Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(a-2\right)x+5by=25\\ 2ax-\left(b-2\right)y=5\end{array}\right.$ có nghiệm là (x; y) = (3; -1) thì (x;y) = (3; -1) thỏa mãn hệ phương trình

Thay x = 3, y = -1 vào hệ phương trình ta được:

Vậy với a = 2, b = -5 thì hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(a-2\right)x+5by=25\\ 2ax-\left(b-2\right)y=5\end{array}\right.$ có nghiệm là (x;y) = (3; -1)

Hai đường thẳng:

($d_1$): (3a – 1)x + 2by = 56 và ($d_2$): $\frac{1}{2}ax-\left(3b+2\right)y=3$ cắt nhau tại điểm M(2; -5) nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: 

Thay x = 2, y = -5 vào hệ phương trình, ta có:

Vậy khi a = 8, b = -1 thì hai đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và (d2): $\frac{1}{2}ax-\left(3b+2\right)y=3$ cắt nhau tại điểm M(2; -5).

Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3), B(3/2 ; -1) nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

*Điểm A: 3 = -5a + b

*Điểm B: 

Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình: 

Vậy khi a = - 8/13 ; b = - 1/13 thì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3), B(3/2 ; -1).

Đường thẳng cần tìm là 

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ($d_1$): 2x + 5y = 17, ($d_2$): 4x – 10y = 14 là nghiệm của hệ phương trình: 

Khi đó ($d_1$) và ($d_2$) cắt nhau tại N(6; 1).

Đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và N(6;1) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

*Điểm M: 9a + 48 = b

*Điểm N: 6a – 8 = b

Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy khi a = - 56/3 , b = -120 thì đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng ($d_1$): 2x + 5y = 17, ($d_2$): 4x – 10y = 14.

Giả sử hai đường thẳng ($d_1$): 5x – 2y = 3; ($d_2$): x + y = m cắt nhau tại điểm A(x, y).

Vì giao điểm A nằm trên trục Oy nên x = 0. Suy ra: A(0; y).

Khi đó điểm A(0; y) là nghiệm của hệ phương trình: 

Vậy khi m = - 3/2 thì ($d_1$): 5x – 2y = 3; (d2): x + y = m cắt nhau tại một điểm trên trục Oy.

Phương trình đường thẳng ($d_2$): x + y = - 3/2

Đồ thị:

Giả sử hai đường thẳng ($d_1$): mx + 3y = 10; ($d_2$): x – 2y = 4 cắt nhau tại điểm B(x, y).

Vì điểm B nằm trên trục Ox nên y = 0 ⇒ B( x, 0).

Khi đó điểm B(x; 0) là nghiệm của hệ phương trình: 

Vậy khi m = 5/2 thì ($d_1$): mx + 3y = 10; ($d_2$): x – 2y = 4 cắt nhau tại một điểm trên trục Ox.

Phương trình đường thẳng (d1): 5x + 6y = 20

*Vẽ ($d_1$): Cho x = 0 thì y = 10/3 ⇒ (0; 10/3 )

Cho y = 0 thì x = 4 ⇒ (4; 0)

*Vẽ ($d_2$): x - 2y = 4. Cho x = 0 thì y = -2 ⇒ (0; -2)

Cho y = 0 thì x = 4 ⇒ (4; 0)

Đồ thị:

*Đường thẳng ($d_1$): 5x – 2y = c đi qua điểm A(5; -1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 5.5 – 2.(-1) = c ⇔ 25 + 2 = c ⇔ c = 27

Phương trình đường thẳng ($d_1$): 5x – 2y = 27

*Đường thẳng ($d_2$): x + by = 2 đi qua điểm B(-7; 3) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: -7 + 3b = 2 ⇔ 3b = 9 ⇔ b = 3

Phương trình đường thẳng ($d_2$): x + 3y = 2

*Tọa độ giao điểm của ($d_1$) và ($d_2$) là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy tọa độ giao điểm của ($d_1$) và ($d_2$) là (5; -1).

*Đường thẳng ($d_1$): ax + 2y = -3 đi qua điểm M(3; 9) nên tọa độ điểm M nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: a.3 + 2.9 = -3 ⇔ 3a + 18 = -3 ⇔ 3a = -21 ⇔ a = -7

Phương trình đường thẳng ($d_1$): -7x + 2y = -3

*Đường thẳng ($d_2$): 3x – by = 5 đi qua điểm N(-1; 2) nên tọa độ điểm N nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 3.(-1) – b.2 = 5 ⇔ -3 – 2b = 5 ⇔ 2b = -8 ⇔ b = -4

Phương trình đường thẳng ($d_2$): 3x + 4y = 5

*Tọa độ giao điểm của ($d_1$) và ($d_2$) là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (0; 0)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (1; 2).

Cặp (x; y) = (1; -4) là nghiệm của hệ phương trình. Thay x = 1; y = -4 vào hệ phương trình ta có:

Vậy hằng số a = 5; b = -3

$\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ \left(x+y+2\right)\left(x+2y-5\right)=0\end{array}\right.$

Ta đưa về giải hai hệ phương trình:

hoặc 

Giải hệ:

Giải hệ:

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

($x_1;y_1$) = (1; -3) và ($x_2;y_2$) = (3; 1)