10 bài tập Thủ thuật đếm gián tiếp có lời giải
10 câu hỏi
Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể viết được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số đó?
- Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm nghìn.
- Có 5 cách chọn chữ số hàng chục nghìn.
- Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn.
- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm.
- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục.
- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Số các số viết được là: 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 số.
Thấy mỗi chữ số (1; 2; 3; 4; 5; 6) ×uất hiện 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 lần ở hàng trăm nghìn, 120 lần ở hàng chục nghìn, 120 lần ở hàng nghìn, 120 lần ở hàng trăm, 120 lần ở hàng chục, 120 lần ở hàng đơn vị.
Lại có: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Vậy tổng các số lập được là: 21 × 100 000 × 120 + 21 × 10 000 × 120 + 21 × 1000 × 120 + 21 × 100 × 120 + 21 × 10 × 120 + 21 × 1 × 120
= 21 × 120 × (100000 + 10000 +1000 + 100 + 10 + 1) = 279 999 720.
Đáp Số: 720 và 279 999 720
Yêu cầu tương tự với 6 số 0, 1, 2, 3, 4, 5.
- Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn.
- Có 4 cách chọn chữ số hàng trăm.
- Có 3 cách chọn chữ số hàng chục.
- Có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Số các số lập được là: 4 × 4 × 3 × 2 = 96 (số)
Thấy các chữ số 1; 2; 3; 4 xuất hiện
- 1 × 4 × 3 × 2 = 24 lần ở hàng nghìn,
- 3 × 1 × 3 × 2 = 18 lần ở hàng trăm,
- 3 × 3 × 1 × 2 = 18 lần ở hàng chục,
- 3 × 3 × 2 × 1 = 18 lần ở hàng đơn vị.
Lại có: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Tổng các số lập được là:
10 × 1000 × 24 + 10 × 100 × 18+ 10 × 10 × 18+ 10 × 1 × 18
= 240000 + 180 × (100 + 10 + 1)
= 240 000 + 180 × 111
= 259 980.
Đáp Số: 96 và 259 980.
Chú ý: Ví dụ như muốn xem chữ số 2 xuất hiện ở hàng chục bao nhiêu lần các em làm như giải bài toán: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà có chữ số 2 ở hàng chục.
Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể viết được bao nhiêu số: a) Có 2 chữ số khác nhau? b) Có 3 chữ số khác nhau? c) Có 4 chữ số khác nhau?
a) Lập được: 6 × 5 = 30 số
b) Lập được: 6 × 5 × 4 = 120 số.
c) Lập được: 6 × 5 × 4 × 3 = 360 số.
Đáp Số: a) 30; b) 120; c) 360
Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể viết được bao nhiêu số: a) Có 3 chữ số? b) Có 4 chữ số?
a) Lập được: 6 × 6 × 6 = 216 số
b) Lập được: 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 số.
Đáp Số: a) 216; b) 1296
Từ các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ta có thể thành lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? Trong các số đó có bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu số lẻ?
Có 7 cách chọn chữ số hàng trăm, với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm có 6 cách chọn chữ số hàng chục, với mỗi cách chọn chữ số hàng chục có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Với mỗi cách chọn có được 1 số.
Số các số có 3 chữ số khác nhau là: 7 × 6 × 5 = 210 (số)
Tìm số các số chẵn: Có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị (2; 4; 6; 8) với mỗi cách chọn chữ số hàng đơn vị có 6 cách chọn chữ số hàng trăm, với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm có 5 cách chọn chữ số hàng chục.
Vậy số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau lập được là: 4 × 6 × 5 = 120 số
Tìm số các số lẻ: Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị (3; 5; 7) với mỗi cách chọn chữ số hàng đơn vị có 6 cách chọn chữ số hàng trăm, với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm có 5 cách chọn chữ số hàng chục.
Vậy số các số lẻ có 3 chữ số khác nhau lập được là: 3 × 6 × 5 = 90 (số)
Đáp Số: 210 số; 120 số chẵn; 90 số lẻ.
Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
- Có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn (1; 2; 3; ...; 9)
- Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm.
- Có 8 cách chọn chữ số hàng chục.
- Có 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Số các số có 4 chữ số khác nhau là: 9 × 9 × 8 × 7 = 4536 (số)
Đáp Số: 4536 số.
Cho 6 điểm, trong đó không có ba điểm nào nằm trên một đường thẳng. Ta đánh số các điểm bằng các chữ số từ 1 đến 6 để được các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong số 6 điểm nói trên?
b) Tìm tam giác có tổng các số ghi ở đỉnh nhỏ nhất? Lớn nhất?
c) Có mấy tam giác có tổng các số ghi ở 3 đỉnh là số chia hết cho 3?
a) Ta có:
- Có 6 cách chọn đỉnh thứ nhất
- Có 5 cách chọn đỉnh thứ hai.
- Có 4 cách chọn đỉnh thứ ba.
Tuy nhiên nếu chọn như thế một tam giác được đếm 6 lần. Do đó số tam giác lập được là: 6 × 5 × 4 : 6 = 20 (tam giác)
b) Tam giác có tổng các số ghi ở đỉnh nhỏ nhất là: 123
Tam giác có tổng các số ghi ở đỉnh lớn nhất là: 456.
c) Để tổng các số ở đỉnh chia hết cho 3 thì tổng đó phải bằng: 6; 9; 12; 15.
Ta có:
- 6 = 1 + 2 + 3 có 1 tam giác (123)
- 9 = 1 + 2 + 6 = 2 + 3 + 4 = 1 + 3 + 5 có 3 tam giác (126; 234; 135)
- 12 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5 có 3 tam giác (156; 246; 345)
- 15 = 4 + 5 + 6 có 1 tam giác (456)
Vậy có tất cả: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 tam giác thỏa mãn đề bài.
Đáp Số: a) 20 b) 123; 456 c) 8
Có bao nhiêu số có 4 chữ số, chia hết cho 4 và tận cùng là 4?
- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (4)
- Có 5 cách chọn chữ số hàng chục (0; 2; 4; 6; 8)
- Có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn.
- Có 10 cách chọn chữ số hàng trăm
Số các số có 4 chữ số chia hết cho 4 có tận cùng là 4 là:
1 × 5 × 9 × 10 = 450 (số)
Đáp Số: 450 số.
Có bao nhiêu số có 3 chữ số, trong đó có đúng một chữ số 6?
Ta có các trường hợp sau: \[\overline {ab6} ;\overline {a6b} ;\overline {6ab} \]
TH1: Có 9 cách chọn a; 10 cách chọn b. Vậy có 9 × 10 × 1 = 90 số
TH2: Có 9 cách chọn a; 10 cách chọn b. Vậy có 9 × 1 × 10 = 90 số
TH3: Có 10 cách chọn a; 10 cách chọn b. Vậy có 10 × 10 = 10 số.
Số các số có 3 chữ số mà có đúng 1 chữ số 6 là:
90 + 90 + 100 = 280 (số)
Đáp Số: 280 số.
Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà tổng các chữ số là 5?
Hướng Dẫn Giải
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: 5 = 0 + 0 + 5, lập được 1 số là 500.
TH2: 5 = 0 + 1 + 4, lập được 2 × 2 × 1 = 4 số.
TH3: 5 = 0 + 2 + 3, lập được 4 số.
TH4: 5 = 1 + 1 + 3, lập được 3 số. (113; 131; 311)
TH4: 5 = 2 + 2 + 1, lập được 3 số. (223; 232; 322)
Số các số có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng 5 là:
1 + 4 + 4 + 3 + 3 = 15 (số)
Đáp Số: 15 số.
