {1 - 2019x} \right|\);
c) Ta có \(\left| {1 - 2019x} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra \(2016 + \left| {1 - 2019x} \right| \ge 2016\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {1 - 2019x} \right| = 0\) nên \(1 - 2019x = 0\) hay \(x = \frac{1}{{2019}}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 2016 khi \(x = \frac{1}{{2019}}\).
d) Ta có \(\left| {4x + 1} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra \( - 9 + \left| {4x + 1} \right| \ge - 9\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {4x + 1} \right| = 0\) nên \(4x + 1 = 0\) hay \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là \( - 9\) khi \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).
e) Ta có \(\left| {x - 1} \right| + \left| {x - 2} \right| = \left| {x - 1} \right| + \left| {2 - x} \right| \ge \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {2 - x} \right)} \right| = 1\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right) \ge 0\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right.\] hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\2 - x \le 0\end{array} \right.\).
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 2\end{array} \right.\] hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 2\end{array} \right.\). Do đó \(1 \le x \le 2\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 1 khi \(1 \le x \le 2\).
g) \(2021 - \frac{{15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}}\).
g) Ta có \(\left| {x - 2021} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Nên \(3 + \left| {x - 2021} \right| \ge 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra \(\frac{{ - 15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}} \ge - 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Do đó \(2021 - \frac{{15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}} \ge 2016\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {x - 2021} \right| = 0\) nên \(x - 2021 = 0\) hay \(x = 2021\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 2016 khi \(x = 2021\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) \[8 - {\left( {4x - 7} \right)^2}\];a)Ta có: \({\left( {4x - 7} \right)^2} \ge 0,\forall x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( - {\left( {4x - 7} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(8 - {\left( {4x - 7} \right)^2} \le 8\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {4x - 7} \right)^2} = 0\) nên \(4x - 7 = 0\) hay \(x = \frac{7}{4}\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 8 khi \(x = \frac{7}{4}\).
b) Ta có \(\left| {6x - 1} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( - \left| {6x - 1} \right| \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(7 - \left| {6x - 1} \right| \le 7\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {6x - 1} \right| = 0\) nên \(6x - 1 = 0\) hay \(x = \frac{1}{6}\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 7 khi \(x = \frac{1}{6}\).
c) \(6 - \left| {{x^2} + 5} \right|\);
c) Ta có \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\({x^2} + 5 \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(\left| {{x^2} + 5} \right| \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( - \left| {{x^2} + 5} \right| \le - 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(6 - \left| {{x^2} + 5} \right| \le 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) hay \(x = 0\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 1 khi \(x = 0\).
d)Ta có \({\left( {5x - 6} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(2 + {\left( {5x - 6} \right)^2} \ge 2\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(\frac{3}{{2 + {{\left( {5x - 6} \right)}^2}}} \le \frac{3}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(14 + \frac{3}{{2 + {{\left( {5x - 6} \right)}^2}}} \le \frac{{31}}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {5x - 6} \right)^2} = 0\) nên \(5x - 6 = 0\) hay \(x = \frac{6}{5}\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là \(\frac{{31}}{2}\) khi \(x = \frac{6}{5}\).
e) Ta có: \(\left| {7x + 4} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(5 + \left| {7x + 4} \right| \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(\frac{{15}}{{5 + \left| {7x + 4} \right|}} \le 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( - 6 + \frac{{15}}{{5 + \left| {7x + 4} \right|}} \le - 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {7x + 4} \right| = 0\) nên \(7x + 4 = 0\) hay \(x = \frac{{ - 4}}{7}\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là \( - 3\) khi \(x = \frac{{ - 4}}{7}\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
g) \(\frac{{4{x^2} + 9}}{{{x^2} + 1}}\).
g) Ta có \(\frac{{4{x^2} + 9}}{{{x^2} + 1}} = 4 + \frac{5}{{{x^2} + 1}}\)
Lại có \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\({x^2} + 1 \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(\frac{5}{{{x^2} + 1}} \le 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(4 + \frac{5}{{{x^2} + 1}} \le 9\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) nên \(x = 0\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 9 khi \(x = 0\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{14 - x}}{{4 - x}}\] với mọi .\(x \in \mathbb{Z}\).. Khi đó \[x\] nhận giá trị nguyên nào?
Hướng dẫn giải
Ta có \[P = \frac{{14 - x}}{{4 - x}} = 1 + \frac{{10}}{{4 - x}}\].
