Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 08
18 câu hỏi
A. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 4, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Đáp án đúng là: C
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng 
với 
hoặc 
.
Viết phương trình 
thành 
ta được phương trình bậc nhất hai ẩn với 
bất kỳ. Kết quả so sánh nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng là: A
Ta có: -3 > -4 nên với 
bất kì thì m - 3 > m - 4
Tương tự, ta có: -3 > -5 nên m - 3 > m - 5
-3 < -2 nên m - 3 < m - 2
-3 > -6 nên m - 3 > m - 6
Vậy ta chọn phương án A.
vuông tại 
. Khi đó:
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác 
vuông tại 
, ta có:
Vậy ta chọn phương án C.
có đỉnh nằm trên đường tròn.
có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn.
có hai cạnh là hai đường kính của đường tròn.
có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
Đáp án đúng là: D
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 5, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Cho biểu thức 
.
a) Điều kiện xác định của biểu thức 
là 
và 
.
b) Biểu thức 
c) Với 
và 
thì giá trị của biểu thức bằng 
d) Khi 
thì 
hoặc 
Đáp án: a) Sb) Đc) Sd) Đ
a) Do biểu thức 
là biểu thức chứa căn thức bậc ba nên biểu thức luôn xác định với mọi 
Do đó ý a) là khẳng định sai.
b) Với mọi 
ta có: 
Do đó ý b) là khẳng định đúng.
c) Với 
và 
(thỏa mãn điều kiện) thay vào biểu thức 
ta được:
Do đó ý c) là khẳng định sai.
d) Với mọi ta có: 
khi 
, tức là 
hoặc 
.
Do đó ý d) là khẳng định đúng.
Chú ý: Ở ý c, d ta có thể thay trực tiếp giá trị của 
và 
vào biểu thức ban đầu của 
. Biết nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình có dạng 
(với là phân số tối giản có mẫu số dương). Tính giá trị biểu thức 
Đáp án đúng là: 
Giải bất phương trình:
Như vậy, nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình là 
Theo bài, nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình có dạng 
(với là phân số tối giản có mẫu số dương, nên 
và 
Do đó, giá trị biểu thức 
và 
. Hỏi diện tích hình vành khuyên đó là bao nhiêu 
(lấy 
kết quả làm tròn đến hàng phần mười)? Đáp án đúng là: 
Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn 
và 
có diện tích bằng
.
B. TỰ LUẬN (7,0 điểm)
Cho hai biểu thức: 
và 
với 
Tính giá trị của 
khi 
.
Thay 
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức 
, ta được:
.
Vậy 
khi .
và 
với 
Với 
, ta có:
Vậy với thì 
.
và 
với 
để biểu thức 
nhận giá trị nguyên. Với 
, ta có:
.
Ta lại có: 
nên 
suy ra 
, do đó 
.
nên 
suy ra 
, do đó 
.
Như vậy, 
.
Mà 
nhận giá trị nguyên nên 
Với 
ta có: 
suy ra 
do đó 
nên 
hay 
(không thỏa mãn điều kiện).
Vậy không có giá trị 
để biểu thức 
nhận giá trị nguyên.
Điều kiện xác định: 
Ta có: 
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm .
sắt và 
sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được 
tấn quặng chứa 
sắt.Gọi 
(tấn) lần lượt là khối lượng quặng chứa 
sắt và 
sắt (
).
Theo đề, tổng khối lượng quặng là 
tấn nên ta có: 
. (1)
Khối lượng sắt trong tấn quặng chứa 
sắt là: 
(tấn).
Khối lượng sắt trong 
(tấn) quặng chứa sắt là: 
(tấn).
Khối lượng sắt trong 
(tấn) quặng chứa sắt là: 
(tấn).
Do đó, ta có phương trình: 
. (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
.
Từ phương trình (1), suy ra 
.
Thay vào phương trình (2) ta được:
(thỏa mãn).
Thay vào phương trình , ta được 
(thỏa mãn).
Vậy cần trộn 16 tấn quặng chứa sắt và 9 tấn quặng chứa sắt để được tấn quặng chứa sắt.
Giải bài toán sau bằng cách lập bất phương trình:
Người ta dùng một loại xe tải để chở bia cho một nhà máy. Mỗi thùng bia 24 lon nặng trung bình 
Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là 
tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng bia, biết bác tài xế nặng 
Đổi 
tấn = 
kg.
Gọi 
là số thùng bia mà xe có thể chở (
, đơn vị: thùng).
Khối lượng của thùng bia là: 
(kg).
Tổng khối lượng của các thùng bia và bác tài xế là: 
(kg).
Theo bài, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là tấn nên ta có bất phương trình: 
.
Giải bất phương trình:
.
Mà và cần tìm có giá trị lớn nhất nên 
Vậy xe có thể chở được tối đa 
thùng bia.
