Bài tập ôn tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án
50 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Bất đẳng thức mô tả phát biểu “\[x\] là số không âm” là
\[x \le 0.\]
\[x \ge 0.\]
\[x < 0.\]
\[x > 0.\]
Chọn B
Ta có: \[x\] là số không âm nên \[x \ge 0.\]
Bất đẳng thức \[a + 1 < 3\] có vế trái là
\[a + 1\].
\[a\].
\[1\].
\[3\].
Chọn A
Bất đẳng thức \[a + 1 < 3\] có vế trái là \[a + 1\].
Cho \[a + 1 \le b + 2\]. So sánh hai số \[2a + 2\] và \[2b + 4\]. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\[2a + 2 > 2b + 4\].
\[2a + 2 < 2b + 4\].
\[2a + 2 \ge 2b + 4\].
\[2a + 2 \le 2b + 4\].
Chọn D
Ta có \[a + 1 \le b + 2\]
\[2\left( {a + 1} \right) \le 2\left( {b + 2} \right)\] (nhân cả hai vế của bất đẳng thức với hai)
\[2a + 2 \le 2b + 4\].
Bất đẳng thức nào mô tả tình huống buổi sáng nhiệt độ \[t\,\,({\rm{^\circ C}})\] không thấp hơn \[12{\rm{^\circ C}}\]?
\[t < 12\].
\[t = 12\]
\[t \le 12\].
\[t \ge 12\].
Chọn D
Buổi sáng nhiệt độ \[t\,\,(^\circ C)\] không thấp hơn \[12^\circ C\] nghĩa là lớn hơn hoặc bằng 12 nên \[t \ge 12.\]
Cho biết \[a > b\]. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\[\left( I \right)\]: \[a - 1 > b - 1\]; \[\left( {II} \right)\]: \[a - 1 > b\]; \[\left( {III} \right)\]: \[a + 2 > b + 1\].
\[1\].
\[2\].
\[3\].
\[0\].
Chọn B
• Vì \[a > b\], cộng hai vế của bất đẳng thức với \[ - 1\] ta được: \[a - 1 > b - 1\] nên khẳng định \[\left( I \right)\] đúng.
• Vì \[a - 1 > b - 1\] mà \[b - 1 < b\] nên ta chưa đủ dữ kiện để suy ra \[a - 1 > b\], do đó khẳng định \[\left( {II} \right)\] sai.
• Vì \[a > b\], cộng hai vế của bất đẳng thức với \[2\] ta được: \[a + 2 > b + 2\] mà \[b + 2 > b + 1\] nên \[a + 2 > b + 1\], do đó khẳng định \[\left( {III} \right)\] đúng.
Vậy có \[2\] khẳng định đúng.
Cho \[a > 1 > b\]. Khẳng định nào sau đây không đúng?
\[a - 1 > 0\].
\[a - b < 0\].
\[1 - b > 0\].
\[b - a < 0\].
Chọn B
• Từ \[a > b\], cộng \[ - b\] vào hai vế ta được \[a - b > b - b\], tức là \[a - b > 0\]. Do đó D đúng, B sai.
• Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với (-1) ta được: \[a + \left( { - 1} \right) > 1 + \left( { - 1} \right)\] hay \[a - 1 > 0\].
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \[1 > b\] với \[ - b\] ta được: \[1 + \left( { - b} \right) > b + \left( { - b} \right)\] hay \[1 - b > 0\].
Do đó A và C đều đúng.
Hãy chọn câu đúng. Nếu \[a > b\] thì
\[2a \le 2b\].
\[3b < 3a\].
\[4b > 4a\].
\[3\left( {a - 1} \right) \le 3\left( {b - 1} \right)\].
Chọn B
• Với \[a > b\], nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \[ - 3\] ta được: \[ - 3a < - 3b\].
Tiếp tục cộng hai vế của bất đẳng thức với \[1\] ta được: \[ - 3a + 1 < - 3b + 1\] nên A sai.
• Vì \[a > b\] và \[ - 3 < 0\] nên \[ - 3a < - 3b\] nên B đúng.
• Vì \[a > b\] và \[3 > 0\]nên \[3a > 3b\] nên C sai.
• Vì \[a > b\] nên \[a - 1 > b - 1\], suy ra \[3\left( {a - 1} \right) > 3\left( {b - 1} \right)\] nên D sai.
Cho \[ - 3x - 1 < - 3y - 1\]. So sánh \[x\] và \[y\]. Đáp án nào sau đây là đúng?
\[x < y\]
\[x > y\]
\[x = y\].
\[x \le y\].
Chọn B
Theo đề bài, ta có: \( - 3x - 1 < - 3y - 1\)
\( - 3x < - 3y\)
\(x > y\).
So sánh \[m\] và \[n\] biết \[m + \frac{1}{2} = n\].
\[m < n\].
\[n \le m\].
\[m > n\].
\[m \ge n\].
Chọn A
Ta có: \[m + \frac{1}{2} = n\] hay \[m - n = - \frac{1}{2}\] nên \[m - n < 0\], suy ra \[m < n\].
Với mọi \[a,\,\,b,\,\,c\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2ab + 2bc - 2ca\].
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2ab + 2bc - 2ca\].
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} > 2ab + 2bc - 2ca\]..