Để \({P_{\min }}\) thì \({\left( {\frac{{10}}{{4 - x}}} \right)_{{\rm{min}}}}\), mà \(4 - x < 0\) và \[x\] nguyên nên \(4 - x = - 1\) nên \(x = 5\).
Vậy \({P_{\min }} = - 9\) khi \(x = 5\).
Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{2x + 3y}}{{x + 2y}}\) biết \(\frac{x}{y} = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Cách 1: Chia cả tử số và mẫu số cho \(y\) ta được:
\(A = \frac{{2.\frac{x}{y} + 3.\frac{y}{y}}}{{\frac{x}{y} + 2.\frac{y}{y}}} = \frac{{2.\frac{x}{y} + 3}}{{\frac{x}{y} + 2}} = \frac{{2.\frac{1}{2} + 3}}{{\frac{1}{2} + 2}} = \frac{8}{5}\).
Cách 2: Từ \(\frac{x}{y} = \frac{1}{2}\) suy ra \(y = 2x\). Thay vào \(A\) ta được: \(A = \frac{{2x + 3y}}{{x + 2y}} = \frac{{2x + 3 \cdot 2x}}{{x + 2 \cdot 2x}} = \frac{{8x}}{{5x}} = \frac{8}{5}.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(\left| {y - 2} \right| \ge 0\) với mọi \(y \in \mathbb{R}\)
Khi đó\({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| \ge 0\) nên \({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 0 + 10.\)
Do đó \({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 10\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 9 = 0\\\left| {y - 2} \right| = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = 2\end{array} \right.\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) bằng \(10\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 3;2} \right)\) hay \(\left( {x\,;y} \right) = \left( {3\,;2} \right)\).
Tìm số nguyên dương \[x,{\rm{ }}y\] biết: \(25 - {y^2} = 8{\left( {x - 2005} \right)^2}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(25 - {y^2} = 8{\left( {x - 2005} \right)^2}\) nên
Vì \(x,\,y\) là các số nguyên dương và \({\left( {x - 2005} \right)^2} \ge 0\) nên \(\left( 1 \right)\) suy ra \[0 < y \le 5\,;\,\,25 - {y^2} \in B\left( 8 \right).\]
Ta lập bảng sau:
\(y\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
\(25 - {y^2}\) | \(24\) | \(21\) | \(16\) | \(9\) | \(0\) |
\({\left( {x - 2005} \right)^2}\) | 3 | Không thỏa mãn | 2 | Không thỏa mãn | \(0\) |
\(x\) | Không thỏa mãn | Không thỏa mãn | Không thỏa mãn | Không thỏa mãn | \(2005\) |
Vậy \(x = 2005\,;\,\,y = 5\) thỏa yêu cầu bài toán.
Tìm các cặp số \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn: \({\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \le 0\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \({\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(\left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \ge 0\) với mọi \(y \in \mathbb{R}\)
Khi đó \({\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \le 0\) nên \({\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| = 0\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{2021}}{{2022}} = 0\\y - \frac{{2022}}{{2023}} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{2021}}{{2022}}\\y = \frac{{2022}}{{2023}}\end{array} \right.\).
Tìm giá trị của \[x\] thỏa mãn \(\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(VT = \left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right| = 4\).
Ta có \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) suy ra \(3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2\).
Do đó \(VP = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} \le 4\).
Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}VT \ge 4\\VP \le 4\end{array} \right.\). Mà \(VT = VP\) nên \(VT = VP = 4\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) > 0\end{array} \right.\) nên \(x = - 1\).
Vậy \(x = - 1\).
Một công ty phát triển kĩ thuật có một số thông báo rất hấp dẫn: Cần thuê một nhóm kĩ thuật viên hoàn thành một sự án trong vòng 17 ngày, công việc rất khó khăn nhưng tiền công cho dự án thì rất hấp dẫn. Nhóm kĩ thuật viên được nhận làm dự án sẽ chọn một trong hai phương án trả tiền công như sau:
− Phương án 1: Nhận một lần và nhận tiền công trước với mức tiền 170 triệu đồng.
− Phương án 2: Ngày đầu tiên nhận 3 đồng, ngày sau nhận gấp 3 lần ngày trước đó.
Em hãy giúp nhóm kĩ thuật lựa chọn phương án để nhận nhiều tiền công hơn và giải thích tại sau chọn phương án đó.
