Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 04
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.
.
.
.
Đáp án đúng là: A
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 
với hệ số 
và đi qua gốc tọa độ 
nên chỉ có hàm số 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đồ thị hàm số 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
.
.
.
.
Đáp án đúng là: C
Hàm số có tập xác định là 
.
và 
nên đường thẳng 
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
và 
nên đường thẳng 
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 
tiệm cận đứng.
Giá trị lớn nhất của hàm số 
trên 
là
.
.
.
.
Đáp án đúng là: A
Ta có 
; 
hoặc 
.
Bảng biến thiên của hàm số đã cho trên khoảng
:
Từ bảng biến thiên, ta thấy 
.
Cho hàm số 
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Giá trị của 
bằng
.
.
.
.
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 
.
Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng nên ta có 
.
Đồ thị đi qua gốc toạ độ nên ta có: 
Vậy 
.
Cho hình lập phương 
. Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng 
.
.
.
.
Đáp án đúng là: D
Hai vectơ 
có giá cùng nằm trong mặt phẳng 
.
Trong không gian 
, cho biểu diễn của vectơ 
qua các vectơ đơn vị là 
. Tọa độ của vectơ là
.
.
.
.
Đáp án đúng là: A
Ta có: 
.
Trong không gian với hệ toạ độ 
, cho điểm 
và vectơ 
Tìm toạ độ điểm 
biết rằng 
.
.
.
.
.
Đáp án đúng là: C
Ta có: 
.
Gọi 
. Ta có 
.
Khi đó 
.
Vậy 
.
Cho tứ diện 
. Gọi 
là trọng tâm tam giác 
và điểm 
thuộc cạnh 
sao cho 
. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
.
.
.
.
Đáp án đúng là: C
Ta có 
thuộc cạnh 
và 
nên 
.
Do 
là trọng tâm tam giác 
nên 
hay 
.
Mà 
nên 
.
Trong không gian 
, cho 
, 
. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
.
.
.
Đáp án đúng là: D
Ta có: 
, 
nên tam giác 
vuông tại 
.
Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm 
của cạnh 
.
Vậy 
.
Trong không gian 
cho ba điểm 
và 
Để 
thẳng hàng thì giá trị 
bằng
Đáp án đúng là: A
Ta có 
thẳng hàng khi 
cùng phương
Vậy 
Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 
, 
. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:
.
.
.
.
Đáp án đúng là: C
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 
.
Thời gian (phút) truy bài trước mỗi buổi học của một số học sinh trong một tuần được ghi lại ở bảng sau:
Thời gian |
|
|
|
|
|
Số học sinh |
|
|
|
| 2 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
.
.
.
.
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu 
.
Gọi 
là mẫu số liệu gốc về thời gian truy bài trước mỗi buổi học của 
số học sinh trong một tuần được xếp theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là 
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số 
liên tục trên 
và có đồ thị như hình vẽ :
a) Hàm số đồng biến trên khoảng 
.
b) Hàm số đạt cực đại tại 
.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 
bằng 
.
d) Hàm số 
nghịch biến trên 
.
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 
.
b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại 
.
c) Theo đồ thị ta thấy 
và 
.
d) Xét hàm số 
. Vì 
liên tục trên 
nên 
liên tục trên .
Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của 
như sau:
Ta có: 
.
Cho 
.
Từ bảng xét dấu của suy ra được bảng xét dấu của 
Vậy hàm số không nghịch biến trên 
.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Hàm số 
đồng biến trên 
.
b) Cho hàm số 
có 
. Khi đó hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
c) Đồ thị hàm số
có điểm cực trị
. Khi đó 
.
d) Một doanh nghiệp mua một chiếc máy giá 5000 (USD) để sản xuất 
sản phẩm loại A. Trong thực tế, mỗi kg sản phẩm được sản xuất ra cần phải có nguyên liệu với giá 4 (USD). Khi doanh nghiệp này sản xuất một số lượng rất lớn sản phẩm thì chi phí để sản xuất được mỗi kg sản phẩm giảm dần và đạt giá trị nhỏ nhất là 4,1 (USD).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Có 
nên hàm số 
đồng biến trên 
.
b) 
Lập bảng biến thiên
Vậy hàm số chỉ có hai điểm cực trị.
c) Ta có: 
.
Để đồ thị hàm số có điểm cực trị 
cần có:
. Vậy 
.
d) Chi phí sản xuất 
(kg) sản phẩm loại A là 
.
Chi phí sản xuất mỗi (kg) sản phẩm loại A là 
.
TXĐ: 
. 
.
Mặt khác với 
, 
nên 4,1 không phải là GTNN của 
trên 
Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian 
, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.
Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:
a) Toạ độ điểm 
.
b) Toạ độ vectơ 
.
c) 
.
d) Góc đốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng 
, hai mặt lần lượt là 
và 
bằng 
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên 
là hình chữ nhật, suy ra 
, 
.
Do điểm 
nằm trên trục 
nên tọa độ điểm 
; điểm 
nằm trên trục 
nên tọa độ điểm 
.
Tường nhà là hình chữ nhật nên 
là hình chữ nhật, suy ra 
, 
.
Do 
nằm trên mặt phẳng 
nên tọa độ điểm 
.
Tứ giác 
là hình chữ nhật nên 
, 
Do 
nằm trên mặt phẳng 
nên tọa độ điểm 
.
b) Ta có toạ độ vectơ 
.
c) Ta có 
. Suy ra 
.
d) Để tính góc đốc của mái nhà, ta tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng 
, hai mặt lần lượt là 
và 
.
