Giải SGK Toán 11 CD Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc có đáp án
12 câu hỏi
Trong Hình 1, hai đường thẳng a, b gợi nên hình ảnh hai đường thẳng vuông góc trong không gian.
Trong không gian, thế nào là hai đường thẳng vuông góc với nhau?
Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng tường bên và sàn nhà, mà mặt phẳng tường bên và sàn nhà vuông góc với nhau. Vậy nên trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau là hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a, b.
a) Nếu a và b cắt nhau tại điểm O (Hình 2) thì góc giữa hai đường thẳng a, b được xác định như thế nào?
a) Nếu a và b cắt nhau tại O thì góc giữa hai đường thẳng a, b là góc nhỏ nhất trong 4 góc được tạo thành haygóc giữa hai đường thẳng a, b lớn hơn 0° và không vượt quá 90°.
b) Nếu a // b thì góc giữa a và b bằng bao nhiêu độ?
b) Nếu a // b thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 0°.
c) Nếu a và b trùng nhau thì góc giữa a và b bằng bao nhiêu độ?
c) Nếu a và b trùng nhau thì góc giữa a và b bằng 0°.
Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, DA. Biết tam giác MNP đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
Xét tam giác ABC có: M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Nên MN // AC. (1)
Xét tam giác ABD có: M, P lần lượt là trung điểm của AB và AD.
Suy ra MP là đường trung bình của tam giác ABD.
Nên MP // BD. (2)
Từ (1) và (2) ta có: (AC, BD) = (MN, MP) = NMP^ = 60° (do tam giác MNP đều).
Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng 60°.
Trong Hình 1 ở phần mở đầu, hai đường thẳng a, b gợi nên hình ảnh hai đường thẳng vuông góc. Góc giữa a và b bằng bao nhiêu độ?
Do hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau nên góc giữa a và b bằng 90°.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng AH ⊥ B’C’.
Do H là trực tâm tam giác ABC nên AH ⊥ BC. (1)
Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên B’C’ // BC. (2)
Từ (1), (2) ta có AH ⊥ B’C’.
Hình 6 gợi nên hình ảnh 5 cặp đường thẳng vuông góc. Hãy chỉ ra 5 cặp đường thẳng đó.
Ta có 5 cặp đường thẳng vuông góc là: a và b; a và c; b và c; c và d; a và d.
⦁ 4 cặp đường thẳng vuông góc a và b; a và c; b và c; c và d ta có thể dễ dàng nhìn thấy được từ hình vẽ.
⦁ Cặp đường thẳng a và d vuông góc với nhau: vì a ⊥ b mà b // d suy ra a ⊥ d.
Trong Hình 7 cho ABB’A’, BCC’B’, ACC’A’ là các hình chữ nhật. Chứng minh rằng AB ⊥ CC’, AA’ ⊥ BC
⦁ Do ABB’A’ là hình chữ nhật nên AB ⊥ BB’.
Do BCC’B’ là hình chữ nhật nên CC’ // BB’.
Từ đó ta có AB ⊥ CC’.
⦁ Do BCC’B’ là hình chữ nhật nên BC ⊥ CC’.
Do AA'C'C là hình chữ nhật nên AA’ // CC’.
Từ đó ta có BC ⊥ AA’ hay AA’ ⊥ BC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SAB^=100° (Hình 8). Tính góc giữa hai đường thẳng:
a) SA và AB;
a) Vì SAB^=100° nên SA,AB=180°−SAB^=180°−100°=80°.
Vậy góc giữa hai đường thẳng SA và AB bằng 80°.
b) SA và CD.
b) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD.
Suy ra (SA, CD) = (SA, AB) = 80° (theo câu a).
Vậy góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 80°.
Bạn Hoa nói rằng: “Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b vuông góc với nhau”. Bạn Hoa nói đúng hay sai? Vì sao?
Bạn Hoa nói sai. Vì nếu a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng.
Theo quan hệ từ vuông góc tới song song trong mặt phẳng ta có: a ⊥ b và b ⊥ c thì a // b.
