Bài 7: Tứ giác nội tiếp
10 câu hỏi
Trên đường tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó.Trên dây AB lấy hai điểm E và H.Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn theo thứ tự tại C và D.Chứng minh EHCD là một tứ giác nội tiếp
Cho tam giác ABC.Các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại S,các đường phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại E.Chứng minh BSCE là một tứ giác nội tiếp
Ta có: BS ⊥ BE (tính chất đường phân giác của hai góc kề bù)
Và CS ⊥ CE (tính chất đường phân giác của hai góc kề bù)
Xét tứ giác BSCE ta có:
Vậy tứ giác BSCE nội tiếp đường tròn
Cho tam giác ABC có đáy BC và góc A = .Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm D sao cho DA = DB và góc (DAB) = .Gọi E là giao điểm của AB và CD. Chứng minh ACBD là một tứ giác nội tiếp
Cho tam giác ABC có đáy BC và góc A = . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm D sao cho DA = DB và góc (DAB) = .Gọi E là giao điểm của AB và CD. Tính góc (AED)
Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A,B,C.Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB,DC cắt các đường tròn (PAB) ,(PAC) lần lượt tại M,N.Chứng minh ba điểm M,A,N thẳng hàng
Gọi O1 , O2 ,O3 lần lượt là tâm của ba đường tròn
Ta có: () cắt () tại A, () cắt () tại C , () cắt () tại B
Suy ra: D là điểm nằm trên ()
DB cắt () tại M, DC cắt () tại N
Nối MA, NA, PA, PB, PC ta có các tứ giác nội tiếp AMBP, BDCP và APCN
*Tứ giác APBM nội tiếp trong đường tròn () nên ta có:
Cho đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC=BE.ED .Chứng minh bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn
Ta có: AE.EC=BE.ED (gt)
Suy ra : AE/ED = BE/EC
Xét ΔABE và ΔDCE ta có:
AE/ED = BE/EC
Vì A và D nhìn đoạn BC cố định dưới một góc bằng nhau nên A và D nằm trên một cung chứa góc vẽ trên BC hay bốn điểm A ,B ,C ,D cùng nẳm trên một đường tròn
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao AI, BK, CL của tam giác ấy. Gọi H là giao điểm của các đường cao vừa vẽ. Chỉ ra các tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy trong số các điểm A, B, C, H, I, K, L
Vì ABC là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác ABC.
Tứ giác AKHL có 
Tứ giác AKHL nội tiếp.
Tứ giác BIHL có 
Tứ giác BIHL nội tiếp.
Tứ giác CIHK có 
Tứ giác CIHK nội tiếp.
Tứ giác ABIK có 
K và I nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên tứ giác ABIK nội tiếp. Tứ giác BCKL có 
K và L nhìn đoạn BC dưới một góc vuông nên tứ giác BCKL nội tiếp.
Tứ giác ACIL có 
I và L nhìn đoạn AC dưới một góc vuông nên tứ giác ACIL nội tiếp.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao AI, BK, CL của tam giác ấy. Gọi H là giao điểm của các đường cao vừa vẽ. Chứng minh LBH, LIH, KIH, và KCH là 4 góc bằng nhau.
Vì ABC là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác ABC.
Tứ giác BIHL nội tiếp.
Tứ giác CIHK nội tiếp.
Từ (1), (2) suy ra:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao AI, BK, CL của tam giác ấy. Gọi H là giao điểm của các đường cao vừa vẽ. Chứng minh KB là tia phân giác của LKI
Vì ABC là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác ABC.
Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây AB, CD bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Gọi E và F tương ứng là giao điểm của MC, MD với dây AB. Gọi I và J tương ứng là giao điểm của DE, CF với đường tròn (O). Chứng minh IJ song song với AB.