Xét phương án 2, ta có: số tiền nhận ngày thứ nhất là 3 đồng; ngày thứ hai gấp ba lần ngày thứ nhất là 9 đồng, ngày thứ ba là \(9 \cdot 3\left( { = {3^3}} \right)\), ngày thứ tư là \({3^4}\), … ngày thứ 17 là \({3^{17}}\) (đồng).
Như vậy, số tiền công nhận được theo phương án 2 là:
\(T = 1 + 3 + {3^2} + .... + {3^{17}}\)
Có: \(3T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}}\)
Suy ra \(3T - T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}} - \left( {1 + 3 + {3^2} + .... + {3^{17}}} \right)\)
\(2T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}} - 1 - 3 - {3^2} - .... - {3^{17}}\)
\(2T = \left( {3 - 3} \right) + \left( {{3^2} - {3^2}} \right) + \left( {{3^3} - {3^3}} \right) + .... + \left( {{3^{17}} - {3^{17}}} \right) + {3^{18}} - 1\)
\(2T = {3^{18}} - 1\)
\(T = \frac{{{3^{18}} - 1}}{2} = 193{\rm{ }}710{\rm{ }}244\) (đồng).
Do đó, nên chọn phương án 2 để nhận được nhiều tiền công hơn.
Một trường học cùng tham gia chương trình gây quỹ bằng cách tiết kiệm điện trong 15 ngày liên tiếp. Các nhân viên trong trường đưa ra hai phương án tiết kiệm điện như sau:
− Phương án 1: Ngày đầu tiên, trường tiết kiệm được \(\frac{1}{2}\) số điện, và ngày thứ hai trở đi, số điện tiết kiệm mỗi ngày gấp đôi ngày trước đó.
− Phướng án 2: Mỗi ngày trường đều tiết kiệm được 65 số điện.
Sau 15 ngày, điện lực sẽ quy đổi số điện mà nhóm tiết kiệm được thành tiền ủng hộ quỹ, với mức \(1{\rm{ }}000\) đồng/số.
Hỏi trường thực hiện phương án nào thì tiết kiệm được nhiều điện hơn? Và tiết kiệm được bao nhiêu tiền?
Xét phương án 1, ta có:
Ngày thứ nhất trường tiết kiệm được \(\frac{1}{2}\) số điện.
Ngày thứ hai trường tiết kiệm được \(\frac{1}{2} \cdot 2 = 1\) (số điện).
Ngày thứ ba trường tiết kiệm được \(\frac{1}{2} \cdot {2^2} = 2\) (số điện)
….
Ngày thứ mười lăm trường tiết kiệm được \(\frac{1}{2} \cdot {2^{14}} = {2^{13}}\) (số điện)
Do đó, sau mười lăm ngày, trường tiết kiệm được số điện là: \(S = \frac{1}{2} + 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{13}}\) (số điện).
Ta có: \(2S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{14}}\)
Do đó, \(2S - S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{14}} - \left( {\frac{1}{2} + 1 + 2 + ... + {2^{13}}} \right)\)
\(S = {2^{14}} - \frac{1}{2} = 16{\rm{ }}383,15\) (số điện)
Xét phương án 2, trường sẽ tiết kiệm được số điện là: \(65 \cdot 15 = 975\) (số điện).
Nhận thấy phương án 1 sẽ tiết kiệm được nhiều số điện hơn.
Do đó, nếu chọn phương án 1 thì trường sẽ tiết kiệm được số tiền là:
\(16383,5 \cdot 1{\rm{ }}000 = 16{\rm{ 383 }}500\) (đồng).
Trong đợt ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7, bạn Nam đã giải một số bài toán trắc nghiệm. Sau khi thầy giáo kiểm tra kết quả thì có một số câu trả lời sai. Nếu bạn Nam sửa hai câu từ đáp án sai thành đáp án đúng thì tỉ lệ số câu đúng của bạn sẽ là \(76\% \). Nếu bạn Nam bỏ hẳn hai câu đó thì tỉ lệ số câu đúng của bạn là \(75\% \). Hỏi trong đợt ôn thi đó bạn Nam đã giải bao nhiêu bài toán trắc nghiệm?
Gọi số câu trắc nghiệm bạn Nam đã giải trong đợt ôn thi là \(x,{\rm{ }}\left( {x > 2,x \in \mathbb{N}} \right)\) và số câu bạn Nam đã trả lời đúng là \(y\) (câu).