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} < 2ab + 2bc - 2ca\]
Chọn B
Ta có \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right)\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ca\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a\left( { - b} \right) + 2c\left( { - b} \right) + 2ac\]
\[ = {\left[ {a + \left( { - b} \right) + c} \right]^2}\]\[ = {\left( {a - b + c} \right)^2} \ge 0\], với mọi \[a,\,\,b,\,\,c\].
Do đó \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right) \ge 0\] nên \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2ab + 2bc - 2ca\].
Dấu xảy ra khi \[a - b + c = 0\].
Với mọi \[a,\,\,b\], khẳng định nào sau đây đúng?
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} < ab\).
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le ab\).
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\).
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} > ab\).
Chọn C
Xét hiệu \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\)\( = \frac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{2}\)\( = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) (luôn đúng).
Vậy \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\).
Với \[x,\,\,y\] bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.
\[{\left( {x + y} \right)^2} \le 4xy\].
\[{\left( {x + y} \right)^2} > 4xy\].
\[{\left( {x + y} \right)^2} < 4xy\].
\[{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\].
Chọn D
Xét hiệu \[P = {\left( {x + y} \right)^2} - 4xy = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy\]\[ = {x^2} - 2xy + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2}\]
Mà \[{\left( {x - y} \right)^2}\; \ge 0\] với mọi \[x,\,\,y\] nên \[P \ge 0\] mọi \[x,\,\,y\].
Do đó \[{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\].
Cho \[a > b > 0\]. So sánh \[{a^2}\] và \[ab\]; \[{a^3}\] và \[{b^3}\].
\[{a^2} < ab\] và \[{a^3} > {b^3}\].
\[{a^2} > ab\] và \[{a^3} > {b^3}\].
\[{a^2} < ab\] và \[{a^3} < {b^3}\].
\[{a^2} > ab\] và \[{a^3} < {b^3}\].
Chọn B
Với \[a > b > 0\] ta có: \[a \cdot a > a \cdot b\] hay \[{a^2} > ab\].
Ta có: \[{a^2} > ab\] nên \[{a^2} \cdot a > a \cdot ab\] hay \[{a^3} > {a^2}b\].
Mà \[a > b > 0\] nên \[ab > {b^2}\] suy ra \[{a^2}b > {b^3}\].
Khi đó \[{a^3} > {a^2}b > {b^3}\] hay \[{a^3} > {b^3}\].
Vậy \[{a^2} > ab\] và \[{a^3} > {b^3}\].
Cho \[x + y \ge 2\]. Chọn khẳng định đúng.
\({x^2} + {y^2} \ge 2\).
\({x^2} + {y^2} \le 2\).
\({x^2} + {y^2} \ge 2\).
\({x^2} + {y^2} > 2\).
Chọn A
Từ \[x + y \ge 2\], bình phương hai vế (hai vế đều dương) được: \[{x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4\]. \[\left( 1 \right)\]
Từ \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] suy ra \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\]. \[\left( 2 \right)\]
Cộng từng vế \[\left( 1 \right)\] với \[\left( 2 \right)\] được:\[2{x^2} + 2{y^2} \ge 4\].
Chia cả hai vế cho \(2\) ta được: \[{x^2} + {y^2} \ge 2\].
Dấu xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {x - y} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x = y\end{array} \right.\) nên \(x = y = 1\).
Tìm hai số dương khi biết tổng của chúng là \[81\]và hiệu của chúng là \[13\]. Nếu gọi số lớn là \[x\], số bé là \[y\] thì điều kiện của số lớn là
\[x \le 13\].
\[81 > x > 13\].
\[81 \ge y \ge 13\].
\[x > 81\].
Chọn C
Vì hiệu hai số là 13 nên biểu diễn sẽ được \[x = y + 13\].
Mà \[y > 0\] nên \[y + 13 > 13\] hay \[x > 13\].
Cho các bất phương trình sau, đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
\[5x + 7 < 0\].
\[0x + 6 > 0\].
\[{x^2} - 2x > 0\].
\[x - 10 = 3\].
Chọn A
Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ta có:
Đáp án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Đáp án B không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn vì \[a = 0\].
Đáp án C không phải là bất phương trình bậc nhất vì có \[{x^2}\].
Đáp án D không phải bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.
Giá trị \[x = 2\] là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\[7 - x < 2x\].
\[2x + 3 > 9\].
\[ - 4x \ge x + 5\].
\[5 - x > 6x - 12\].
Chọn D
Thay \[x = 2\] vào từng phương trình:
Đáp án A. \[7 - 2 < 2.2\] hay \[5 < 4\] vô lý. Loại đáp án A.
Đáp án B. \[2.2 + 3 > 9\] hay \[7 > 9\] vô lý. Loại đáp án B.
Đáp án C. \[ - 4.2 \ge 2 + 5\] hay \[ - 8 > 7\] vô lý. Loại đáp án C.
Đáp án D. \[5 - 2 > 6.2 - 12\] hay \[3 > 0\] luôn đúng. Chọn đáp án D.
Hệ số \[a,\,\,b\] của bất phương trình bậc nhất một ẩn \[6x - 23 \ge 0\]là của bất phương trình \[7\left( {3x + 5} \right) > 0\] là
\[a = 6;\,\,b = - 23.\]
\[a = x;\,\,b = - 23.\]
\[a = 6;\,\,b = 23.\]
\[a = 6x;\,\,b = - 23.\]
Chọn A
Hệ số \[a,\,\,b\] của bất phương trình bậc nhất một ẩn \[6x - 23 \ge 0\] là \[a = 6;\,\,b = - 23.\]
Nghiệm của bất phương trình \[7\left( {3x + 5} \right) > 0\] là
\[x > \frac{3}{5}\].
\[x \le - \frac{5}{3}\].
\[x \ge - \frac{5}{3}\].
\[x > - \frac{5}{3}\].
