Bài tập Tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số lớp 6 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Ta có tập hợp bội của 4 là {0; 4; 8; 12; 16; 24;...};

Tập hợp bội của 6 là {0; 6; 12; 18; 24;...}.

Tập hợp bội chung là {0; 12; 24;...}.

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp này là 12.

Đáp án đúng là: B

Để tìm bội chung nhỏ nhất, ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Các thừa số đó là 2, 3 và 5.

Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất: thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 3, thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 2, thừa số 5 có số mũ lớn nhất là 1.

Vậy bội chung nhỏ nhất là 2³ ∙ 3² ∙ 5.

Đáp án đúng là: C

Trong các số đã cho, số lớn nhất là 30. Ta thấy 30 chia hết cho 15 và 30 chia hết cho 1.

Theo quy tắc, nếu số lớn nhất chia hết cho tất cả các số còn lại thì số đó chính là bội chung nhỏ nhất của các số đã cho.

Vậy bội chung nhỏ nhất của 1, 15 và 30 là 30.

Đáp án đúng là: D

Ba số 5, 7 và 8 từng đôi một không có thừa số nguyên tố chung nào ngoài 1 (chúng là các số nguyên tố cùng nhau đôi một).

Do đó, bội chung nhỏ nhất của chúng bằng tích của cả ba số.

Ta tính được: 5 ∙ 7 ∙ 8 = 280.

Đáp án đúng là: C

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố: 14 = 2 ∙ 7; 35 = 5 ∙ 7.

Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 5 và 7. Mỗi thừa số đều lấy với số mũ lớn nhất là 1.

Vậy bội chung nhỏ nhất của 14 và 35 là 2 ∙ 5 ∙ 7 = 70.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có 18 = 2 ∙ 9 = 2 ∙ 3².

b) Sai. Các thừa số nguyên tố của 18 là 2 và 3.

Số 24 = 2³ ∙ 3 nên các thừa số nguyên tố là 2 và 3.

Số 4 không phải là số nguyên tố.

c) Đúng. Thừa số chung và riêng là 2 và 3, số mũ lớn nhất tương ứng là 3 và 2.

BCNN(18, 24) = 2³ ∙ 3² = 8 ∙ 9 = 72.

d) Sai. Bội chung nhỏ nhất tìm được là 72, đây là một số chẵn.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Quy tắc tìm BCNN yêu cầu lấy cả thừa số nguyên tố chung và riêng. Số 12 và 20 có chứa thừa số 2 nên thừa số 2 vẫn phải có mặt trong kết quả.

b) Đúng. Ta có 12 = 2² ∙ 3; 15 = 3 ∙ 5.

c) Sai. 20 = 2² ∙ 5.

Suy ra BCNN(12, 15, 20) = 2² ∙ 3 ∙ 5 = 60.

Số 120 chỉ là một bội chung, không phải nhỏ nhất.

d) Đúng. Số lớn nhất trong ba số ban đầu là 20. BCNN của ba số đã cho là 60.

Ta thấy 60 = 20 ∙ 3.

Vậy khẳng định “bội chung nhỏ nhất của ba số này gấp 3 lần số lớn nhất trong ba số ban đầu” là đúng.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. m = 4 ∙ 3 ∙ 5 = 60.

b) Sai. Thừa số 3 chỉ có ở m, không có ở n nên không phải là thừa số nguyên tố chung.

c) Sai. Biểu thức 2² ∙ 5 là ước chung lớn nhất. BCNN phải lấy số mũ lớn nhất.

d) Đúng. BCNN(m, n) = 2³ ∙ 3 ∙ 5² = 8 ∙ 3 ∙ 25 = 600.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tập hợp các bội của 3 là {0; 3; 6; 9; 12; 15;...}.

Số nhỏ nhất có hai chữ số là 12. Vậy b = 12.

b) Sai. a = 15 = 3 ∙ 5.

c) Sai. b = 12 = 2² ∙ 3.

Suy ra BCNN(15, 12) = 2² ∙ 3 ∙ 5 = 60 (không phải 30).

d) Đúng. Theo b), BCNN(a, b) = 60. Ta thấy 60 chia hết cho 10.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Theo định nghĩa, số nhỏ nhất khác 0 chia hết cho các số đã cho chính là BCNN của chúng.

b) Đúng. Ta có 12 = 4 ∙ 3 = 2² ∙ 3.

c) Sai. Phân tích 10 = 2 ∙ 5; 12 = 2² ∙ 3; 15 = 3 ∙ 5.

Suy ra BCNN(10, 12, 15) = 2² ∙ 3 ∙ 5 = 60.

Vậy x = 60, không phải 120.

d) Sai. Tích của 10 và 12 là 10 ∙ 12 = 120.

Vì x = 60 < 120 nên x nhỏ hơn tích này, khẳng định lớn hơn là sai.

Đáp án: 420.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7;

140 = 2² ∙ 5 ∙ 7;

210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7;

Thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 3, 5, 7.

Số mũ lớn nhất của 2 là 2; của 3 là 1; của 5 là 1; của 7 là 1.

Vậy BCNN(105, 140, 210) = 2² ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 4 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 420.

Đáp án: 120.

Gọi số tự nhiên cần tìm là x.

Vì x chia hết cho 6, 8 và 15 nên x là một bội chung của 6, 8 và 15.