Khi đó, theo đề bài, ta có: \(y + 2 = 76\% \cdot x\) và \(y = 75\% \cdot \left( {x - 2} \right)\).
Suy ra ta có: \(75\% \cdot \left( {x - 2} \right) + 2 = 76\% \cdot x\) hay \(\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} + 2 = \frac{{19}}{{25}}x\).
Suy ra \(\frac{{19}}{{25}}x - \frac{3}{4}x = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{1}{{100}} \cdot x = \frac{1}{2}\) nên \(x = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50\) (thỏa mãn).
Vậy trong đợt ôn thi, bạn Nam đã giải 50 câu trắc nghiệm.
Bốn con ngựa ăn hết một xe cỏ trong 1 ngày, một con dê ăn hết một xe cỏ trong 6 ngày, hai con cừu trong 24 ngày ăn hết 2 xe cỏ. Hỏi trong chuồng có một con ngựa, một con dê, một con cừu thì ăn hết hai xe cỏ trong ít nhất mấy ngày? Biết rằng sức ăn của các con vật giống nhau là như nhau.
Vì bốn con ngựa cùng ăn hết 1 xe cỏ trong một ngày nên một con ngựa trong 1 ngày ăn được \(\frac{1}{4}\) xe cỏ.
Một con dê ăn hết 1 xe cỏ trong 6 ngày nên trong một ngày nó ăn được \(\frac{1}{6}\) xe cỏ.
Hai con cừu ăn hết 2 xe cỏ trong 24 ngày nên trong 1 ngày hai con ăn hết \(\frac{2}{{24}} = \frac{1}{{12}}\) xe cỏ.
Do đó, một con cừu trong một ngày ăn được \(\frac{1}{{12}}:2 = \frac{1}{{24}}\) ( xe cỏ).
Vậy trong một ngày, ba con ngựa, dê, cừu ăn hết số cỏ là: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{24}} = \frac{{11}}{{24}}\) (xe cỏ).
Vậy để chuồng có một con ngựa, một con dê và một con cừu ăn hết hai xe cỏ thì cần số ngày là: \(2:\frac{{11}}{{24}} = \frac{{48}}{{11}} = 4,\left( {36} \right)\) (ngày).
Do đó, để chuồng gồm một con ngựa, một con dê và một con cừu ăn hết hai xe cỏ thì cần ít nhất 5 ngày.
Cả ba vòi nước cùng chảy vào một bể nước. Nếu vòi thứ nhất và vòi thứ hai cùng chảy thì sau 6 giờ được \(\frac{3}{5}\) bể. Nếu vòi thứ hai và vòi thứ ba cùng chảy thì sau 5 giờ được \(\frac{7}{{12}}\) bể. Nếu vòi thứ nhất và vòi thứ ba cùng chảy thì sau 9 giờ chảy được \(\frac{3}{4}\) bể. Hỏi mất bao lâu để ba vòi cùng chảy đầy bể?
Trong một giờ, vòi thứ nhất và vòi thứ hai cùng chảy được: \(\frac{3}{5}:6 = \frac{1}{{10}}\) (bể).
Trong một giờ, vòi thứ hai và vòi thứ ba cùng chảy được: \(\frac{7}{{12}}:5 = \frac{7}{{60}}\) (bể).
Trong một giờ, vòi thứ ba và vòi thứ nhất cùng chảy được: \(\frac{3}{4}:9 = \frac{1}{{12}}\) (bể).
Một giờ cả ba vòi cùng chảy được: \(\left( {\frac{1}{{10}} + \frac{7}{{60}} + \frac{1}{{12}}} \right):2 = \frac{3}{{20}}\) (bể).
Vậy thời gian để ba vòi cùng chảy đầy bể là: \(1:\frac{3}{{20}} = \frac{{20}}{3}\) (giờ).
Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) song song với nhau. Trên đường thẳng \(a\) lấy hai điểm \(A\) và \(E\) (điểm \(A\) không trùng với điểm \(E\)). Kẻ \(AB\) vuông góc với đường thẳng \(b\) tại \(B\). Lấy điểm \(D\) thuộc đường thẳng \(b\) sao cho \(\widehat {AED} = 65^\circ .\)
a) Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của bài toán.
b) Tính số đo của \(\widehat {BAE}\) và \(\widehat {BDE}\).