Chọn D
Vì \[7 > 0\] nên \[7\left( {3x + 5} \right) \ge 3\] hay \[3x > - 5\], suy ra \[x > - \frac{5}{3}\]. Do đó, đáp án cần chọn là D.
Với giá trị nào của \[x\] thì biểu thức \[4x + 1\] là số âm?
\[x = - \frac{1}{4}.\]
\[x > - \frac{1}{4}.\]
\[x < \frac{1}{4}.\]
\[x < - \frac{1}{4}.\]
Chọn D
Ta có biểu thức \[4x + 1\] là số âm, tức là \[4x + 1 < 0\] nên \[4x < - 1\] hay \[x < - \frac{1}{4}.\]
Do đó \[x < - \frac{1}{4}\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với giá trị nào của \[m\] thì bất phương trình \[m\left( {2x + 1} \right) < 8\] là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
\[m \ne 1\].
\[m \ne - \frac{1}{3}\].
\[m \ne 0\].
\[m \ne 8\].
Chọn C
Ta có \[m\left( {2x + 1} \right) < 8\] được biến đổi thành \[2mx + m - 8 < 0\].
Vậy để bất phương trình \[m\left( {2x + 1} \right) < 8\] là bất phương trình bậc nhất một ẩn thì \[2mx + m - 8 < 0\]là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì \[a \ne 0\] hay \[2m \ne 0\] nên \[m \ne 0\].
Nghiệm của bất phương trình \[3x + 7 > x + 9\] là
\[x > 1\].
\[x > - 1\]
\[x = 1\].
\[x < 1\].
Chọn A
Ta có \[3x + 7 > x + 9\]
\[3x - x > 9 - 7\]
\[2x > 2\]
\[x > 1\].
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x > 1\].
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình \[{\left( {x - 2} \right)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\] là
\[x = - 2\].
\[x = 0\].
\[x = - 1\].
\[x \le - \frac{7}{{12}}\].
Chọn C
Ta có \[{\left( {x - 2} \right)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\]
\[{x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\]
\[ - 12x + 7 \ge 0\]
\[x \le \frac{{ - 7}}{{12}}\].
Do đó, nghiệm của bất phương trình là \[x \le \frac{{ - 7}}{{12}}\].
Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \[x = - 1\].
Bất phương trình \[2\left( {x - 1} \right) - x > 3\left( {x - 1} \right) - 2x - 5\] có nghiệm là
vô số nghiệm.
\[x < 3,24\].
\[x > 2,12\].
vô nghiệm.
Chọn A
\[2\left( {x - 1} \right) - x > 3\left( {x - 1} \right) - 2x - 5\]
\[2x - 2 - x > 3x - 3 - 2x - 5\]
\[x - 2 > x - 8\]
\[ - 2 > - 8\] (luôn đúng).
Vậy bất phương trình trên có vô số nghiệm.
Nghiệm của các bất phương trình \[{x^2} + 2(x - 3) - 1 > x\left( {x + 5} \right) + 5\] và \[\frac{2}{3} - \frac{{3x - 6}}{2} > \frac{{1 + 3x}}{6}\] lần lượt là
\[x > - 4\,;\,\,x > \frac{7}{4}\].
\[x < - 4\,;\,\,x < \frac{7}{4}\].
\[x > - 4\,;\,\,x < \frac{7}{4}\].
\[x < - 4\,;\,\,x > \frac{7}{4}\].
Chọn C
Giải lần lượt hai phương trình đã cho, ta được:
• \[{x^2} + 2\left( {x - 3} \right) - 1 > x\left( {x + 5} \right) + 5\]
\[{x^2} + 2x - 6 - 1 > {x^2} + 5x + 5\]
\[{x^2} + 2x - {x^2} - 5x > 5 + 6 + 1\]
\[ - 3x > 12\]
\[x < - 4\].
Do đó, nghiệm của bất phương trình là \[x < - 4\].
• \[\frac{2}{3} - \frac{{3x - 6}}{2} > \frac{{1 + 3x}}{6}\]
\[2.2 - 3(3x - 6) > 1 + 3x\]
\[4 - 9x + 18 > 1 + 3x\]
\[12x < 21\]
\[x < \frac{7}{4}\].
Do đó, nghiệm của bất phương trình là \[x < \frac{7}{4}\].
Vậy nghiệm của các bất phương trình \[{x^2} + 2\left( {x - 3} \right) - 1 > x\left( {x + 5} \right) + 5\] và \[\frac{2}{3} - \frac{{3x - 6}}{2} > \frac{{1 + 3x}}{6}\] lần lượt là \[x > - 4\,;\,\,x < \frac{7}{4}\].