. Từ vị trí quan sát 
cao 
so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh 
và đỉnh 
của một cột ăng – ten dưới góc 
và 
so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà.
Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng 
.
Xét tam giác 
vuông tại 
, ta có:
(1).
Xét tam giác 
vuông ở 
, ta có:
(2).
Từ (1) và (2) suy ra 
.
Suy ra 
Chiều cao của tòa nhà là: 
.
Vậy tòa nhà cao 
.
và điểm 
nằm bên ngoài đường tròn. Từ kẻ hai tiếp tuyến 
với đường tròn . Một đường thẳng 
đi qua cắt đường tròn tại hai điểm 
và 
(
, không đi qua tâm 
). Gọi 
là trung điểm của 
. Đường thẳng 
cắt đường tròn tại điểm thứ hai là 
.
cùng thuộc một đường tròn.
Vì 
là hai tiếp tuyến của đường tròn 
lần lượt tại 
nên 
Gọi 
là trung điểm của 
. Khi đó 
Xét 
vuông tại 
có 
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên 
.
Xét 
vuông tại 
có 
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên 
.
Vì 
nên bốn điểm 
cùng thuộc đường tròn tâm 
đường kính .
và điểm 
nằm bên ngoài đường tròn. Từ kẻ hai tiếp tuyến 
với đường tròn . Một đường thẳng 
đi qua cắt đường tròn tại hai điểm 
và 
(
, không đi qua tâm 
). Gọi 
là trung điểm của 
. Đường thẳng 
cắt đường tròn tại điểm thứ hai là 
.
và 
.
⦁ Chứng minh 
Xét đường tròn 
, có: 
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung 
) (1)
Xét 
cân tại 
(do 
có 
.
Do đó 
, suy ra 
(2).
Từ (1) và (2), suy ra 
.
Xét 
và 
có: 
là góc chung và
Do đó, 
(g.g).
Suy ra 
hay .
• Chứng minh 
Xét 
cân tại (do 
) có 
là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó 
. Suy ra 
vuông tại 
.
Xét vuông tại có 
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
nên 
.
Khi đó, ta có 
nên bốn điểm 
cùng thuộc đường tròn tâm 
đường kính .
Suy ra 
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 
của đường tròn tâm 
). (*)
Xét đường tròn có 
là hai tiếp tuyến cắt nhau tại 
, suy ra là phân giác của 
Do đó, 
.
Mà 
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung 
)
Suy ra 
(**)
Từ (*) và (**), suy ra 
.
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó 
.
và điểm 
nằm bên ngoài đường tròn. Từ kẻ hai tiếp tuyến 
với đường tròn . Một đường thẳng 
đi qua cắt đường tròn tại hai điểm 
và 
(
, không đi qua tâm 
). Gọi 
là trung điểm của 
. Đường thẳng 
cắt đường tròn tại điểm thứ hai là 
.
tại 
và 
cắt nhau tại 
. Chứng minh thuộc một đường tròn cố định khi 
thay đổi.
⦁ Gọi 
là giao điểm của 
và 
Ta có 
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và 
nên 
cùng nằm trên đường trung trực của hay 
là đường trung trực của .
Suy ra 
hay 
.
Xét 
và 
, có: 
và 
là góc chung
Do đó 
(g.g)
Suy ra 
suy ra 
(3).
⦁ Ta có 
(do 
là trung điểm của 
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ba điểm 
thẳng hàng.
Xét 
và 
, có: 
và 
là góc chung
Do đó 
(g.g)
Suy ra 
suy ra 
(4).
Từ (3) và (4) suy ra 
Từ đó, ta có 
.
Xét 
và 
có: 
là góc chung và
Do đó 
(c.g.c)
Suy ra 
, suy ra 
.
Mà tại và cố định (do điểm 
cố định), do đó 
thuộc cố định.
mét và nói: “Ngươi hãy căng sợi dây này thành một hình chữ nhật, sao cho hai đầu dây chạm vào nhau. Khi đó, mảnh đất hình chữ nhật sẽ thuộc về ngươi”. Hỏi tể tướng sẽ căng sợi dây như thế nào để mảnh đất có diện tích lớn nhất? ⦁ Gọi kích thước hình chữ nhật mà tể tướng sẽ căng là 
và 
(
).
Khi đó, ta có chu vi của mảnh đất hình chữ nhật đó là 
mét, suy ra 
Diện tích của mảnh đất là 
.
⦁ Chứng minh bổ đề: 
với mọi 
Thật vậy, với mọi 
ta có:
.
Đẳng thức xảy ra khi 
⦁ Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
Suy ra 
.
Dấu bằng xảy ra khi 
(thỏa mãn).
Khi đó, diện tích lớn nhất 
khi 
Vậy tể tưởng đó cần căng sợi dây bao quanh mảnh đất hình hình vuông có cạnh 
để mảnh đất nhận được có diện tích lớn nhất.