Hướng dẫn giải
a)
|
|
b) Theo giả thiết \(a\parallel b\); \(AB \bot b\) tại \(B\) nên \(AB \bot a\) tại \(A\) hay \(\widehat {BAE} = 90^\circ \).
Vì \(a\parallel b\) nên \[\widehat {AED} = {\widehat D_1} = 65^\circ \] (hai góc so le trong).
Vì \(\widehat {BDE}\) và \[{\widehat D_1}\] là hai góc kề bù nên \(\widehat {BDE} + {\widehat D_1} = 180^\circ \).
Suy ra \[\widehat {BDE} + {\widehat D_1} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \].
Vậy \(\widehat {BAE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BDE} = 115^\circ \).
Cho hình vẽ bên. Biết \(\widehat {xOz} = 97^\circ ,\,\,\widehat {tOu} = 82^\circ \) và tia \(Oz\) là tia phân giác của góc \(\widehat {tOu}\).
a) Vẽ lại hình và kể tên các cặp góc kề bù (không tính góc bẹt) có trong hình vẽ.
b) Tính số đo của góc \(\widehat {tOz},\,\,\widehat {tOy}\).Hướng dẫn giải
a) Học sinh vẽ hình đúng số đo góc. Các cặp góc kề bù có trong hình vẽ là: \(\widehat {xOt}\) và \(\widehat {tOy}\); \(\widehat {xOz}\) và \(\widehat {zOy}\); \(\widehat {xOu}\) và \(\widehat {uOy}\). b) Tính số đo của góc \(\widehat {tOz},\,\,\widehat {tOy}\). | |
Ta có tia \(Oz\) là tia phân giác của góc \(tOu\) nên: \(\widehat {tOz} = \frac{1}{2}\widehat {tOu} = 41^\circ \).
Ta có \(\widehat {tOx} + \widehat {tOz} = \widehat {xOz}\)
Nên \(\widehat {tOx} = \widehat {xOz} - \widehat {tOz} = 97^\circ - 41^\circ = 56^\circ \).
Do \(\widehat {tOx} + \widehat {tOy} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {tOy} = 180^\circ - \widehat {tOx} = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ \).
Cho góc bẹt \(xOy\). Vẽ ba tia \(Om,\,\,On,\,\,Oz\) sao cho tia \(Om\) nằm giữa hai tia \[Ox,\,\,Oz\] và \(\widehat {xOm} = 50^\circ ,\,\,\widehat {xOz} = 130^\circ \). Vẽ tia \(On\) là tia đối của tia \(Oz.\)
a) Vẽ hình và kể tên các góc kề bù với góc \(xOz\) có trong hình vẽ.
b) Tính số đo của góc \(yOz.\) Giải thích tại sao tia \[Ox\] là tia phân giác của góc \(mOn.\)
a) Học sinh vẽ hình đúng số đo góc. Góc kề bù với góc \(xOz\) là \(\widehat {yOz}\) và \(\widehat {xOn}\). b) Ta có \(\widehat {xOz} + \widehat {yOz} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) Suy ra \(\widehat {yOz} = 180^\circ - \widehat {xOz} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \) Lại có \(\widehat {xOn} = \widehat {yOz} = 50^\circ \) (hai góc đối đỉnh) |
|
Do tia \(Ox\) nằm giữa hai tia \(Om,\,\,On\) và \(\widehat {xOn} = \widehat {xOm} = 50^\circ \) nên tia \(Ox\) là tia phân giác của góc \(mOn.\)
Cho hình vẽ sau. Biết \(\widehat {xOy}\) là góc bẹt và \(Ou\) là tia phân giác của \(\widehat {xOv}\). Tính số đo \(\widehat {uOv}\).
Hướng dẫn giải
Trong hình vẽ trên, \(\widehat {xOy}\) là góc bẹt nên \(\widehat {xOv}\) và \(\widehat {yOv}\) là hai góc kề bù. Khi đó \(\widehat {xOv} + \widehat {yOv} = 180^\circ \). Suy ra \(\widehat {xOv} = 180^\circ - \widehat {yOv} = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ \). | |
Vì \(Ou\) là tia phân giác của \(\widehat {xOv}\) nên \(\widehat {xOu} = \widehat {uOv} = \frac{{\widehat {xOv}}}{2} = \frac{{160^\circ }}{2} = 80^\circ \).