Cho phương trình \[5x - 4 = 2 - 3m\,\,\,\,\left( 1 \right),\] trong đó \[x\] là ẩn số và \[m\] là một số cho trước. Giá trị của \[m\] để phương trình (1) có nghiệm dương là
\[m < - 2.\]
\[m > 2.\]
\[m < 2.\]
\[m \le - 2.\]
Chọn C
Ta có: \[5x - 4 = 2 - 3m\]
\[5x = 6 - 3m\]
\[x = \frac{{6 - 3m}}{5}.\]
Để phương trình (1) có nghiệm dương thì \[\frac{{6 - 3m}}{5} > 0.\]
Giải bất phương trình:
\[\frac{{6 - 3m}}{5} > 0\]
\[6 - 3m > 0\]
\[ - 3m > - 6\]
\[m < 2.\]
Vậy \[m < 2\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hai bạn Nga và An vào cửa hàng mua bút. Biết giá của một cái bút bi là \(x\) nghìn đồng và một cái bút chì là \(10\) nghìn đồng. Bạn Nga mua hai cái bút bi và hai bút chì. Bạn An mua ba cái bút bi và hai cái bút chì. Bất đẳng thức biểu thị đúng sự so sánh số tiền của hai bạn phải trả cho cửa hàng là
\(2x + 20 < 3x + 20\).
\(2x + 20 \ge 3x + 20\).
\(3x + 20 = 2x + 20\).
\(3x + 20 < 2x + 20\).
Chọn C
Số tiền bạn Nga phải trả cho cửa hàng là \(2x + 20\) (nghìn đồng)
Số tiền bạn An phải trả cho cửa hàng là \(3x + 20\) (nghìn đồng)
Vì \(2x < 3x\) nên \(2x + 20 < 3x + 20\).
Bạn Tiên dùng \(85\,\,000\) đồng đi mua vở: O10-2024-GV154 Loại 1 giá \(7\,\,500\) đồng/quyển, loại 2 giá \(6\,\,000\) đồng/quyển. Gọi \(x\) là số vở mỗi loại bạn mua thì bất phương trình lập được thể hiện mối quan hệ giữa số tiền Tiên mua và Tiên mang đi là
\(7\,\,500x + 6\,\,000x < 85\,\,000\).
\(7500x + 6000x \ge 85\,\,000\).
\(7\,\,500x + 6\,\,000x \le 85\,\,000\).
\(7\,\,500x + 6\,\,000x = 85\,\,000\).
Chọn C
Gọi \[x\] là số vở mỗi loại mà Tiên có thể mua nhiều nhất \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right).\)
Như vậy, tổng số tiền mua \(x\) quyển giá \(7\,\,500\) đồng và \(x\) quyển giá \(6\,\,000\) đồng nhỏ hơn hoặc bằng \(85\,\,000\) đồng hay \(7\,\,500x + 6\,\,000x \le 85\,\,000\).
Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn một tháng là \(0,4\% \)/ tháng. Hỏi nếu muốn có số tiền lãi hằng tháng ít nhất là \(3\) triệu đồng thì số tiền gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu?
\(700\) triệu đồng.
\(720\) triệu đồng.
\(750\) triệu đồng.
\(740\) triệu đồng.
Chọn C
Gọi \(x\) (triệu đồng) là số tiền gửi tiết kiệm \(\left( {x > 0} \right)\).
Khi đó số tiền lãi một tháng là \(0,4\% .x = 0,004x\) (triệu đồng).
Để số tiền lãi hàng tháng ít nhất là \(3\) triệu đồng thì ta phải có:
\[0,004x \ge 3\] hay \[x \ge 750\].
Vậy số tiền tiết kiệm ít nhất là \(750\) triệu đồng để có số tiền lãi hàng tháng ít nhất là \(3\) triệu đồng.
Một kì thi Tiếng Anh gồm bốn kĩ năng: nghe, nói, đọc, viết. Kết quả bài thi là điểm số trung bình của bốn kĩ năng này. Bạn Hà đã đạt được điểm số của ba kĩ năng nghe, đọc, viết lần lượt là \[6,5;\,\,6,5;\,\,5,5.\] Hỏi bạn Hà cần đạt được ít nhất bao nhiêu điểm trong kĩ năng nói để kết quả bài thi đạt được ít nhất là \[6,25?\]
\[6.\]
\[6,25.\]
\[6,5.\]
\[6,75.\]
Chọn C
Gọi \[x\] (điểm) là điểm kĩ năng nói trong bài thi Tiếng Anh của bạn Hà \[\left( {x > 0} \right)\].
Điểm trung bình của bốn kĩ năng nghe, nói, đọc, viết là:
\[\frac{{6,5 + x + 6,5 + 5,5}}{4} = \frac{{18,5 + x}}{4}\] (điểm).
Vì kết quả bài thi đạt ít nhất là \[6,25\] nên ta có bất phương trình \[\frac{{18,5 + x}}{4} \ge 6,25\]
Giải bất phương trình:
\[\frac{{18,5 + x}}{4} \ge 6,25\]
\[18,5 + x \ge 25\]
\[x \ge 6,5.\]
So với điều kiện \[x > 0,\] ta nhận \[x \ge 6,5.\]
Vậy bạn Hà cần đạt được ít nhất \[6,5\] điểm trong kĩ năng nói để kết quả bài thi đạt được ít nhất là \[6,25.\]
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho bất đẳng thức \[a \ge b\] thì
a) Bất đẳng thức cùng chiều là \[2a - 1 \ge 3 - 2b\].
b) Vế trái bất đẳng thức \[a \ge b\] là \[b\].
c) \[2a + 3 \ge 2b + 3\].
d) \[ - 5a + 5 \ge - 5b + 5\].
