15 câu Trắc nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án (Vận dụng)

Đáp án cần chọn là: B.

Nhận xét: phương trình đã cho nhận $z_1, z_2$ làm nghiệm thì cũng nhận $\overline{z_1}, \overline{z_2}$ làm nghiệm.

Khi đó: $z_1=-1+i\Rightarrow \overline{z_1}=-1-i\Rightarrow m=z_1+\overline{z_1}=-2, n=z_1\overline{z_1}=2$

$z_2=1+\sqrt{2}i\Rightarrow \overline{z_2}=1-\sqrt{2}i\Rightarrow p=z_2+\overline{z_2}=2, q=z_2\overline{z_2}=3$

Vậy phương trình đã cho tương đương

$\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+3\right)=0\iff x^4+x^2+2x+6=0$

Do đó $a=0, b=0, c=2, d=6\Rightarrow a+b+c+d=0+1+2+6=9$

Đáp án cần chọn là: A

Ta tìm các số phức z thỏa mãn $z^3=1$ ta có:

$$\begin{gathered} z^3=1\iff z^3-1=0\leftrightarrow \left(z-1\right)\left(z^2+z+1\right)=0 \\ \iff \begin{array}{rcl}z& =& 1\\ z^2+z+1& =& 0\end{array}\iff \begin{array}{rcl}{z}_1& =& 1\\ z_2& =& -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\ z_3& =& -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array} \end{gathered}$$

Xét kai triển

$$\begin{gathered} {\left(1+x\right)}^{2019}=\sum _{k=0}^{2019}{C}_{2019}^k{x}^k \\ =C_{2019}^0+C_{2019}^{1}x+C_{2019}^2{x}^2+...+C_{2019}^{2019}{x}^{2019} \end{gathered}$$(*)

Thay $z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ vào khai triển (*) ta được

$$\begin{gathered} {\left(1-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^{2019}=C_{2019}^0+C_{2019}^1{z}_2+C_{2019}^2.{z_2}^2+...+C_{2019}^{2019}{z_2}^{2019} \\ \iff {\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^{2019}=C_{2019}^0+C_{2019}^1{z}_2+C_{2019}^2{z_2}^2+C_{2019}^3+...+C_{2019}^{2019} \\ \iff -1=\left(C_{2019}^0+C_{2019}^3+C_{2019}^6+...+C_{2019}^{2019}\right)+z_2\left(C_{2019}^1+C_{2019}^4+...+C_{2019}^{2017}\right) \\ +{z_2}^2\left(C_{2019}^2+C_{2019}^5+...+C_{2019}^{2018}\right) \left(1\right) \end{gathered}$$

Tương tự thay $z_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ vào khai triển (*) ta được:

$$\begin{gathered} {\left(-1-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^{2019}=C_{2019}^0+C_{2019}^1{z}_3+C_{2019}^2.{z_3}^2+...+C_{2019}^{2019}{z_3}^{2019} \\ \iff {\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^{2019}=C_{2019}^0+C_{2019}^1{z}_3+C_{2019}^2{z_3}^2+C_{2019}^3+...+C_{2019}^{2019} \\ \iff -1=\left(C_{2019}^0+C_{2019}^3+C_{2019}^6+...+C_{2019}^{2019}\right)+z_3\left(C_{2019}^1+C_{2019}^4+...+C_{2019}^{2017}\right) \\ +{z_3}^2\left(C_{2019}^2+C_{2019}^5+...+C_{2019}^{2018}\right) \left(2\right) \end{gathered}$$

Thay $z=1$ vào khai triển (*) ta được:

$$\begin{gathered} 2^{2019}=C_{2019}^0+C_{2019}^1+C_{2019}^2+...+C_{2019}^{2019} \\ \iff 2^{2019}=\left(C_{2019}^0+C_{2019}^3+C_{2019}^6+...+C_{2019}^{2019}\right)+\left(C_{2019}^1+C_{2019}^4+C_{2019}^7+...+C_{2019}^{2017}\right) \\ +\left(C_{2019}^2+C_{2019}^5+C_{2019}^8+...+C_{2019}^{2018}\right) \left(3\right) \end{gathered}$$

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được:

$$\begin{gathered} 2^{2019}-2=3\left(C_{2019}^0+C_{2019}^3+...+C_{2019}^{2019}\right)+\left(1+z_2+z_3\right)\left(C_{2019}^1+C_{2019}^4+...+C_{2019}^{2018}\right) \\ +\left(1+{z_2}^2+{z_3}^2\right)\left(C_{2019}^2+C_{2019}^5+...+C_{2019}^{2017}\right) \end{gathered}$$

Nhận thấy $1+z_2+z_3=1-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=0$ và $1+{z_2}^2+{z_3}^2=1+{\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^2=0$

Nên $2^{2019}-2=3S\iff S=\frac{2^{2019}-2}{3}$.

Đáp án cần chọn là: D

Để phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt thì $∆\text{'}<0\iff m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức phân biệt thì hai số phức đó là hai số phức liên hợp nên luôn thỏa mãn điều kiện $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$

$\Rightarrow m\in \left(1;5\right)$. Mà $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{2;3;4\right\}$.Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Để phương trình $z^2+2mz+3m+4=0$ có hai nghiệm không phải là số thực thì $∆\text{'}<0$

$\iff m^2-3m-4<0\iff -1<m<4$

Mà $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{0;1;2;3\right\}$

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

$$\begin{gathered} z^2+4z+5=0\iff {\left(z+2\right)}^2=-1\iff {\left(z+2\right)}^2=i^2 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{z}_1=-2+i\\ z_2=-2-i\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{z}_1+1=i-1\\ z_2+1=-i-1\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Khi đó ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\left(z_1+1\right)}^2={\left(i-1\right)}^2=-2i\\ {\left(z_2+1\right)}^2={\left(-i-1\right)}^2=2i\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\left(z_1+1\right)}^4=-4\\ {\left(z_2+1\right)}^4=-4\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow {\left(z_1+1\right)}^{100}+{\left(z_2+1\right)}^{100}={\left(-4\right)}^{25}+{\left(-4\right)}^{25}=2.{\left(-2^2\right)}^{25}=-2^{51} \end{gathered}$$