Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Các số vừa chia hết cho 7 và vừa chia hết cho 6 là: 42 và 84.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Lập các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau từ ba chữ số tự nhiên đó.

Bước 2. Tìm các số tự nhiên chia hết cho 7.

Bước 3. Đếm.

Các số tự nhiên được lập là: 123; 132; 231; 213; 312; 321.

Số tự nhiên chia hết cho 7 là: 231.

Vậy chỉ có 1 số tự nhiên chia hết cho 7.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Để $\overline{aa}=11a⋮7$ thì $a⋮7$.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta có:

$$\begin{gathered} \overline{20a20a20a}=\overline{20a}.1000000+\overline{20a}.1000+\overline{20a} \\ =\overline{20a}.1001001⋮7 \end{gathered}$$              

Áp dụng tính chất chia hết của một tích.

Vì $1001001\cancel{⋮}7$ nên $\overline{20a}⋮7$.

Vì $\overline{20a}=\left(200+a\right)⋮7\Rightarrow \left[196+\left(a+4\right)\right]⋮7$

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}196+\left(a+4\right)⋮7\\ 196⋮7\end{array}\right\}\Rightarrow \left(a+4\right)⋮7 \\ \Rightarrow a=3 \end{gathered}$$

Vậy a= 3.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Phân tích cấu tạo số.

Bước 2. Áp dụng tính chất chia hết của một tích.

Ta có: $\overline{abcabc}=1000.\overline{abc}+\overline{abc}=1001.\overline{abc}$

Mà  $1001⋮7$ nên $\overline{abcabc}$có chia hết cho 7.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Xét tổng:

$$\begin{gathered} \left(3.2+3\right)3+x=\left(27+x\right)⋮7 \\ \Rightarrow x\in \left\{1;8\right\} \end{gathered}$$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng:

 $\left.\begin{array}{l}14⋮7\\ 273⋮7\\ 84⋮7\end{array}\right\}\Rightarrow \left(14+273+84\right)⋮7$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất chia hết của một tích:

$\left.\begin{array}{l}12\cancel{⋮}7\\ 13\cancel{⋮}7\\ 14⋮7\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{12.13.14}⋮7$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Phân tích sao cho tổng đó thành tích các thừa số trong đó có một thừa số chia hết cho 7.

Bước 2. Áp dụng tính chất chia hết của một tích.

Ta có:

$$\begin{gathered} \text{A}=2+2^2+2^3+\dots +2^{60} \\ =\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2{}^6\right)+\dots +\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right) \\ =2.\left(1+2+2^2\right)+2^4.\left(1+2+2^2\right)+\dots +2^{58}.\left(1+2+2^2\right) \\ =2.\left(1+2+2^2\right)+2^4.\left(1+2+2^2\right)+\dots +2^{58}.\left(1+2+2^2\right) \\ =\left(2+2^4+\dots +2^{58}\right).7 \\ \Rightarrow \text{A}⋮7 \end{gathered}$$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta có: 

$$\begin{gathered} \left(2^9-4^3\right).\left(2^5{.2}^3\right) \\ =\left(2^9-2^6\right).\left(2^5{.2}^3\right) \\ =2^6\left(2^3-1\right).\left(2^5{.2}^3\right) \\ =2^6.\left(8-1\right).\left(2^5{.2}^3\right) \\ =2^6\mathrm{.7.}\left(2^5{.2}^3\right) \\ \Rightarrow \left(2^9-4^3\right).\left(2^5{.2}^3\right)⋮7 \end{gathered}$$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Xét $5^3.\left(5^2-5+1\right)=5^3.21$

