Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

$$\begin{gathered} 2\sqrt{{\left(-5\right)}^6}+3\sqrt{{\left(-2\right)}^8} \\ =2.\sqrt{{\left[{\left(-5\right)}^3\right]}^2}+3.\sqrt{{\left[{\left(-2\right)}^4\right]}^2} \\ =2.\left|{\left(-5\right)}^3\right|+3.\left|{\left(-2\right)}^4\right| \\ =2.\left|-125\right|+3.\left|16\right| \\ =2.125+3.16=298 \end{gathered}$$

$\sqrt{{\left(4+\sqrt{2}\right)}^2}=\left|4+\sqrt{2}\right|=4+\sqrt{2}$

$\sqrt{{\left(3-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|3-\sqrt{3}\right|=3-\sqrt{3}$

$\sqrt{{\left(4-\sqrt{17}\right)}^2}=\left|4-\sqrt{17}\right|=\sqrt{17}-4$

$$\begin{gathered} 2\sqrt{3}+\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2} \\ =2\sqrt{3}+\left|2-\sqrt{3}\right| \\ =2\sqrt{3}+2-\sqrt{3} \\ =\sqrt{3}+2 \end{gathered}$$

Ta có:

VT = 9 + 4$\sqrt{5}$ = 4 + 2.2$\sqrt{5}$ + 5 = $2^2$ + 2.2$\sqrt{5}$ + ${\left(\sqrt{5}\right)}^2$=${\left(2+\sqrt{5}\right)}^2$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Ta có:

VT = ${\left(4-\sqrt{7}\right)}^2=4^2-2.4.\sqrt{7}+{\left(\sqrt{7}\right)}^2=16-8\sqrt{7}+7=23-8\sqrt{7}$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Ta có: $\sqrt{9x^2}=2x+1\iff \sqrt{{\left(3x\right)}^2}$

= 2x + 1 ⇔ |3x| = 2x + 1 (1)

* Trường hợp 1: 3x $\ge$ 0 ⇔ x $\ge$ 0 ⇒ |3x| = 3x

Suy ra: 3x = 2x + 1 ⇔ 3x - 2x = 1 ⇔ x = 1

Giá trị x = 1 là nghiệm của phương trình (1).

* Trường hợp 2: 3x < 0 ⇔ x < 0 ⇒ |3x| = -3x

Suy ra: -3x = 2x + 1 ⇔ -3x - 2x = 1 ⇔ -5x = 1 ⇔ x = - 1/5

Giá trị x = - 1/5 thỏa mãn điều kiện x < 0

Vậy x = - 1/5 là nghiệm của phương trình (1).

Vậy x = 1 và x = - 1/5

Ta có

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2+6x+9}=3x-1 \\ \iff \sqrt{{\left(x+3\right)}^2}=3x-1 \end{gathered}$$

⇔ |x + 3| = 3x - 1 (2)

* Trường hợp 1: x + 3 $\ge$ 0 ⇔ x $\ge$ -3 ⇒ |x + 3| = x + 3

Suy ra: x + 3 = 3x - 1 ⇔ x - 3x = -1 - 3 ⇔ -2x = -4 ⇔ x = 2

Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x $\ge$ -3.

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (2).

* Trường hợp 2: x + 3 < 0 ⇔ x < -3 ⇒ |x + 3| = -x - 3

Suy ra: -x - 3 = 3x - 1 ⇔ -x - 3x = -1 + 3 ⇔ -4x = 2 ⇔ x = -0.5

Giá trị x = -0,5 không thỏa mãn điều kiện x < -3: loại

Vậy x = 2

Ta có: $\sqrt{1-4x+4x^2}=5\iff \sqrt{{\left(1-2x\right)}^2}=5$

⇔ |1 - 2x| = 5 (3)

* Trường hơp 1: 1 - 2x $\ge$ 0 ⇔ 2x $\le$ 1 ⇔ x $\le$ 1/2 ⇒ |1 - 2x| = 1 - 2x

Suy ra: 1 - 2x = 5 ⇔ -2x = 5 - 1 ⇔ x = -2

Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x $\le$ 1/2

Vậy x = -2 là nghiệm của phương trình (3).

