Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1

Ta có \(y' = {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Ta có \(y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = \frac{7}{3};y\left( 3 \right) = 1;y\left( 4 \right) = \frac{7}{3}\).

Vậy \[M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( 4 \right) = \frac{7}{3};m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 3 \right) = 1\].

Suy ra \(S = M + m = \frac{7}{3} + 1 = \frac{{10}}{3}\). Chọn C.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0; - 1} \right) \Rightarrow A{B^2} = 2\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {x - 3;y - 1; - 1} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + 1} \).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \\AB = AC\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\A{B^2} = A{C^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1\left( {x - 3} \right) + 0\left( {y - 1} \right) + 1 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + 1 = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(C\left( {4;1; - 1} \right)\). Chọn B.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 5 + 1 = 6\\{y_H} = 2 + 5 = 7\\{z_H} = - 1 - 2 = - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {6;7; - 3} \right)\). Chọn C.

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Có \(y' = f'\left( {x + 2} \right)\).

Hàm số đồng biến khi \(f'\left( {x + 2} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x + 2 < 0\\x + 2 > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3 < x < - 2\\x > - 1\end{array} \right.\).

Do đó hàm số \(y = f\left( {x + 2} \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

c) \(f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.

d) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(R = 60 - 35 = 25\).

b)

Có \(\frac{n}{4} = 25\). Nhóm \(\left[ {40;45} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 25 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có \({Q_1} = 40 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 20}}{{40}}.5 = \frac{{325}}{8}\).

Có \(\frac{{3n}}{4} = 75\). Nhóm \(\left[ {45;50} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 75 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có \({Q_3} = 45 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 60}}{{25}}.5 = 48\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 48 - \frac{{325}}{8} = 7,375\).

c) Ta có

Cân nặng trung bình là \[\overline x = \frac{{20.37,5 + 40.42,5 + 25.47,5 + 10.52,5 + 5.57,5}}{{20 + 40 + 25 + 10 + 5}} = 44,5\].

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\[{s^2} = \frac{{20.{{\left( {37,5 - 44,5} \right)}^2} + 40.{{\left( {42,5 - 44,5} \right)}^2} + 25.{{\left( {47,5 - 44,5} \right)}^2} + 10.{{\left( {52,5 - 44,5} \right)}^2} + 5.{{\left( {57,5 - 44,5} \right)}^2}}}{{20 + 40 + 25 + 10 + 5}} = 28,5\].

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(s = \sqrt {28,5} \approx 5,34\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ \( \Rightarrow a = 0\).

\(x = 1\) là tệm cận đứng của đồ thị hàm số. Suy ra \(b = - 1\).

Do đó \(T = a + b = - 1\).

Trả lời: −1.

Ta có \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 15 - 5 = 10\).

Trả lời: 10.

Ta có \(\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)\( = \left| {\overrightarrow {AG} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {AC} } \right) - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 30^\circ - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ \)\( = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = - \frac{1}{8}{a^2}\).

Suy ra \(n = - 0,1\).

Trả lời: −0,1.

Có \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 1;3; - 4} \right) \Rightarrow BA = \sqrt {26} \); \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 6;8;2} \right) \Rightarrow BC = 2\sqrt {26} \).

Gọi \(D\) là chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác \(ABC\), \(D \in AC\).

Theo tính chất tia phân giác ta có \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}1 - a = \frac{1}{2}\left( { - 4 - a} \right)\\2 - b = \frac{1}{2}\left( {7 - b} \right)\\ - 1 - c = \frac{1}{2}\left( {5 - c} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = - 3\\c = - 7\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( {6; - 3; - 7} \right)\).

Do đó \(a = 6;b = - 3;c = - 7\). Vậy \(T = a + b + c = - 4\).

Trả lời: −4.

Số cá còn sống trong ao lúc đó là \(\frac{{31}}{{31 + t}}.300\) (con).

Sản lượng cá X tại thời điểm đó là \(f\left( t \right) = \frac{{31}}{{31 + t}}.300.0,45\left( {0,2 + \frac{{141}}{{155}}t - 0,05{t^2}} \right)\)\( = 4185.\frac{{0,2 + \frac{{141}}{{155}}t - 0,05{t^2}}}{{31 + t}}\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 4185.\left[ {\frac{{\left( {\frac{{141}}{{155}} - 0,1t} \right)\left( {31 + t} \right) - \left( {0,2 + \frac{{141}}{{155}}t - 0,05{t^2}} \right)}}{{{{\left( {31 + t} \right)}^2}}}} \right]\)\( = 4185.\frac{{ - 0,05{t^2} - 3,1t + 28}}{{{{\left( {31 + t} \right)}^2}}}\);

Có \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,05{t^2} - 3,1t + 28 = 0 \Leftrightarrow t = 8\) vì \(0 \le t \le 8\).

Có \(f\left( 0 \right) = 27;f\left( 8 \right) = 459;f\left( {10} \right) \approx 439\).

Vậy sản lượng lớn nhất có thể đạt được là 459 kg.

Giả sử sau 5 giây cabin di chuyển đến điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow u \) cùng hướng suy ra \(\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow u = \left( {t;2t; - 2t} \right)\left( {t > 0} \right)\).

Mà quãng đường cabin đi được trong 5 giây là \(6.5 = 30\)(m).

Do đó \(AM = 30 \Leftrightarrow A{M^2} = 900 \Leftrightarrow {t^2} + 4{t^2} + 4{t^2} = 900 \Rightarrow t = 10\).

Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {10;20; - 20} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 10\\y - 4 = 20\\z - 3 = - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 24\\z = - 17\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {9;24; - 17} \right)\).

Khi đó khoảng cách giữa cabin và người quan sát là \(BM = \sqrt {{{\left( {9 - 2} \right)}^2} + {{\left( {24 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 17 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {881} \) m.

Gọi \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó \(f = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right|\)\( = \left| {3\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right)\).

Bài toán trở thành tìm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(f = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì \({z_I}.{z_D} > 0\) nên điểm \(I\) và \(D\) nằm cùng phía với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(I'\left( {1;1;1} \right)\) là điểm đối xứng với \(I\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó \(f = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right) = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI'} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right) \ge 3I'D\).

Để \(f\) nhỏ nhất thì \(I';M;D\) thẳng hàng suy ra \(\overrightarrow {I'M} \) và \(\overrightarrow {I'D} \) cùng hướng

\( \Leftrightarrow \frac{{a - 1}}{{ - 1}} = \frac{{b - 1}}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 3}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = \frac{4}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};0} \right)\).