10 Bài tập Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác (có lời giải)
10 câu hỏi
Khẳng định nào sau đây là sai?
Trong một tam giác có ba đường trung tuyến;
Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm;
Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó;
Một tam giác có hai trọng tâm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Trong một tam giác chỉ có một trọng tâm nên D sai.
Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng … độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”.
\[\frac{2}{3}\];
\[\frac{3}{2}\];
3;
2.
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất, trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \[\frac{2}{3}\] độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9 cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là:
4,5 cm;
3 cm;
6 cm;
4 cm.
Đáp án đúng là: C
Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên \[AG = \frac{2}{3}AM\] (tính chất trọng tâm của tam giác)
Do đó \[AG = \frac{2}{3}.9 = 6\] (cm).
Cho hình vẽ sau:
Biết AM = 3 cm. Độ dài đoạn thẳng GM là:
1 cm;
2 cm;
3 cm;
4,5 cm.
Đáp án đúng là: A
Trên hình vẽ, hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm ΔABC.
Do đó \[AG = \frac{2}{3}AM\] (tính chất trọng tâm).
Suy ra \[GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\].
Cho ∆ABC có G là trọng tâm như hình vẽ.
Biết AG = 4x + 6 và AM = 9x. Giá trị của x là
x = 4;
x = 1;
x = 2;
x = 3.
Đáp án đúng là: D
Ta có G là trọng tâm của ∆ABC.
Suy ra \[AG = \frac{2}{3}AM\].
Do đó \[4x + 6 = \frac{2}{3}.9x\].
4x + 6 = 2.3x
4x + 6 = 6x
4x – 6x = –6
–2x = –6.
x = –6 : (–2)
x = 3.
Cho ∆ABC có đường trung tuyến AD. Trên đoạn thẳng AD lấy hai điểm E, G sao cho AG = GE = ED. Trọng tâm của ∆ABC là điểm:
B;
E;
G;
D.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Suy ra \[AG = GE = ED = \frac{1}{3}AD\].
Ta có \[AE = AG + GE = \frac{1}{3}AD + \frac{1}{3}AD = \frac{2}{3}AD\].
Mà AD là đường trung tuyến của ∆ABC.
Do đó E là trọng tâm của ∆ABC.
Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AX, BY, CZ cắt nhau tại G. Biết GA = GB = GC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
GX > GY > GZ;
GX = GY = GZ;
GX < GY = GZ;
GX = GY > GZ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên từ tính chất trọng tâm ta có:
\[\frac{{GX}}{{GA}} = \frac{1}{2},\frac{{GY}}{{GB}} = \frac{1}{2},\frac{{GZ}}{{GC}} = \frac{1}{2}.\]
Suy ra \[GX = \frac{1}{2}GA,GY = \frac{1}{2}GB,GZ = \frac{1}{2}GC.\]
Mà GA = GB = GC (giả thiết)
Suy ra GX = GY = GZ.
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[BD + CE < \frac{3}{2}BC\];
\[BD + CE > \frac{3}{2}BC\];
\[BD + CE = \frac{3}{2}BC\];
\[BD + CE = BC\].
Đáp án đúng là: B
Gọi G là giao điểm của BD và CE. Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC.
Trong ΔGBC ta có BG + CG > BC.
Ta lại có \[BG = \frac{2}{3}BD;CG = \frac{2}{3}CE\] (tính chất trọng tam của tam giác).
Từ đó \[\frac{2}{3}BD + \frac{2}{3}CE > BC\]
Suy ra \[\frac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC\]
Do đó \[BD + CE > \frac{3}{2}BC.\]
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC; CE. Gọi I; K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN và BE. Khẳng định nào sau đây là đúng?
BI = IK > KE;
BI > IK > KE;
BI = IK = KE;
BI < IK < KE.
Đáp án đúng là: C
Vì E nằm trên tia đối của tia DB và DE = DB nên D là trung điểm của BE.
Suy ra \[BD = \frac{1}{2}BE\].
Vì AM, BD là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác ABC.
Khi đó: \[BI = \frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE = \frac{1}{3}BE\].(1)
Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là trọng tâm tam giác ACE.
Khi đó: \[EK = \frac{2}{3}ED = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE = \frac{1}{3}BE\].(2)
Ta có: BI + IK + KE = BE
Suy ra \[\frac{1}{3}BE + IK + \frac{1}{3}BE = BE\]
Do đó \[IK = \frac{1}{3}BE\] (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BI = IK = EK.
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Gọi G là điểm thuộc tia AM sao cho AG = 2GM. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[{S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{_{\Delta GAC}}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}};\]
\[{S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{_{\Delta GAC}}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}};\]
\[{S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{_{\Delta GAC}}} = \frac{3}{8}{S_{\Delta ABC}};\]
\[{S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{_{\Delta GAC}}} = \frac{1}{6}{S_{\Delta ABC}}.\]
Đáp án đúng là: A
⦁ Do AG = 2GMnên \[AG = \frac{2}{3}AM.\]
Mà G nằm trên đường trung tuyến AM của ∆ABC nên G là trọng tâm ∆ABC.
Do M là trung điểm của BC nên \[BM = MC = \frac{1}{2}BC\].
⦁ Kẻ AH vuông góc với BC.
Ta có: \[{S_{\Delta AMB}} = \frac{1}{2}AH.BM;{S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}AH.MC;{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC\]
Khi đó \[\frac{{{S_{\Delta AMB}}}}{{{S_{\Delta AMC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AH.BM}}{{\frac{1}{2}AH.MC}} = 1\] (do BM = MC)
Suy ra S∆AMB = S∆AMC.
Mà S∆AMB + S∆AMC = S∆ABC
Do đó S∆ABC = S∆AMB + S∆AMB = 2S∆AMB
Vì vậy, \[{S_{\Delta AMB}} = {S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}}\]
⦁ Kẻ BK vuông góc AM.
Ta có: \[{S_{\Delta BAG}} = \frac{1}{2}BK.AG;{S_{\Delta BAM}} = \frac{1}{2}BK.AM\]
Khi đó \[\frac{{{S_{\Delta BAG}}}}{{{S_{\Delta BAM}}}} = \frac{{\frac{1}{2}BK.AG}}{{\frac{1}{2}BK.AM}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{\frac{2}{3}AM}}{{AM}} = \frac{2}{3}\]
Suy ra \[{S_{\Delta BAG}} = \frac{2}{3}{S_{\Delta BAM}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}\]
Tương tự: \[{S_{\Delta AGC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}\] và \[{S_{\Delta BGC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.\]
Từ đó suy ra: \[{S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.\]
