7 câu Trắc nghiệm Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án (Thông hiểu)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét DMNP có O là giao điểm của hai đường trung tuyến MA, NC nên O là trọng tâm tam giác MNP.

Suy ra NO = \(\frac{2}{3}\)NC, MO = \(\frac{2}{3}\)MA

Do đó OC = \(\frac{1}{3}\)NC hay NC = 3OC và MA = \(\frac{3}{2}\)MO.

Mà MO = 2,5 cm, OC = 1 cm (giả thiết)

Nên NC = 3 . 1 = 3 (cm), MA = \(\frac{3}{2}\). 2,5 = 3,75 (cm).

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi G là giao điểm của AM và BN.

Xét DABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra \({\rm{AG = }}\frac{2}{3}{\rm{AM}}\), \({\rm{BG = }}\frac{2}{3}{\rm{BN}}\)

Do đó \({\rm{MG = }}\frac{1}{3}{\rm{AM}}\), \({\rm{NG = }}\frac{1}{3}{\rm{BN}}\).

Mà AM = BN (giả thiết) nên AG = BG, MG = NG.

Xét ΔAGN và ΔBGM có

AG = BG (chứng minh trên),

\(\widehat {AGN} = \widehat {BGM}\) (hai góc đối đỉnh),

NG = MG (chứng minh trên)

Do đó ΔAGN = ΔBGM (c.g.c)

Suy ra AN = BM (hai cạnh tương ứng)

Lại có AN = \(\frac{1}{2}\)AC (vì N là trung điểm của AC);

          BM = \(\frac{1}{2}\)BC (vì M là trung điểm của BC).

Nên AC = BC.

Suy ra tam giác ABC cân tại C.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có CE = 2BE nên BE = \(\frac{1}{2}CE\)

Do đó BC = CE + BE = CE + \(\frac{1}{2}\)CE = \(\frac{3}{2}\)CE

Suy ra CE = \(\frac{2}{3}\)BC.

Xét DACD có CB là đường trung tuyến (do AB = BD) và E nằm trên BC thỏa mãn CE = \(\frac{2}{3}\)BC.

Suy ra E là trọng tâm tam giác ACD.

Mà K là giao điểm của AE và CD (giả thiết).

Nên AK là đường trung tuyến trong tam giác ACD.

Suy ra K là trung điểm của CD.

Hay DK = KC = \(\frac{1}{2}\)CD.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét DMNP có hai đường trung tuyến NE và PF cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác MNP.

Suy ra MH là đường trung tuyến của tam giác MNP.

Do đó H là trung điểm của NP hay NH = PH.

Vì tam giác MNP cân tại M nên MN = MP

Xét DMNH và DMPH có:

NH = PH (chứng minh trên),

MH là cạnh chung,

MN = MP (chứng minh trên)

Do đó DMNH = DMPH (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {MHN} = \widehat {MHP}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {MHN} + \widehat {MHP} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {MHN} = \widehat {MHP} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Hay MH vuông góc NP tại trung điểm H của NP.

Suy ra MH là trung trực của NP.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì BN là trung tuyến nên N là trung điểm của AC.

Suy ra AN = CN

Xét DABN và DICN có

AN = NC (chứng minh trên),

\(\widehat {ANB} = \widehat {CNI}\) (hai góc đối đỉnh),

NB = NI (giả thiết)

Do đó DABN = DCIN (c.g.c)

Vậy ta chọn phướng án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Xét DKFN và DEDN có

NF = ND (vì N là trung điểm của DF),

\(\widehat {KNF} = \widehat {END}\) (hai góc đối đỉnh),

KN = EN (giả thiết)

Do đó DKFN = DEDN (c.g.c)

Suy ra KF = DE (hai cạnh tương ứng).

Do đó phương án A là đúng.

• Chứng minh tương tự ta cũng có: DFHM = DEDM (c.g.c)

Suy ra HF = DE (hai cạnh tương ứng).

Do đó phương án B là đúng.

• Do DFHM = DEDM (c.g.c) nên \(\widehat {MHF} = \widehat {MDE}\)(hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Suy ra FH // DE. Do đó phương án D là đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét DMNP có hai đường trung tuyến MH và NK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác MNP. Do đó khẳng định (III) là đúng.

G là trọng tâm tam giác MNP nên PI là đường trung tuyến của tam giác.

Suy ra I là trung điểm của MN hay MI = NI.

Xét DPIN và DPIM có

NI = MI (chứng minh trên),

PI là cạnh chung,

PN = PM (do DMNP cân tại P)

Do đó DPIN = DPIM (c.c.c) nên khẳng định (II) là đúng.

Xét DPGM có PF, GK, ME là các đường trung tuyến của tam giác nên ba đường này cắt nhau tại một điểm. Do đó khẳng định (I) là đúng.

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng, ta chọn phương án D.