Vậy \(\widehat {uOv} = 80^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Qua đỉnh \(B\) của tam giác kẻ đường thẳng \(ab\) vuông góc với cạnh \(AB\)(\(AC,\,\,Bb\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh \(AB\)).
a) Chứng minh \[a\,b\parallel AC\].
b) Biết \[\widehat {CBb} = 35^\circ \]. Tính số đo các góc trong tam giác \(ABC\).
a) Vì \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\) nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) hay \(AC \bot AB\) (1) Theo giả thiết \(ab \bot AB\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(ab\parallel AC\) (đpcm). b) Theo giả thiết \(ab \bot AB\)nên \(\widehat {ABb} = 90^\circ \). Mặt khác \(\widehat {ABb} = \widehat {ABC} + \widehat {CBb}\). Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ABb} - \widehat {CBb} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \). |
|
Vì \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ \).
Vậy số đo các góc trong tam giác \(ABC\) là \(\widehat {BAC} = 90^\circ \); \(\widehat {ABC} = 55^\circ \); \(\widehat {ACB} = 35^\circ \).
Đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\) lần lượt tại hai điểm \(M\) và \(N\). Đường thẳng \(d\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\) lần lượt tại hai điểm \(P\) và \(Q\) (như hình vẽ). Biết \({\widehat M_1} = 55^\circ ;\,\,{\widehat N_1} = 55^\circ ;\,\)\(\,{\widehat Q_1} = 125^\circ .\)
b) Chứng minh \[MQ\parallel NP & ;\,\,MN\parallel PQ\].
c) Tìm số đo \({\widehat P_2}\).
Hướng dẫn giải
a)
| |
b) Ta thấy \({\widehat M_1} = {\widehat N_1} = 55^\circ \) mà \({\widehat M_1}\) và \({\widehat N_1}\) ở vị trí đồng vị.
Do đó \[MQ\parallel NP\].
Vì \({\widehat M_1}\) và \({\widehat M_2}\) là hai góc kề bù nên \({\widehat M_1} + {\widehat M_2} = 180^\circ \).
Suy ra \({\widehat M_2} = 180^\circ - {\widehat M_1} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \).
Ta thấy \({\widehat M_2} = {\widehat Q_1} = 125^\circ \) mà \({\widehat M_2}\) và \({\widehat Q_1}\) ở vị trí so le trong.
Do đó \[MN\parallel PQ\].
Vậy \[MQ\parallel NP & ;\,\,MN\parallel PQ\].
c) Vì \[MQ\parallel NP\] nên \[{\widehat P_1} = {\widehat Q_1} = 125^\circ \] (hai góc đồng vị)
Vì \({\widehat P_1}\) và \({\widehat P_2}\) là hai góc kề bù nên \[{\widehat P_1} + {\widehat P_2} = 180^\circ \].
Suy ra \[{\widehat P_2} = 180^\circ - {\widehat P_1} = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \].
Vậy \[{\widehat P_2} = 55^\circ \].
Cho hình vẽ, biết \[AB\,{\rm{//}}\,xy,\] \(\widehat {BAI} = 45^\circ \), \(\widehat {AIF} = 105^\circ \).
a) Vẽ lại hình và viết giả thiết, kết luận của bài toán.
b) Tính số đo \(\widehat {FIx}\) và \(\widehat {FIy}\).
c) Chứng minh \[AB\,{\rm{//}}\,EF\].Hướng dẫn giải
a)
b) Vì \(AB\parallel xy\) nên \(\widehat {BAI} = \widehat {AIx} = 45^\circ \) (hai góc so le trong). | |
Ta có \(\widehat {AIF} = \widehat {AIx} + \widehat {FIx}\).
Suy ra \(\widehat {FIx} = \widehat {AIF} - \widehat {AIx} = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ \).
Vì \(\widehat {FIx}\) và \(\widehat {FIy}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {FIx} + \widehat {FIy} = 180^\circ \).
Suy ra \(\widehat {FIy} = 180^\circ - \widehat {FIx} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Vậy \(\widehat {FIx} = 60^\circ \); \(\widehat {FIy} = 120^\circ \).
c) Ta thấy \(\widehat {FIy} = \widehat {EFI} = 120^\circ \) mà \(\widehat {FIy}\) và \(\widehat {EFI}\) ở vị trí so le trong.
Do đó\[AB\parallel EF\].