a) Đúng. Do cùng chứa dấu \[ \ge \] nên bất đẳng thức \[a \ge b\] cùng chiều là \[2a - 1 \ge 3 - 2b.\]
b) Sai. Vế trái bất đẳng thức \[a \ge b\] là \(a.\)
c) Đúng. Ta có \[a \ge b\] nên \[2a \ge 2b\] suy ra \[2a + 3 \ge 2b + 3.\] (nhân cả hai vế với cùng số dương nên bất đẳng thức không đổi chiều)
d) Sai. Ta có \[a \ge b\] nên \[ - 5a \le - 5b\] suy ra \[ - 5a + 5 \le - 5b + 5\] (nhân cả hai vế với cùng số âm nên bất đẳng thức đổi chiều)
Cho \[a < b\]. Khi đó
a) \[4a + 1 < 4b + 5\].
b) \[7 - 2a < 4 - 2b\].
c) \[4a - 2 < 4b - 2\].
d) \[6 - 3a < 6 - 3b\].
a) Đúng. Vì \[a < b\] nên \[4a < 4b\] suy ra \[4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\] hay \[4a + 1 < 4b + 5\].
b) Sai. Vì \[a < b\] nên \[ - 2a > - 2b\] suy ra \[7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\] hay \[7 - 2a > 4 - 2b\]
c) Đúng. Vì \[a < b\] nên \[4a < 4b\] suy ra \[4a - 2 < 4b - 2\].
d) Sai. Vì \[a < b\] nên \[ - 3a > - 3b\] suy ra \[6 - 3a > 6 - 3b\].
Chiều cao \[h\] của các bạn nam trong lớp 9A từ \[1,5\,\,{\rm{m}}\] đến \[1,8\,\,{\rm{m}}.\]
a) Chiều cao \[h\] của các bạn nam trong lớp 9A được biểu diễn là \[1,5 \le h \le 1,8\].
b) Bạn An là học sinh nam lớp 9A và có chiều cao \[h > 1,8\,\,{\rm{m}}.\]
c) Bạn My là bạn nữ lớp 9A và có chiều cao \[h \ge 1,5\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
d) Bạn Kiên là học sinh nam lớp 9A và có thể đạt chiều cao \[1,45\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
a) Đúng. Do các bạn nam trong lớp 9A có chiều cao từ \[1,5\,\,{\rm{m}}\] đến \[1,8\,\,{\rm{m}}\] nghĩa là chiều cao lớn hơn hoặc bằng \[1,5\,\,{\rm{m}}\] đến nhỏ hơn hoặc bằng \[1,8\,\,{\rm{m}}\] nên \[1,5 \le h \le 1,8\].
b) Sai. Do các bạn nam trong lớp 9A có chiều cao thỏa mãn \[1,5 \le h \le 1,8\] nên bạn An không thể có chiều cao \[h > 1,8\,\,{\rm{m}}.\]
c) Sai. Do thông tin cho về chiều cao các bạn nam nên chiều cao các bạn nữ của lớp 9A nên chưa thể kết luận được.
d) Sai. Do các bạn nam trong lớp 9A có chiều cao thỏa mãn \[1,5 \le h \le 1,8\]; mà \[1,45\,\,{\rm{m}} < 1,5\,\,{\rm{m}}\] nên bạn Kiên không thể chiều cao \[1,45\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
Quãng đường đi từ A đến B dài \(50\) km. Một ô tô đi từ A đến B, khởi hành lúc \(7\) giờ. Hỏi ô tô phải đi với vận tốc bao nhiêu km/h để đến B trước \(9\) giờ cùng ngày? Gọi \(x\,\,({\rm{km/h}})\) là vận tốc của ô tô.
a) Điều kiện: \(x > 0\).
b) Thời gian đi từ A đến B là \(\frac{{50}}{x}\) giờ.
c) Để đến B trước \(9\) giờ thì thời gian đi cần nhỏ hơn hoặc bằng \(2\).
d) Bất phương trình thỏa mãn bài toán là \(\frac{{50}}{x} > 2\).
a) Đúng. Vận tốc của ô tô là \(x\,\,({\rm{km/h}})\) nên \(x > 0\).
b) Đúng. Thời gian đi từ A đến B là \(\frac{{50}}{x}\) giờ.
c) Sai. Để đến B trước 9 giờ thì thời gian đi cần nhỏ hơn \(9 - 7 = 2\) (giờ).
d) Sai. Bất phương trình thỏa mãn bài toán là \(\frac{{50}}{x} < 2\).
Cho bất phương trình \(m\left( {5x - 2} \right) < 1\).
a) Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) với \(m \in \mathbb{R}\) tùy ý.
b) Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{3}{5}\).
c) Khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{1}{5}\).
d) Khi \(m = - 2,\) bất phương trình đã cho có nghiệm nguyên lớn nhất là \( - 1\).
a) Sai. Ta có: \(m\left( {5x - 2} \right) < 1\) hay \[5mx - 2m - 1 < 0\].
Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) khi \(5m \ne 0\) hay \(m \ne 0\).
b) Đúng. Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \(5x - 2 < 1\) hay \(5x < 3\) nên \(x < \frac{3}{5}\).
Như vậy, khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{3}{5}\).
c) Sai. Khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 5x + 2 < 1\) hay \( - 5x < - 1\) nên \[x > \frac{1}{5}\].
Như vậy, khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \[x > \frac{1}{5}\].
d) Sai. Khi \(m = - 2,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - \,10x + 4 < 1\) hay \( - 10x < - 3\)
\(x > \frac{3}{{10}}\).
Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là 1.
Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) và \(a \le b.\)
a) \(a + c \le b + c.\)
b) \(ac \ge bc\) với \(c > 0.\)
c) \( - \frac{a}{c} \ge - \frac{b}{c}\) với \(c < 0.\)
d) \({a^2} \le {b^2}.\)
a) Đúng. Với \(a \le b\) thì \(a + c \le b + c.\) (cộng hai vế của bất phương trình với \(c).\)
b) Sai. Với \(a \le b\) thì \(ac \le bc\) với \(c > 0.\)
c) Sai. Với \(a \le b\) thì \(\frac{a}{c} \ge \frac{b}{c}\) với \(c < 0,\) nên \( - \frac{a}{c} \le - \frac{b}{c}.\)
d) Sai. Với \(a \le b\) thì \(a - b \le 0\).
Chẳng hạn nếu \(a + b \le 0\) thì \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) \ge 0\) hay \({a^2} - {b^2} \ge 0\) nên \({a^2} \ge {b^2}.\)
Cho \(a < b\). Khi đó
a) \(4a - 2 > 4b - 2.\)
b) \(6 - 3a < 6 - 3b\).
c) \(4a + 1 < 4b + 5\).
d) \(7 - 2a > 4 - 2b\).
a) Sai. Vì \(a < b\) suy ra \(4a < 4b\) hay \(4a - 2 < 4b - 2\)
b) Sai. Vì \(a < b\) suy ra \( - 3a > - 3b\) hay \(6 - 3a > 6 - 3b\).
c) Đúng. Vì \(a < b\) suy ra \(4a < 4b\) nên \(4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\) hay \(4a + 1 < 4b + 5\).
d) Đúng. Vì \(a < b\) suy ra \( - 2a > - 2b\) nên \(7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\) hay \(7 - 2a > 4 - 2b\).
Cho bất phương trình \(\frac{{x + 4}}{5} < \frac{{x + 3}}{3} - \frac{{x - 2}}{2}\).
a) Bất phương trình trên là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
b) Có thể biến đổi bất phương trình trên về dạng \(\frac{{x + 4}}{5} - \frac{{x + 3}}{3} + \frac{{x - 2}}{2} < 0\).
c) Có thể biến đổi bất phương trình trên về dạng \(\frac{{6\left( {x + 4} \right)}}{5} < \frac{{10\left( {x + 3} \right)}}{3} - \frac{{15\left( {x - 2} \right)}}{2}\).
d) Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là \(4.\)
a) Đúng. Bất phương trình \(\frac{{x + 4}}{5} < \frac{{x + 3}}{3} - \frac{{x - 2}}{2}\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
b) Đúng. Ta có \(\frac{{x + 4}}{5} < \frac{{x + 3}}{3} - \frac{{x - 2}}{2}\) nên \(\frac{{x + 4}}{5} - \frac{{x + 3}}{3} + \frac{{x - 2}}{2} < 0\) (chuyển vế).
c) Sai. Ta có \(\frac{{x + 4}}{5} < \frac{{x + 3}}{3} - \frac{{x - 2}}{2}\) nên \(\frac{{6\left( {x + 4} \right)}}{{30}} < \frac{{10\left( {x + 3} \right)}}{{30}} - \frac{{15\left( {x - 2} \right)}}{{30}}\) (quy đồng mẫu số).
d) Sai. Ta có \(\frac{{x + 4}}{5} < \frac{{x + 3}}{3} - \frac{{x - 2}}{2}\)
\(\frac{{6(x + 4)}}{{30}} < \frac{{10(x + 3)}}{{30}} - \frac{{15(x - 2)}}{{30}}\)
\(6x + 24 < 10x + 30 - 15x + 30\)
\[6x - 10x + 15x < 30 + 30 - 24\]
\(11x < 36\)
\(x < \frac{{36}}{{11}} \approx 3,27\).
Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho là \(3\).
Cho bất phương trình \(m\left( {2x + 1} \right) < 8\).
a) Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) với \(m \in \mathbb{R}\) tùy ý.
b) Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{7}{2}\).
c) Khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < - \frac{9}{2}\).
d) Khi \(m = - 2,\) bất phương trình đã cho có nghiệm nguyên lớn nhất là \( - 2\).
a) Sai. Ta có: \(m\left( {2x + 1} \right) < 8\) nên \(2mx + m - 8 < 0\).
Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) khi \(2m \ne 0\) hay \(m \ne 0\).
b) Đúng. Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \(2x - 7 < 0\) hay \(2x < 7\) nên \(x < \frac{7}{2}.\)
Như vậy, khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{7}{2}.\)
c) Sai. Khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 2x - 9 < 0\) hay \( - 2x < 9\) nên \(x > - \frac{9}{2}.\)
Như vậy, khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > - \frac{9}{2}.\)
d) Sai. Khi \(m = - 2,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 4x - 10 < 0\) hay \( - 4x < 10\) nên \(x > - \frac{5}{2}.\)
Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là \( - 2\).
Một quả táo có giá 22 nghìn đồng, một quả lê có giá 10 nghìn đồng. Bạn An có 300 nghìn đồng, bạn ấy muốn mua mỗi loại ít nhất 6 quả và tổng số hai loại quả mua được là nhiều nhất.