* Trường hợp 2: 1 - 2x < 0 ⇔ 2x > 1 ⇔ x > 12 ⇒ |1 - 2x| = 2x - 1

Suy ra: 2x - 1 = 5 ⇔ 2x = 5 + 1 ⇔ x = 3

Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện x > 1/2

Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình (3).

Vậy x = -2 và x = 3.

Ta có: $\sqrt{x^4}=7\iff \sqrt{{\left(x^2\right)}^2}=7$

⇔ $\left|x^2\right|$= 7 ⇔ $x^2$ = 7

Vậy x = $\sqrt{7}$ và x = - $\sqrt{7}$

Ta có: $x^2$ - 7 = $x^2$ - ${\left(\sqrt{7}\right)}^2$ = (x + $\sqrt{7}$ )(x - $\sqrt{7}$ )

Ta có: $x^2-2\sqrt{2}x+2=x^2-2.x.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(x-\sqrt{2}\right)}^2$

Ta có:

$x^2+2\sqrt{13}x+13=x^2+2.x.\sqrt{13}+{\left(\sqrt{13}\right)}^2={\left(x+\sqrt{13}\right)}^2$

6+2$\sqrt{2}$ và 9

Ta có: 9 = 6 + 3

So sánh: 2$\sqrt{2}$và 3

Vì 2$\sqrt{2}$ > 0 và 3 > 0

Ta có: 

${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=2^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^2=4.2=8$

$3^2$= 9

Vì 8 < 9 nên : ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2 < 3^2$

Do đó: $2\sqrt{2}<3$

Vậy 6+2$\sqrt{2}$ < 9.

$\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ và 3

Ta có: ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2.{\left(\sqrt{3}\right)}^2$=2.3=6

$2^2$=4

Vì 6 > 4 nên ${\left(\sqrt{2}.\sqrt{3}\right)}^2 > 2^2$

Suy ra: $\sqrt{2}$.$\sqrt{3}$ > 2 ⇒ 2. $\sqrt{2}$.$\sqrt{3}$ > 2.2 ⇒ 5 + 2. $\sqrt{2}$.$\sqrt{3}$ > 4 + 5

⇒ 5 + 2. $\sqrt{2}$.$\sqrt{3}$ > 9 ⇒ ( √2 + √3)2 > 9

⇒ ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2>3^2$

Vậy $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ > 3

9 + 4$\sqrt{5}$ và 16

So sánh 4$\sqrt{5}$ và 5

Ta có: 16 > 5 ⇒ $\sqrt{16}$ > $\sqrt{5}$ ⇒ 4 > $\sqrt{5}$

Vì $\sqrt{5}$ > 0 nên 4. $\sqrt{5}$ > $\sqrt{5}$.$\sqrt{5}$ ⇒ 4$\sqrt{5}$ > 5 ⇒ 9 + 4$\sqrt{5}$ > 5 + 9

Vậy 9 + 4$\sqrt{5}$ > 16

$\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ và 2

Vì $\sqrt{11}$ > $\sqrt{3}$ nên $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ > 0

Ta có: ${\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)}^2$ = 11 - 2$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ + 3 = 14 - 2$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$

$2^2$ = 4 = 14 – 10

So sánh 10 và 2$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ hay so sánh giữa 5 và $\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$

Ta có: $5^2$ = 25

${\left(\sqrt{11}.\sqrt{3}\right)}^2={\left(\sqrt{11}\right)}^2.{\left(\sqrt{3}\right)}^2$ = 11.3 = 33

Vì 25 < 33 nên $5^2<{\left(\sqrt{11}.\sqrt{3}\right)}^2$

Suy ra: $5<{\left(\sqrt{11}.\sqrt{3}\right)}^2$

Suy ra: 14 – 10 > 14 - 2$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ ⇒ ${\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)}^2<2^2$

Vậy $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ < 2

Chọn đáp án D