15 câu Trắc nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án (Thông hiểu)

Đáp án cần chọn là: B.

Ta có: $z_1+z_2=\frac{-1-5i\sqrt{5}}{3}+\frac{-1+5i\sqrt{5}}{3}=\frac{-2}{3}$.

$z_1.z_2=\frac{-1-5i\sqrt{5}}{3}.\frac{-1+5i\sqrt{5}}{3}=\frac{126}{9}=\frac{42}{3}$

$\Rightarrow z_1.z_2$ là các nghiệm của phương trình $z^2+\frac{2}{3}z+\frac{42}{3}=0\iff 3z^2+2z+42=0$.

Đáp án cần chọn là: A.

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình: $z+\frac{1}{z}=-1\iff z^2+z+1=0$

Ta có: $z_1+z_2=-1; z_1.z_2=1$

Khi đó

$$\begin{gathered} P={z_1}^3+{z_2}^3=\left(z_1+z_2\right)\left({z_1}^2-z_1{z}_2+{z_2}^2\right) \\ =\left(z_1+z_2\right)\left[{\left(z_1+z_2\right)}^2-3z_1{z}_2\right]=-1.(1-3)=2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

$2z^4-3z^2-2=0\iff \begin{array}{rcl}{z}^2& =& 2\\ z^2& =& \frac{-1}{2}\end{array}\iff \begin{array}{rcl}z& =& \pm \sqrt{2}\\ z& =& \pm i\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

$T={\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2+{\left|z_3\right|}^2+{\left|z_4\right|}^2=2+2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=5$.

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình: $2z^2+4z+3=0$ có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ nên ta có $\left\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=-2\\ z_1.z_2=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Khi đó ta có: $\left|z_1{z}_2+i\left(z_1+z_2\right)\right|\iff \left|\frac{3}{2}+i.\left(-2\right)\right|=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\frac{5}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

$z_1, z_2$ có hai nghiệm phức của phương trình $2z^2-z+7=0\Rightarrow z_1, z_2$ là hai số phức liên hợp, có 

$\left\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=\frac{1}{2}\\ z_1.z_2=\frac{7}{2}\end{array}\right.$

$S=\left|z_1.\overline{z_2}+z_2.\overline{z_1}\right|=\left|{z_1}^2+{z_2}^2\right|=\left|{\left(z_1+z_2\right)}^2-2z_1{z}_2\right|=\left|{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-2.\frac{7}{2}\right|=\frac{27}{4}$

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $z^2-2z+3=0\iff z^2-2z+1=-2$

$\iff {\left(z-1\right)}^2=2i\iff \begin{array}{rcl}z-1& =& \sqrt{2}i\\ z-1& =& -\sqrt{2}i\end{array}\iff \begin{array}{rcl}{z}_1& =& 1+\sqrt{2}i\\ z_2& =& 1-\sqrt{2}i\end{array}$

Khi đó ta có:

+) $\left|z_1\right|=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{3} ; \left|z_2\right|=\sqrt{1^2+{\left(-\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{3}\Rightarrow \left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\sqrt{3}$

$\Rightarrow$Đáp án A đúng.

+)$z_1.z_2=\left(1+\sqrt{2}i\right)\left(1-\sqrt{2}i\right)=1-2i^2=1+2=3\Rightarrow$Đáp án B đúng.

+)$z_1+z_2=1+\sqrt{2}i+1-\sqrt{2}i=2\Rightarrow$Đáp án C đúng.

+)$\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ne 2\Rightarrow$Đáp án D sai.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $z^2+2z+10=0\iff {\left(z+1\right)}^2={\left(3i\right)}^2\iff \begin{array}{rcl}z& =& -1+3i=z_1\\ z& =& -1-3i=z_2\end{array}$

Suy ra $P={\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2={\left(\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3^2}\right)}^2+{\left(\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}\right)}^2=10+10=20$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $z=1+2i$ là nghiệm của phương trình nên ta có:

$$\begin{gathered} {\left(1+2i\right)}^2+b(1+2i)+c=0 \\ \iff -2+4i+b+2bi+c=0 \\ \iff \left(-3+b+c\right)+\left(4+2b\right)i=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-3+b+c=0\\ 4+2b=0\end{array}\iff b+c=3\right. \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Vì $z=1+i$ là một nghiệm của phương trình $b^2+bz+c=0$ nên ta có:

$$\begin{gathered} {\left(1+i\right)}^2+b\left(1+i\right)+c=0 \\ \iff 2i+b+bi+c=0 \\ \iff b+c+\left(b+2\right)i=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b+c=0\\ b+2=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $T=b+c=0$.

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình $z^2+az+b=0$ có 1 nghiệm phức $z_1=1-3i\Rightarrow z_2=1+3i$

Áp dụng định lí Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=-a\\ z_1.z_2=b\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=10\end{array}\right.\right.$

Khi đó $T=2a^3+2b^2+3=187$.

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $z^2-2z+10=0\iff \begin{array}{rcl}z& =& 1+3i\\ z& =& 1-3i\end{array}$

Vì $z_0$ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình trên $\Rightarrow z_0=1+3i$

Khi đó ta có: $w=i{z}_0=i\left(1+3i\right)=-3+i$

Vậy điểm biểu diễn của số phức w là M(-3; 1).