Gọi \(x\) (quả) là tổng số quả táo và quả lê bạn An có thể mua được \(\left( {x \in \mathbb{N},\,\,x \ge 12} \right)\).
a) Do mỗi loại bạn An mua ít nhất 6 quả và giá của mỗi quả táo cao hơn mỗi quả lê, nên bạn An chỉ nên mua 6 quả táo để số quả lê mua được là nhiều nhất.
b) Số tiền bạn An dùng để mua lê là \(10\left( {x - 6} \right)\) (nghìn đồng).
c) Bất phương trình biểu diễn số tiền bạn An dùng để mua hai loại quả là: \(132 + 10\left( {x - 6} \right) \le 300.\)
d) Bạn An có thể mua được nhiều nhất 20 quả táo và lê.
a) Đúng. Do mỗi loại bạn An mua ít nhất 6 quả và giá của mỗi quả táo cao hơn mỗi quả lê, nên bạn An chỉ nên mua 6 quả táo để số quả lê mua được là nhiều nhất.
b) Đúng. Số quả lê bạn An đã mua là: \(x - 6\) (quả).
Số tiền bạn An dùng để mua 6 quả táo là: \(6 \cdot 22 = 132\) (nghìn đồng).
Số tiền bạn An dùng để mua \(x - 6\) quả lê là: \(10\left( {x - 6} \right)\) (nghìn đồng).
c) Đúng. Bạn An có 300 nghìn đồng để mua táo và lê nên ta có: \(132 + 10\left( {x - 6} \right) \le 300\)
d) Sai. Giải phương trình \(132 + 10\left( {x - 6} \right) \le 300\)
\(132 + 10x - 60 \le 300\)
\(10x \le 228\)
\(x \le 22,8\).
Mà tổng số hai loại quả mua được là nhiều nhất nên \(x\) là số nguyên lớn nhất, do đó \(x = 22.\)
Vậy bạn An có thể mua được nhiều nhất 22 quả táo và lê.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong mỗi câu hỏi, thí sinh viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Cho bất phương trình \(3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 5\left( {x + 4} \right)\). Biết nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình có dạng
(\frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản có mẫu số dương). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b.\)
Giải bất phương trình:
\(3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 5\left( {x + 4} \right)\)
\(3x - 6 - 2x \le 5x + 20\)
\(x - 6 \le 5x + 20\)
\(x - 5x \le 20 + 6\)
\( - 4x \le 26\)
\(x \ge \frac{{26}}{{ - 4}}\)
\(x \ge - \frac{{13}}{2}.\)
Như vậy, nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình là \(x = - \frac{{13}}{2} = \frac{{ - 13}}{2}.\)
Theo bài, nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình có dạng \(\frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản có mẫu số dương, nên \(a = - 13\) và \(b = 2.\)
Do đó, giá trị biểu thức \(T = a + b = - 13 + 2 = - 11.\)
Đáp án: −11.
Cho bất phương trình \(\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 2}}{2} \ge \frac{{5x + 4}}{6}\). Tìm nghiệm âm lớn nhất của bất phương trình đó.
Giải bất phương trình:
\(\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 2}}{2} \ge \frac{{5x + 4}}{6}\)
\(\frac{{2\left( {2x - 1} \right)}}{6} - \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{6} \ge \frac{{5x + 4}}{6}\)
\(2\left( {2x - 1} \right) - 3\left( {x + 2} \right) \ge 5x + 4\)
\(4x - 2 - 3x - 6 \ge 5x + 4\)
\(x - 8 \ge 5x + 4\)
\(x - 5x \ge 4 + 8\)
\( - 4x \ge 12\)
\(x \le - 3.\)
Do đó, nghiệm âm lớn nhất của bất phương trình là \( - 3.\)
Đáp án: −3.
Một hãng taxi có bảng giá như sau:
Nếu gọi taxi của hãng này, với \(700\,\,000\) đồng, bạn Vân có thể đi được tối đa bao nhiêu km?
Gọi \(x\,\,({\rm{km}})\) là quãng đường tối đa bạn Vân có thể đi được \(\left( {x > 0} \right)\).
Nhận thấy \(17\,\,600 \cdot 30 = 528\,\,000 < 700\,\,000\) nên với \(700\,\,000\) đồng, ta có thể đi được nhiều hơn \(30\,{\rm{km}}\).
Do đó ta có: \(11\,\,000 + 29 \cdot 17\,\,600 + \left( {x - 30} \right) \cdot 14\,\,500 \le 700\,\,000\)
\(521\,\,400 + \left( {x - 30} \right) \cdot 14\,\,500 \le 700\,\,000\)
\(\left( {x - 30} \right) \cdot 14\,\,500 \le 178\,\,600\)
\(x - 30 \le \frac{{1\,\,786}}{{145}}\)
\(x \le \frac{{6\,\,136}}{{145}} \approx 42,317...\)
Để \(x\) lớn nhất thì \(x - 30 = 12\) nên \(x = 42\).
Vậy quãng đường tối đa bạn Vân có thể đi được là \(42\,{\rm{km}}\).
Đáp án: 42.
Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn \(12\) tháng là \(6,8\% /\)năm. Ông Kiên dự kiến gửi một số tiền và muốn số lãi hàng năm của mình ít nhất là \(70\) triệu để chi tiêu. Hỏi số tiền ông Kiên cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến hàng triệu đồng)?
