Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Thay x = -4, y = 5 vào từng phương trình của hệ:

7.(-4) – 5.5 = -28 – 25 = -53

-2.(-4) + 9.5 = 8 + 45 = 53

Vậy (-4; 5) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}7x-5y=-53\\ -2x+9y=53\end{array}\right.$

Thay x = 3, y = -11 vào từng phương trình của hệ:

0,2.3 + 1,7.(-11) = 0,6 – 18,7 = -18,1

3,2.3 – 1.(-11) = 9,6 + 11 = 20,6

Vậy (3; -11) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}0,2x+1,7y=-18,1\\ 3,2x-y=20,6\end{array}\right.$

* Thay x = 1,5, y = 2 vào từng phương trình của hệ:

10.1,5 – 3.2 = 15 – 6 = 9

-5.1,5 + 1,5.2 = -7,5 + 3 = -4,5

Vậy (1,5; 2) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}10x-3y=9\\ -5x+1,5y=-4,5\end{array}\right.$

* Thay x = 3, y = 7 vào từng phương trình của hệ:

10.3 – 3.7 = 30 – 21 = 9

-5.3 + 1,5.7 = -15 + 10,5 = -4,5

Vậy (3; 7) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}10x-3y=9\\ -5x+1,5y=-4,5\end{array}\right.$

Thay x = 1, y = 8 vào từng phương trình của hệ:

5.1 + 2.8 = 5 + 16 = 21 ≠ 9

Vậy (1; 8) không là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}5x+2y=9\\ x-14y=5\end{array}\right.$

cắt nhau vì chúng có hệ số góc khác nhau.

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.

Vì đường thẳng y = 3 song song với trục hoành còn đường thẳng $y=-\frac{23}{8}x+\frac{25}{4}$ cắt hai trục tọa độ nên chúng cắt nhau.

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.

Vì đường thẳng x = - 5/3 song song với trục tung còn đường thẳng $y=-\frac{1}{5}x-\frac{4}{5}$ cắt hai trục tọa độ nên chúng cắt nhau.Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.

Vì hai đường thẳng có hệ số góc đều bằng 3 nhưng tung độ gốc khác nhau (-1 $\ne$ - 5/2 ) nên chúng song song với nhau.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Ta có: 3x – 2y = 5 ⇔ 

Để được một hệ có nghiệm duy nhất thì cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số góc khác 3/2 .

Chẳng hạn:  ⇔ -x + 2y = 4

Khi đó ta có hệ  có một nghiệm duy nhất.

Ta có: 3x – 2y = 5 ⇔ 

Để được một hệ vô nghiệm thì cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số góc bằng 3/2 và tung độ gốc khác - 5/2 .

Chẳng hạn:  ⇔ 3x – 2y = 3

Khi đó ta có hệ  vô nghiệm.

Ta có: 3x – 2y = 5 ⇔ 

Để được một hệ có vô số nghiệm thì cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số góc bằng 3/2 và tung độ gốc bằng - 5/2 .

Chẳng hạn:  ⇔ 6x – 4y = 10

Khi đó ta có hệ  có vô số nghiệm.

Xét các trường hợp:

1. a, b, a’, b’ ≠ 0

Ta có:

Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng cắt nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau:

Áp dụng:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm:

Vì  nên hệ phương trình trên vô nghiệm

Xét các trường hợp:

1. a, b, a’, b’ ≠ 0

Ta có:

Hệ phương trình vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau:

Áp dụng:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm:

Vì  nên hệ phương trình trên vô nghiệm

Xét các trường hợp:

1. a, b, a’, b’ ≠ 0

Ta có:

Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc và tung độ gốc bằng nhau:

*a = 0, a’ ≠ 0

Vì hai đường thẳng  luôn luôn cắt trục hoành còn đường thẳng y = c/b song song hoặc trùng với trục hoành nên chúng luôn luôn cắt nhau.

Vậy hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.

*a = a’ = 0

Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau, nghĩa là:

Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau, nghĩa là:

*b = 0, b’ ≠ 0

Vì hai đường thẳng luôn luôn cắt trục tung còn đường thẳng x = c/a song song hoặc trùng với trục tung nên chúng luôn luôn cắt nhau.

Vậy hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.

*b = b’ = 0

Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau, nghĩa là:

Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau, nghĩa là:

Áp dụng:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm:

Vì  nên hệ phương trình có vô số nghiệm

*Ta có: 2x + 3y = 7 

Cho x = 0 thì y = 7/3 ⇒ (0; 7/3 )

Cho y = 0 thì x = 7/2 ⇒ (7/2 ; 0)

*Ta có: x – y = 6 ⇔ y = x – 6

Cho x = 0 thì y = -6 ⇒ (0; -6)

Cho y = 0 thì x = 6 ⇒ (6; 0)

Hai đường thẳng cắt nhau tại M(5; -1) nên nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (5; -1)

Đồ thị: 

*Ta có: 3x + 2y = 13 

Cho x = 0 thì y = 13/2 ⇒ (0; 13/2 )

Cho y = 0 thì x = 13/3 ⇒ (13/3 ; 0)

*Ta có: 2x – y = -3 ⇔ y = 2x + 3

Cho x = 0 thì y = 3 ⇒ (0; 3)

Cho y = 0 thì x = - 3/2 ⇒ (- 3/2 ; 0)

Hai đường thẳng cắt nhau tại N(1; 5) nên nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (1; 5).

