Bài tập Chuyên đề Hypebol có đáp án

Ta có: a² = 11, b² = 25 $\Rightarrow a=\sqrt{11},b=5,c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{11+25}=6.$

Do đó hai tiêu điểm là F₁(–6; 0) và F₂(6; 0).

Ta có: $e=\frac{c}{a}=\frac{6}{\sqrt{11}}\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{\sqrt{11}}{\frac{6}{\sqrt{11}}}=\frac{11}{6}.$

Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁(–6; 0) là ${\Delta }_1:x=-\frac{11}{6}.$ Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂(6; 0) là ${\Delta }_2:x=\frac{11}{6}.$

Để vẽ hypebol (H), ta có thể làm như sau:

Ta thấy a = 3, b = 4. (H) có các đỉnh là A₁(– 3; 0), A₂(3; 0).

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A₁(–4; 0) $\Rightarrow$ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự là 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

a)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một tiêu điểm là F₁(–3; 0) $\Rightarrow$ c = 3.

+) Hypebol có một đỉnh là A₂(2; 0) $\Rightarrow$ a = 2 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 3² – 2² = 5.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1.$

b)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A₂(4; 0) $\Rightarrow$ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự là 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

c)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một tiêu điểm là F₂(4; 0) $\Rightarrow$ c = 4.

+) Hypebol có một đường tiệm cận là $y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{7}}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{3}=\frac{b}{\sqrt{7}}\Rightarrow \frac{a^2}{9}=\frac{b^2}{7}=\frac{a^2+b^2}{9+7}=\frac{c^2}{16}=\frac{4^2}{16}=1\Rightarrow$a² = 9, b² = 7.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1.$

a) Ta có: a = 2, b = 1, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}.$

Toạ độ các đỉnh của hypebol là: A₁(–2; 0), A₂(2; 0).

Các tiêu điểm của hypebol là: F_{$\left(-\sqrt{5};0\right),$} F_{2$\left(\sqrt{5};0\right).$}

Tiêu cự của hypebol là: 2c = $2\sqrt{5}.$

Độ dài trục thực của hypebol là: 2a = 4.

b) Phương trình các đường tiệm cận của hypebol là: $y=-\frac{b}{a}x=-\frac{1}{2}x$ và $y=\frac{b}{a}x=\frac{1}{2}x.$

Vẽ hypebol:

Ta có: a = 1, b = 1. Suy ra:

Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol là: $d_1:y=-\frac{b}{a}x=-x$ và $d_2:y=\frac{b}{a}x=x.$

$d_1:y=-x$ hay x + y = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}\left(1;1\right).$

$d_2:y=x$ hay x – y = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}\left(1;-1\right).$

Có $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=1.1+1.\left(-1\right)=0.$ Suy ra hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ cũng vuông góc với nhau.

a) Vì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s nên tại thời điểm đó PB – PA = (3 . 10⁸) . 0,0012 = 360000 (m) = 360 (km).

Vì con tàu chuyển động với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm nên |PA – PB| = 360 (km) với mọi vị trí của P.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB và trục Ox trùng với AB, đơn vị trên hai trục là km thì hypebol này có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Vì |PA – PB| = 360 nên 2a = 360, suy ra a =180.

Theo đề bài, AB = 650, suy ra 2c = 650, suy ra c = 325.

b² = c² – a² = 325² – 180² = 73225.

Vậy phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là $\frac{x^2}{32400}-\frac{y^2}{73225}=1.$

b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục Oy của hypebol nên ta PB < PA với mọi vị trí của P. Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A.

Gọi t₁ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ A, t₂ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ B thì $t_1=\frac{PA}{v},t_2=\frac{PB}{v}$ với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.

Khi đó, ta có:

t₁ – t₂ = $\frac{PA-PB}{v}=\frac{360000}{3.8^{10}}=0,0012\left(s\right).$

Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.