Áp dụng tính chất chia hết của một tích:

$$\begin{gathered} 21⋮7\Rightarrow 5^3.21⋮7 \\ \Rightarrow 5^3.\left(5^2-5+1\right)⋮7 \\ \Rightarrow 5^5-5^4+5^3 ⋮7 \end{gathered}$$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta có:

$$\begin{gathered} 36⋮36\Rightarrow {36}^{63}⋮36 \\ \Rightarrow {36}^{63}-1⋮35 \\ \Rightarrow {36}^{63}-1⋮7 \end{gathered}$$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta có:

$$\begin{gathered} \overline{abc}=100a+10b+c \\ =100a-84a+10b-42b+c+63c+84a+42b-63c \\ =16a-32b+64c+84a+42b-63c \\ =16(a\mathrm{-}\mathrm{2}b\mathrm{+}\mathrm{4}c)+84a+42b-63c \end{gathered}$$

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng ta có:

$\left.\begin{array}{l}\overline{abc}⋮7\\ \left(84a+42b-63c\right)⋮7\end{array}\right\}\Rightarrow \left(a-2b+4c\right)⋮7$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Xét

$4a+3b=7a-3a+3b=7a-3\left(a-b\right)$

Áp dụng tính chất chia hết của tích và tổng ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}7⋮7\\ a-b⋮7\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}7a⋮7\\ 3\left(a-b\right)⋮7\end{array}\right. \\ \Rightarrow 7a-3\left(a-b\right)⋮7 \\ \Rightarrow \left(4a+3b\right)⋮ 7 \end{gathered}$$

Vậy 4a+3b chia hết cho 7.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng:

$\left.\begin{array}{l}x+14⋮7\\ 14⋮7\end{array}\right\}\Rightarrow x⋮7$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Áp dụng tính chất chia hết của một tổng.

Bước 2. Thay từng giá trị của  để thỏa mãn điều kiện.

Để $\overline{5a}+49⋮7$ thì $\overline{5a}⋮7$.

Mà $a\in \left\{0;1;2;\mathrm{...};9\right\}$ suy ra $a=6$.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Áp dụng tính chất chia hết của một tổng.

Bước 2. Thay từng giá trị của  để thỏa mãn điều kiện.

Để $\overline{a5}+49⋮7$ thì $\overline{a5}⋮7$.

Mà $a\in \left\{1;2;\mathrm{...};9\right\}$ suy ra $a\in \left\{3;8\right\}$.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 7.

Để $\overline{36x}⋮7 thì \left(3.\left(3.3+6\right)+x\right)⋮7$

$\Rightarrow \left(45+x\right)⋮7$

Mà $x\in \left\{0;1;2;3;\mathrm{...};9\right\}$ suy ra $x=4$.

Vậy số đó là 364.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Để $\overline{36x}⋮7$ thì $\left(3.\left(3.3+6\right)+x\right)$ chia 7 dư 2.

$\Rightarrow \left(45+x\right)$ chia 7 dư 2.

Mà $x\in \left\{0;1;2;3;\mathrm{...};9\right\}$ suy ra x = 6.

Vậy số đó là 366.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{ab}$.

Theo đề bài ta có: $\left(\overline{ab}+21\right)⋮7$

$\Rightarrow \overline{ab}\in \left\{14;21;28;35;42;49;56;63;70;77;84;91\right\}$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Xét $\left(200+a\right)=\left(196+4+a\right)⋮7$

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng ta có:

$\left.\begin{array}{l}196⋮7\\ \left(196+4+a\right)⋮7\end{array}\right\}\Rightarrow \left(4+a\right)⋮7$

Mà $1\le a\le 9\Rightarrow a=1$ 

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 7.

Bước 2. Từ a-b = 4 suy ra b= a-4.

Bước 3. Tìm a và b

Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 7 ta có:

$\left(3.1+a\right).3+b=\left(9+3a+b\right)⋮7$

Vì $a-b=4\Rightarrow b=a-4$. Do đó,

$\left(9+3a+a-4\right)=\left(5+4a\right)⋮7$

Mà $a,b\in \left\{0;1;\dots ;9\right\}$ suy ra $a=4,b=0$.

Vậy số đó là 140.