Đồ thị: 

*Ta có: x + y = 1 ⇔ y = -x + 1

Cho x = 0 thì y = 1 ⇒ (0; 1)

Cho y = 0 thì x = 1 ⇒ (1; 0)

*Ta có: 3x + 0y = 12 ⇔ x = 4

Hai đường thẳng cắt nhau tại P(4; -3) nên nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (4; -3)

Đồ thị: 

*Ta có: x + 2y = 6 

Cho x = 0 thì y = 3 ⇒ (0; 3)

Cho y = 0 thì x = 6 ⇒ (6; 0)

*Ta có: 0x – 5y = 10 ⇔ y = -2

Hai đường thẳng cắt nhau tại Q(10; -2) nên nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (10; -2)

Đồ thị:

Ta có:

*Vẽ đường thẳng x = -2 song song với trục tung

*Vẽ đường thẳng y = 5x + 9

Cho x = 0 thì y = 9 ⇒ (0; 9)

Cho y = 0 thì x = - 9/5 = -1,8

Hai đường thẳng y = 5x + 9 và x = -2 cắt nhau tại A(-2; -1). Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (x; y) = (-2; -1).

Thay x = -2, y = -1 vào phương trình 3x – 7y = 1, ta có:

3.(-2) – 7.(-1) = -6 + 7 = 1

Vậy x và y thỏa phương trình 3x – 7y = 1 nên (x; y) = (-2; -1) là nghiệm của phương trình 3x – 7y = 1.

Vẽ đường thẳng ($d_1$) là đồ thị hàm số y = -x + 2

Cho x = 0 thì y = 2 ⇒ (0; 2)

Cho y = 0 thì x = 2 ⇒ (2; 0)

Vẽ đường thẳng ($d_2$) là đồ thị hàm số 

Cho x = 0 thì y = 0 ⇒ (0; 0)

Cho x = 3 thì y = -2 ⇒ (3; -2)

Hai đường thẳng ($d_1$) và ($d_2$) cắt nhau tại A(6; -4). Thay các giá trị x và y này vào phương trình đường thẳng ($d_3$), ta có:

3.6 + 2.(-4) = 18 – 8 = 10.

Vậy x và y thỏa phương trình 3x + 2y = 10 nên (x; y) = (6; -4) là nghiệm của phương trình 3x + 2y = 10.

Ta có: ($d_3$): x – y = 6 ⇔ y = x – 6

($d_4$): 5x – 0y = 25 ⇔ x = 5

Vẽ đường thẳng ($d_3$) là đồ thị hàm số y = x – 6

Cho x = 0 thì y = -6 ⇒ (0; -6)

Cho y = 0 thì x = 6 ⇒ (6; 0)

Vẽ đường thẳng ($d_4$) là đường thẳng x = 5

Hai đường thẳng ($d_3$) và ($d_4$) cắt nhau tại I(5; -1). Lần lượt thay các giá trị x và y này vào phương trình đường thẳng ($d_1$) và ($d_2$), ta có:

($d_1$): 3.5 + 2.(-1) = 15 – 2 = 13

($d_2$): 2.5 + 3.(-1) = 10 – 3 = 7.

Vậy x và y thỏa mãn hai phương trình 3x + 2y = 13 và 2x + 3y = 7 nên (x; y) = (5; -1) là nghiệm của các phương trình trên. Hay là ($d_1$) và ($d_2$) đều đi qua I(5; -1).

Vậy bốn đường thẳng (d1): 3x + 2y = 13, ($d_2$): 2x + 3y = 7, (d3): x – y = 6, (d4): 5x – 0y = 25 đồng quy.

$\left\{\begin{array}{l}3x=6\\ x-3y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Ta có đường thẳng x = 2 song song với trục tung. Đường thẳng $y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$ cắt trục tung nên hai đường thẳng đó cắt nhau. Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

$\left\{\begin{array}{l}3x+5y=15\\ 2y=-7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{5}x+3\\ x=-3,5\end{array}\right.$

Ta có đường thẳng y = -3,5 song song với trục hoành

Đường thẳng $y=-\frac{3}{5}x+3$ cắt trục hoành nên hai đường thẳng đó cắt nhau. Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

$\left\{\begin{array}{l}3x=6\\ 2y=-7\end{array}\right.$

Đường thẳng 3x = 6 song song với trục tung. Đường thẳng 2y = -7 cắt trục tung nên hai đường thẳng đó cắt nhau. Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

Đường thẳng 2x + 0y = 5 ⇔ x = 2,5 song song với trục tung

Đường thẳng 4x + 0 y = 7 ⇔ x = 1,75 song song với trục tung nên chúng cũng song song với nhau.

Vậy hệ

$\left\{\begin{array}{l}2x+0y=5\\ 4x+0y=7\end{array}\right.$

vô nghiệm

Đường thẳng 2x + 0y = 5 và đường thẳng 4x + 0y = 10 trùng nhau

Vậy hệ

$\left\{\begin{array}{l}2x+0y=5\\ 4x+0y=10\end{array}\right.$

Vô số nghiệm

Đường thẳng 0x + 3y = -8 ⇔ y = -8/3 và đường thẳng 0x - 21y = 56 ⇔ y = -8/3 trùng nhau. Vậy hệ

$\left\{\begin{array}{l}0x+3y=-8\\ 0x-21y=56\end{array}\right.$

có vô số nghiệm

Đường thẳng 0x + 3y = -8 là đường thẳng y = -8/3 song song với trục hoành

Đường thẳng $0x-21y=50\iff y=-\frac{50}{21}$ là đường thẳng song song với trục hoành nên chúng song song với nhau.

Hệ

$\left\{\begin{array}{l}0x+3y=-8\\ 0x-21y=50\end{array}\right.$

vô nghiệm.