Thay (thỏa mãn điều kiện) vài biểu thức , ta được:

Vậy khi .

Với , ta có:

Vậy với thì .

Với , ta có:

Để có nghiệm thì có nghiệm .

Ta có:

Với thì suy ra , do đó . Suy ra (1)

Với thì , suy ra (2)

Với thì hay suy ra (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra .

Vậy  thì có nghiệm.

Điều kiện xác định: .

Ta có:

(thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm .

Gọi (đồng) lần lượt là giá niêm yết của một thùng nước ngọt và một túi bánh sandwich (x > 0, y > 0).

Theo bài, cô Linh đi siêu thị mua 1 thùng nước ngọt và 4 túi bánh mì sandwich với giá niêm yết tổng cộng là 340 000 đồng nên ta có phương trình: (1)

Giá mỗi thùng nước ngọt sau khi tăng so với giá niêm yết là: (đồng).

Giá mỗi túi bánh mì sandwich được giảm so với giá niêm yết là:

(đồng).

Theo bài, khi thanh toán cô Linh chỉ cần trả tổng cộng đồng nên ta có phương trình: hay   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với ta được hệ phương trình:

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

nên (thỏa mãn).

Thay vào phương trình (1), ta được:

nên (thỏa mãn).

Vậy một thùng nước ngọt và một túi bánh mì sandwich có giá niêm yết lần lượt là đồng và đồng.

Đổi triệu đồng = nghìn đồng; triệu đồng nghìn đồng.

Gọi là số chai nước rửa tay mà công ty đó bán được trung bình mỗi quý

Mỗi quý công ty thu được số tiền là (nghìn đồng).

Lợi nhuận công ty thu về mỗi quý là:  (nghìn đồng).

Lợi nhuận công ty thu về sau bốn quý là:  (nghìn đồng).

Theo bài, công ty đó thu lợi nhuận không dưới 500 triệu đồng sau bốn quý nên ta có bất phương trình:

.

Giải bất phương trình:

Vậy trung bình mỗi quý công ty đó phải bán ít nhất chai nước rửa tay.

Ta có: O10-2024-GV154. 

Từ ta có

Ta có 

Xét vuông tại , ta có: O10-2024-GV154., do đó 

Vậy góc nâng từ đến nóc tòa nhà khoảng .

⦁ Chứng minh

Xét đường tròn có: là hai tiếp tuyến cắt nhau tại , suy ra là đường phân giác của , do đó .

Mặt khác,  (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung )

Do đó, ta có: .

• Chứng minh

Xét đường tròn , có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Mà (chứng minh trên) nên

Lại có  ở vị trí đồng vị nên .

Vẽ kéo dài tại và đường kính  của đường tròn .

Ta có: (vì ).

Để diện tích lớn nhất thì đạt giá trị lớn nhất, mà là đường kính đường tròn nên có giá trị không đổi, do đó ta cần đạt giá trị lớn nhất.

Mà (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Lại có, (trong một đường tròn, độ dài các dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường kính).

Do đó, đạt giá trị lớn nhất khi hay , hay .

Suy ra thẳng hàng.

Vậy diện tích lớn nhất khi thẳng hàng.

Gọi độ dài của đoạn  (m), suy ra độ dài đoạn

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

và .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông tại , có:

Suy ra

Do các phần hình tam giác bằng nhau nên .

Suy ra, chu vi là: .

Để chu vi của tứ giác nhỏ nhất thì nhỏ nhất.

Với mọi ta có:

.

Do đó, chu vi của tứ giác nhỏ nhất bằng khi hay

Vậy khoảng cách từ đến bằng thì tứ giác có chu vi nhỏ nhất.