Ta tìm BCNN (6, 8, 15):

6 = 2 ∙ 3;

8 = 2³;

15 = 3 ∙ 5.

Suy ra BCNN (6, 8, 15) = 2³ ∙ 3 ∙ 5 = 120.

Tập hợp các bội chung của 6, 8 và 15 là B(120) = {0; 120; 240; 360; ...}.

Vì x là số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số thỏa mãn, nên x = 120.

Đáp án: 34.

Gọi số tự nhiên cần tìm là x (với x là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0).

Theo đề bài, ta có:

x chia cho 4 dư 2 nên (x + 2) chia hết cho 4.

x chia cho 6 dư 4 nên (x + 2) chia hết cho 6.

x chia cho 9 dư 7 nên (x + 2) chia hết cho 9.

Từ điều kiện trên, ta suy ra (x + 2) phải là bội chung của 4, 6 và 9.

Để x là số tự nhiên nhỏ nhất, thì (x + 2) phải là bội chung nhỏ nhất của 4, 6 và 9.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

Suy ra BCNN(4, 6, 9) = 2² ∙ 3² = 36.

Do đó x + 2 = 36 nên x = 36 – 2 = 34.

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là 34.

Đáp án: 12.

Đặt 1200a = 1500b = 2000c = M (với M là số tự nhiên khác 0).

Khi đó, M phải chia hết cho cả 1200, 1500 và 2000.

Vì đề bài yêu cầu tìm các số a, b, c nhỏ nhất khác 0, nên M phải là bội chung nhỏ nhất của 1200, 1500 và 2000.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

1200 = 2⁴ ∙ 3 ∙ 5²; 1500 = 2² ∙ 3 ∙ 5³; 2000 = 2⁴ ∙ 5³.

Khi đó, BCNN(1200, 1500, 2000) = 2⁴ ∙ 3 ∙ 5³ = 6000.

Suy ra M = 6000.

Từ biểu thức 1200a = 6000, ta tính được: a = 6000 : 1200 = 5.

Từ biểu thức 1500b = 6000, ta tính được: b = 6000 : 1500 = 4.

Từ biểu thức 2000c = 6000, ta tính được: c = 6000 : 2000 = 3.

Vậy a + b + c = 5 + 4 + 3 = 12.

Đáp án 60.

Áp dụng tính chất mối liên hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của hai số:

ƯCLN(a, b) ∙ BCNN(a, b) = a ∙ b.

Thay các giá trị đã biết vào biểu thức, ta có:

5 ∙ BCNN(a, b) = 300

Suy ra BCNN(a, b) = 60.

🟋 Chú ý: Với hai số tự nhiên bất kì a, b khác 0, ta luôn có:

ƯCLN(a, b) ∙ BCNN(a, b) = a ∙ b.

Chứng minh:

Giả sử a và b được phân tích ra thừa số nguyên tố chung và riêng gồm các số nguyên tố p₁, p₂, ..., p_k.

Ta có thể viết:

\(a = p_1^{{a_1}} \cdot p_2^{{a_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{a_k}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,b = p_1^{{b_1}} \cdot p_2^{{b_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{b_k}}.\)

(với các số mũ a_i, b_i là các số tự nhiên)

Khi đó, ƯCLN(a, b) = \(p_1^{\min \left( {{a_1},{b_1}} \right)} \cdot p_2^{\min \left( {{a_2},{b_2}} \right)} \cdot ... \cdot p_k^{\min \left( {{a_k},{b_k}} \right)}\)

và BCNN(a, b) = \(p_1^{max\left( {{a_1},{b_1}} \right)} \cdot p_2^{max\left( {{a_2},{b_2}} \right)} \cdot ... \cdot p_k^{max\left( {{a_k},{b_k}} \right)}\)

Suy ra ƯCLN(a, b) ∙ BCNN(a, b)

\[ = \left( {p_1^{\min \left( {{a_1},{b_1}} \right)} \cdot p_2^{\min \left( {{a_2},{b_2}} \right)} \cdot ... \cdot p_k^{\min \left( {{a_k},{b_k}} \right)}} \right) \cdot \left( {p_1^{max\left( {{a_1},{b_1}} \right)} \cdot p_2^{max\left( {{a_2},{b_2}} \right)} \cdot ... \cdot p_k^{max\left( {{a_k},{b_k}} \right)}} \right)\]

\[ = p_1^{\min \left( {{a_1},{b_1}} \right) + max\left( {{a_1},{b_1}} \right)} \cdot p_2^{\min \left( {{a_2},{b_2}} \right) + max\left( {{a_2},{b_2}} \right)} \cdot ... \cdot p_k^{\min \left( {{a_k},{b_k}} \right) + max\left( {{a_k},{b_k}} \right)}\]

\[ = p_1^{{a_1} + {b_1}} \cdot p_2^{{a_2} + {b_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{a_k} + {b_k}}\] (tổng của số nhỏ nhất và số lớn nhất giữa hai số luôn bằng tổng của hai số đó)

\[ = \left( {p_1^{{a_1}} \cdot p_2^{{a_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{a_k}}} \right) \cdot \left( {p_1^{{b_1}} \cdot p_2^{{b_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{b_k}}} \right)\]

= a ∙ b.

Vậy ƯCLN(a, b) ∙ BCNN(a, b) = a ∙ b.