Gọi \(x\) (triệu đồng) là số tiền ông Kiên cần gửi tiết kiệm \[\left( {x > 0} \right)\].
Số tiền lãi ông Kiên thu được trong một năm là \(0,068 \cdot x\) (triệu đồng).
Để có lãi suất ít nhất là \(70\) triệu đồng một năm thì ta có:
\(0,068x \ge 70\) nên \(x \ge \frac{{70}}{{0,068}} \approx 1029,417...\).
So với điều kiện \[x > 0\] và số tiền ông Kiên cần gửi tiết kiệm ít nhất nên \(x = 1030\) triệu đồng.
Vậy ông Kiên cần gửi ngân hàng ít nhất là \(1030\) triệu đồng.
Đáp án: 1030.
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) thỏa mãn bất phương trình \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3\].
Ta có \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3\]
\[{x^2} + 4x + 4\; < x + {x^2}\;--3\]
\[\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3\]
\[3x < - 7\]
\[x < - \frac{7}{3}\]
Do đó, nghiệm của bất phương trình là \[x < - \frac{7}{3}.\]
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho là \(x = - 3.\)
Đáp án: −3.
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình \(x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\) .
Giải bất phương trình: \(x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\)
\(5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}\)
\(5x \ge - 12\)
\(x \ge \frac{{ - 12}}{5}\).
Do đó nghiệm của bất phương trình là \(x \ge \frac{{ - 12}}{5}\,\,\,\left( { = - 2,4} \right)\).
Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là \(x = - 2\).
Đáp án: −2.
Người ta dùng một loại xe tải để chở sữa tươi cho một nhà máy. Biết mỗi thùng sữa loại \(180\,\,{\rm{ml}}\) nặng trung bình \(10\,\,{\rm{kg}}.\) Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là \(5,25\) tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng sữa như vậy, biết bác lái xe nặng \(65\,\,kg?\)
Đổi \(5,25\) tấn \( = 5\,\,250\,\,{\rm{kg}}\)
Gọi \(x\) (thùng) là số sữa mà xe có thể chở \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).
Khi đó, khối lượng sữa mà xe chở là: \(10x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right).\)
Tổng khối lượng sữa và bác tài xế là: \(65 + 10x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right).\)
Do trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là \(5\,\,250\,\,{\rm{kg}}\) nên ta có
\(65 + 10x \le 5\,\,250\)
\(10x \le 5\,\,185\)
\(x \le 518,5\)
Mà \(x \in \mathbb{N}*\) nên xe tải đó có thể chở tối đa 518 thùng sữa.
Đáp án: 518.
Một xe tải trọng lượng \[5\] tấn đi chở hàng. Biết số hàng cần chở là \[37\] tấn. Hỏi xe tải cần chở ít nhất bao nhiêu chuyển để chở hết số hàng?
Gọi số chuyến ít nhất cần chở là \(x\) (chuyến) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Theo bài ra ta có: \(5x \ge 37\) nên \(x \ge 7,4\)
Mà \(x\) nhỏ nhất, \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(x = 8\).
Vậy xe tải cần chở ít nhất \(8\) chuyến.
Đáp án: 8.
Hùng có số tiền không vượt quá \[60{\rm{ }}000\] đồng gồm 15 tờ với hai loại mệnh giá: \[2{\rm{ }}000\] đồng và \[5{\rm{ }}000\] đồng. Hỏi Hùng có nhiều nhất bao nhiêu tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng?
Gọi \(x\) là số tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng nhiều nhất mà Hùng có \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).
Số tờ tiền mệnh giá \[2{\rm{ }}000\] đồng Hùng có là: \(15 - x\) (tờ).
Giá trị của \(15 - x\) tờ tiền mệnh giá \[2{\rm{ }}000\] đồng là: \(2\,\,000\left( {15 - x} \right)\) (đồng).
Giá trị của \(x\) tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng là: \(5\,\,000x\) (đồng).
Tổng số tiền Hùng có là: \(2\,\,000\left( {15 - x} \right) + 5\,\,000x = 3\,\,000x + 30\,\,000\) (đồng).
Theo bài, Hùng có số tiền không vượt quá \[60{\rm{ }}000\] đồng nên ta có bất phương trình:
\(3\,\,000x + 30\,\,000 \le 60\,\,000\)
\(3\,\,000x \le 30\,\,000\)
\(x \le 10\).
Mà \(x \in \mathbb{N}*\) và \(x\) lớn nhất nên \(x = 10\).
Vậy Hùng có nhiều nhất là 10 tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng.
Đáp án: 10.
Bác An có \(500\,\,000\) đồng. Bác muốn mua một túi nước giặt \(190\,\,000\) đồng, một chai nước xả vải \(110\,\,000\) đồng và một số chai nước rửa tay, mỗi chai có giá \(45\,\,000\) đồng. Hỏi Bác An mua được nhiều nhất bao nhiêu chai nước rửa tay?
Gọi số chai nhiều nhất bác An mua được là \(x\) (chai) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Theo bài ra ta có: \(45\,\,000x + 190\,\,000 + 110\,\,000 \le 500\,\,000\)
\(45\,\,000x + 300\,\,000 \le 500\,\,000\)
\(45\,\,000x \le 200\,\,000\)
\(x \le \frac{{40}}{9} = 4,44....\).
Mà \(x\) lớn nhất, \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(x = 4\).
Vậy bác An mua được nhiều nhất \(4\) chai.
Đáp án: 4.
