a) Ta có: u₁ = 2.1 + 3 = 5; u_n = 2n + 3 và u_n+1 = 2(n + 1) +3 = 2n + 5

Do đó u_n+1 – u_n = 2n + 5 – (2n + 3) = 2.

Vậy u_n = 2n + 3 là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 5 và công sai d = 2.

b) Ta có: u₁ = ‒3.1 + 1 = −2; u_n = ‒3n + 1 và u_n+1 = ‒3(n + 1) + 1 = ‒3n – 2.

Do đó u_n+1 – u_n = ‒3n – 2 – (‒3n + 1) = – 3.

Vậy u_n = ‒3n + 1 là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = −2 và công sai d = ‒3.

c) Xét u_n = n² + 1 có:

u₁ = 1² + 1 = 2;

u₂ = 2² + 1 = 5;

u₃ = 3² + 1 = 10

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy u_n = n² + 1 không phải là cấp số cộng.

d) Xét $u_n=\frac{2}{n}$ có:

$u_1=\frac{2}{1}=2;$ $u_2=\frac{2}{2}=1;$ $u_3=\frac{2}{3}.$

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy $u_n=\frac{2}{n}$ không phải là cấp số cộng.

a) Ta có: u₁ = 3.1 + 1 = 4; u_n = 3n + 1; và u_n+1 = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4.

Do đó u_n+1 – u_n = 3n + 4 – (3n + 1) = 3.

Vậy u_n = 3n + 1 là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = 3.

b) Ta có: u₁ = 4 ‒ 5.1 = ‒1; u_n = 4 ‒ 5n và u_n+1 = 4 – 5(n + 1) = −1 – 5n.

Do đó u_n+1 – u_n = −1 – 5n – (4 ‒ 5n) = −5.

Vậy u_n = 4 ‒ 5n là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = ‒1 và công sai d = ‒5.

a) Ta có: u₁ = 7.1 ‒ 3 = 4; u₂ = 7.2 ‒ 3 = 11.

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = u₂ ‒ u₁ = 11 ‒ 4 = 7.

b) u₂₀₁₂ = 7.2012 ‒ 3 = 14081.

c) u₁₀₀ = 7.100 ‒ 3 = 697.

$S_{100}=\frac{100\left(u_1+u_{100}\right)}{2}=\frac{100\left(4+697\right)}{2}=35050.$

d) Ta có u_n = 1 208

Do đó 7n ‒ 3 = 1 208

Suy ra n = 173

Vậy số 1 208 là số hạng thứ 173 .

a) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là:

un = u1 + (n ‒ 1)d = 5 + (n ‒ 1).3 = 3n + 2.

b) Ta có u99 = 3.99 + 2 = 299.

c) Ta có: un = 1 502 nên 3n + 2 = 1 502, suy ra n = 500.

Vậy số 1502 là số hạng thứ 500 .

d) $S_n=34275=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}=\frac{n\left[2\cdot 5+\left(n-1\right)3\right]}{2}$

Suy ra n(10 + 3n – 3) = 2 . 34 275

Hay 3n2 + 7n – 68 550 = 0

Suy ra $\left[\begin{array}{l}n=150\\ n=-\frac{457}{2}\end{array}\right.$

Mà n ≥ 2 nên n = 150.

Ta có:

u₁₈ = u₁ + 17d;

u₃ = u₁ + 2d.

Do đó:

u₁₈ ‒ u₃ = 75

⇔ u₁ + 17d ‒ (u₁ + 2d) = 75

⇔ 15d = 75

⇔ d = 5.

Vậy cấp số cộng (u_n) có công sai d = 5.

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u₁ và công sai là d.

Ta có:

u₄ = u₁ + 3d;

u₁₂ = u₁ + 11d.

Do đó: u₄ + u₁₂ = 90

⇔ u₁ + 3d + u₁ + 11d = 90

⇔ 2u₁ + 14d = 90.

Khi đó $S_{15}=\frac{15\left[2u_1+\left(15-1\right)d\right]}{2}=\frac{15\left(2u_1+14d\right)}{2}=\frac{15\cdot 90}{2}=675.$