Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC .

Kẻ đường cao AH , khi đó tâm I của đường tròn nội tiếp (giao điểm của ba đường phân giác cũng là trọng tâm).

Ta có AH là đường trung tuyến\( \Rightarrow {\rm{H}}\)là trung điểm của BC hay \({\rm{BH}} = {\rm{CH}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\) (m).

Xét tam giác BHI vuông tại H . Có \({\rm{BH}} = 6\;{\rm{cm}}\) và $\widehat{\text{IBH}}={30}^{°}$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $\text{IH}=\text{BH}\cdot \tan \text{IBH}=6\cdot \tan {30}^{°}=2\sqrt{3}( \text{m})$

Vậy bán kính của phần đất trồng hoa là \({\rm{r}} = 2\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\)

Do đó diện tích phần đất trồng hoa là \({\rm{S}} = \pi \cdot {(2\sqrt 3 )^2} = 12\pi \left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Gọi O là vị trí cách đều ba vị trí \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung trực).

Do $△\text{ABC}$đều (gt) nên O đồng thời là trực tâm và trọng tâm của tam giác hay AH là đường cao của tam giác ABC

đều cạnh 15 m .\( \Rightarrow {\rm{AH}} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}(\;{\rm{m}})\) vì AH đồng thời là trung tuyến của có trọng tâm O\( \Rightarrow {\rm{OA}} = \frac{2}{3}{\rm{AH}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{15\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\).

Vậy khoảng cách từ vị trí O đến mỗi vị trí \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) là \(5\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\).

a) Xét tam giác ABC , ta có: \({\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2}\left( {{{1500}^2} = {{900}^2} + {{1200}^2}} \right)\)

Theo định lí Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại A .

Phần đất giới hạn là tam giác vuông, gọi P là chu vi, ta có: \(P = AB + BC + AC = 900 + 1500 + 1200 = 3600(m)\)

Và diện tích \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{AB}} \cdot {\rm{AC}} = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot 1200 = 540000\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)

b) Gọi O là nơi xây dựng khách sạn và khoảng cách từ khách sạn đến ba con đường là \({\rm{OH}} = {\rm{OI}} = {\rm{OK}} = {\rm{R}}\).

Ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{AOC}}}}\) (trong đó \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}},{{\rm{S}}_{{\rm{AOC}}}},{{\rm{S}}_{{\rm{BOC}}}}\) lần lượt là diện tích các tam giác AOB, AOCvà BOC)

\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{AB}} + \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{AC}} + \frac{1}{2}R \cdot BC\)

\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}}({\rm{AB}} + {\rm{AC}} + {\rm{BC}})\)

\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{P }}\) (\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\)là diện tích và \(P\) là chu vi)\( \Rightarrow {\rm{R}} = \frac{{2 \cdot \;{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{{\rm{P}}} = \frac{{2.540000}}{{3600}} = 300(\;{\rm{m}})\)

Khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường 300 (m).

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Kẻ AH là đường cao vìđều nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC,ta có: \({\rm{HB}} = {\rm{HC}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2} = \frac{{60}}{2} = 30(\;{\rm{m}})\)

Tam giác AHC vuông tại H. Theo định lí Pythagore, ta có:

\({\rm{A}}{{\rm{B}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{H}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{H}}^2} = {60^2} + {30^2}\)\( \Rightarrow {\rm{AB}} = \sqrt {{{60}^2} + {{30}^2}} = 30\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\)

Ta có: \({\rm{OA}} = \frac{2}{3}{\rm{AH}}\) (tính chất trọng tâm)\( \Rightarrow {\rm{OA}} = \frac{2}{3} \cdot 30\sqrt 3 = 20\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\)

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC cạnh 60 m là: \({\rm{OA}} = 20\sqrt 3 (\;{\rm{m}}) \approx 34,6(\;{\rm{m}}) < 50(\;{\rm{m}})\)

Vậy có thể đặt vị trí bộ phát sóng tại O .

Vì \(O\) cách đều 3 đỉnh của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\).

Gọi \(a\left( {cm} \right)\) là độ dài cạnh của tam giác đều \(ABC{\rm{ }}\left( {a > 0} \right)\).

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là \(60cm\).

Nên \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow a\sqrt 3 = 180 \Leftrightarrow a \approx 104\) (nhận).

Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) khoảng \(104m\).

Vì khung ảnh hình tròn tiếp xúc với các cạnh của tam giác đều nên ta có đường tròn nội tiếp tam giác đều. Ta có có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) với \(a\) là độ dài cạnh tam giác đều.

Nên \(40 = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Leftrightarrow a\sqrt 3 = 240 \Leftrightarrow a \approx 138,6(\;{\rm{cm}})\). Vậy chiều dài cạnh khung gỗ khoảng \(138,6\;{\rm{cm}}\).