Do mặt phẳng 
vuông góc với hai mặt phẳng và nên 
là góc phẳng nhị diện cần tìm.
Ta có 
, 
suy ra
.
Do đó, 
. Vậy góc đốc mái nhà khoảng 
.
Kết quả môn Toán (cùng đề) của học sinh hai lớp 
và 
được cho lần lượt bởi mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng sau:
Nhóm |
|
|
|
|
|
|
Tần số ở lớp | 5 |
|
|
|
|
|
Tần số ở lớp |
|
|
|
|
|
|
a) Số trung bình cộng của hai mẫu số liệu trên bằng nhau.
b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp nhỏ hơn 
.
c) Phương sai của mẫu số liệu lớp lớn hơn .
d) Điểm thi của học sinh lớp đồng đều hơn lớp .
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ
Ta có bảng của lớp 
:
Nhóm |
|
|
|
|
|
Giá trị đại diện |
|
|
|
|
|
Tần số ở lớp |
|
|
|
|
|
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm lớp là
.
Ta có bảng của lớp 
:
Nhóm |
|
|
|
|
|
Giá trị đại diện |
|
|
|
|
|
Tần số ở lớp |
|
|
|
|
|
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm lớp là
.
Vậy số trung bình cộng của hai mẫu số liệu trên bằng nhau.
b) Ta có phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm lớp là
.
Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm lớp là 
.
c) Ta có phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm lớp là
.
d) Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm lớp là 
.
Do độ lệch chuẩn của lớp nhỏ hơn độ lệch chuẩn của lớp nên điểm thi của lớp đồng đều hơn.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
là đường thẳng 
. Tính giá trị của biểu thức 
.
Trả lời: −1
Tập xác định 
.
Ta có 
;
.
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng 
.
Vậy 
.
Chị Hà dự định sử dụng hết 
kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Trả lời: 0,73
Giả sử bể cá có kích thước như hình vẽ, với 
.
Theo đề bài ta có: 
.
Do x > 0, h > 0 nên 
.
Thể tích của bể cá là 
, với 
.
Ta có: 
(vì 
).
Bảng biến thiên
Vậy bể cá có dung tích lớn nhất bằng 
.
Quan sát một đàn ong trong 20 tuần, người ta ước lượng được số lượng ong trong đàn bởi công thức 
, trong đó 
là thời gian tính theo tuần kể từ khi bắt đầu quan sát, 
. Tại thời điểm nào thì số lượng ong của đàn tăng nhanh nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của tuần).
Trả lời: 7
Tốc độ thay đổi số lượng ong của đàn theo thời gian 
là
.
Ta có 
.
.
Bảng xét dấu của đạo hàm
Từ đó, 
đạt giá trị lớn nhất tại 
.
Vậy đàn ong tăng nhanh nhất tại thời điểm khoảng 
tuần.
Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 
, rộng 
và cao 
có 
cây quạt treo tường. Cây quạt 
treo chính giữa bức tường và cách trần 
, cây quạt 
treo chính giữa bức tường và cách trần 
. Chọn hệ trục tọa độ 
như hình vẽ bên dưới ( đơn vị: mét). Giả sử 
. Tính 
.
Trả lời: −1,5
Từ hình vẽ: 
nên 
; 
nên 
Theo đề 
; 
.
Khi đó 
.
Suy ra 
. Do đó 
.
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật 
, mặt phẳng 
song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp 
và 
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc bằng 
(hình minh họa). Chiếc cần cẩu đang kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.
Biết rằng các lực căng 
đều có cường độ là 
và trọng lượng của khung sắt là 
. Trọng lượng lớn nhất của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng phần mười) là bao nhiêu kN?
Trả lời: 13,3
Gọi 
, 
lần lượt là các điểm sao cho 
Vì 
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (
) một góc bằng 
nên 
bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng 
một góc bằng .
Vì là hình chữ nhật nên 
cũng là hình chữ nhật.
Gọi 
là tâm của hình chữ nhật .
Ta suy ra 
.
Do đó, góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng bằng góc 
.
Suy ra 
.
Ta có 
nên 
.
Tam giác vuông tại O nên 
.
Theo quy tắc ba điếm, ta có
, 
Vì là trung điếm của 
và 
nên 
Từ đó suy ra
.
Do đó, 
.
Gọi 
là trọng lực của khung sắt có chứa chiếc ô tô.
Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô đang được kéo lên.
Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là 
Vì trọng lượng của khung sắt là 
nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là:
Chiều dài của 40 bé sơ sinh 12 ngày tuổi được chọn ngẫu nhiên ở viện nhi trung ương được nghiên cứu thống kê ở bảng dưới đây:
Chiều dài (cm) |
|
|
|
|
|
|
Số trẻ | 3 | 3 | 10 | 15 | 7 | 2 |
Tìm phương sai ( làm tròn đến hàng phần trăm) của 40 bé sơ sinh ở bảng thống kê trên
Trả lời: 5,91
Ta có bảng phân bố của mẫu ghép nhóm 40 bé sơ sinh
Chiều dài (cm) |
|
|
|
|
|
|
Số trẻ | 3 | 3 | 10 | 15 | 7 | 2 |
Chiều dài đại diện (cm) | 45 | 47 | 49 | 51 | 53 | 55 |
Chiều dài trung bình của 40 trẻ là:
(cm).
Phương sai của 40 bé sơ sinh ở bảng thống kê trên là:
.
