Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Vì phương trình 0x – 0y = 39 vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Vì phương trình 0x – 0y = 20 vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (s; t) = (3;2)

Đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm A(-7; 4) nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: a.(-7) + b.4 = -1

Khi đó ta có phương trình: 

Vậy a = 3, b = 5.

Đường thẳng ax – by = 4 đi qua hai điểm A(4; 3), B(-6; -7) nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

*Với điểm A: 4a – 3b = 4

*Với điểm B: -6a + 7b = 4

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy a = 4, b = 4.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (43/51 ; -44/51 )

*Cách 2: Đặt m = 3x – 2, n = 3y + 2

Ta có hệ phương trình:

Ta có: 3x – 2 = 9/17 ⇔ 3x = 2 + 9/17 ⇔ 3x = 43/17 ⇔ x = 43/51

3y + 2 = - 10/17 ⇔ 3y = -2 - 10/17 ⇔ 3y = - 44/17 ⇔ y = - 44/51

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (43/51 ; -44/51 )

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1; -2)

*Cách 2: Đặt m = x + y, n = x – y

Ta có hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1; -2)

Vì (x; y) = (11; 6) là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m +1 nên ta có:

3m.11 – 5.6 = 2m + 1

⇔ 33m – 30 = 2m + 1 ⇔ 31m = 31 ⇔ m = 1

Vậy với m = 1 thì nghiệm của $\left\{\begin{array}{l}\frac{x+1}{3}-\frac{y+2}{4}=\frac{2\left(x-y\right)}{5}\\ \frac{x-3}{4}-\frac{y-3}{3}=2y-x\end{array}\right.$ cũng là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1.

Gọi I là giao điểm của ($d_1$) và ($d_2$). Khi đó tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình: 

Tọa độ điểm I là I(5; -1)

Đường thẳng (d): y = (2m – 5)x – 5m đi qua I(5; -1) nên tọa độ của I nghiệm đúng phương trình đường thẳng:

Ta có: -1 = (2m – 5).5 – 5m ⇔ -1 = 10m – 25 – 5m

⇔ 5m = 24 ⇔ m = 24/5

Vậy với m = 24/5 thì đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng ($d_1$) và ($d_2$).

Tọa độ giao điểm của ($d_1$) và ($d_2$) là nghiệm của hệ phương trình:

Tọa độ giao điểm của ($d_1$) và ($d_2$) là (x; y) = (6; -2)

Để ba đường thẳng ($d_1$), ($d_2$), ($d_3$) đồng quy thì ($d_3$) phải đi qua giao điểm của ($d_1$) và ($d_2$), nghĩa là (x; y) = (6; -2) nghiệm đúng phương trình đường thẳng ($d_3$).

Khi đó ta có: 4m.6 + (2m – 1).(-2) = m + 2

⇔ 24m – 4m + 2 = m + 2 ⇔ 19m = 0 ⇔ m = 0

Vậy với m = 0 thì 3 đường thẳng ($d_1$), ($d_2$), ($d_3$) đồng quy.

Thay x = 3, y = 5 vào vế trái của phương trình (3) ta được:

VT = 5.3 – 2.5 = 15 – 10 = 5 = VP

Vậy (x; y) = (3; 5) là nghiệm của phương trình (3).

Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; ) = (3; 5)

Thay x = -3, y = 31/5 vào vế trái của phương trình (2), ta được:

VT = -3.(-3) + 2.31/5 = 9 + 62/5 = 107/5 $\ne$ 22 = VP

Vậy (x; y) = (-3; 31/5 ) không phải là nghiệm của phương trình (2).

Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Hai giá trị x = 2; y = -2 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (2; -2)

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a $\ne$ 0)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-3; 1) và N(1; 2) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: 1 = -3a + b

Điểm N: 2 = a + b

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a $\ne$ 0)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M($\sqrt{2}$ ; 1) và N(3; 3$\sqrt{2}$ - 1) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a $\ne$ 0)

Điểm N nằm trên đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 có hoành độ bằng 2 nên tung độ của N bằng: 3.2 - 5y = 1 ⇔ -5y = -5 ⇔ y = 1

Điểm N( 2; 1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-2; 9) và N(2; 1) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: 9 = -2a + b

Điểm N: 1 =2a + b

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

Điều kiện: x $\ne$ -y; y $\ne$ -z; z $\ne$ -x

Từ hệ phương trình đã cho suy ra: x $\ne$ 0; y $\ne$ 0; z $\ne$ 0

$\left\{\begin{array}{l}\frac{xy}{x+y}=\frac{2}{3}\\ \frac{yz}{y+z}=\frac{6}{5}\\ \frac{zx}{z+x}=\frac{3}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}\frac{x+y}{xy}=\frac{3}{2}\\ \frac{y+z}{yz}=\frac{5}{6}\\ \frac{z+x}{zx}=\frac{4}{3}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{6}\\ \frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{4}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$Đặt \frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b; \frac{1}{z}=c$

Ta có hệ phương trình:

Cộng từng vế ba phương trình ta có:

Suy ra:

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y; z) = (1; 2; 3).