Giải sbt Giải tích 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

a) TXĐ: R

y′ = 6x − 24$x^2$ = 6x(1 − 4x)

y' = 0 ⇔ 

y' > 0 trên khoảng (0; 1/4) , suy ra y đồng biến trên khoảng (0; 1/4)

y' < 0 trên các khoảng ($-\infty$; 0 ); (14; $+\infty$), suy ra y nghịch biến trên các khoảng ($-\infty$;0 ); (14;$+\infty$)

b) TXĐ: R

y′ = 16 + 4x − 16$x^2$ − 4$x^3$ = −4(x + 4)($x^2$ − 1)

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng ($-\infty$; -4) và (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (1;$+\infty$)

c) TXĐ: R

y′ = 3$x^2$ − 12x + 9

y' = 0

y' > 0 trên các khoảng ($-\infty$; 1), (3; $+\infty$) nên y đồng biến trên các khoảng ($-\infty$; 1), (3; $+\infty$)

y'< 0 trên khoảng (1; 3) nên y nghịch biến trên khoảng (1; 3)

d) TXĐ: R

y′ = 4$x^3$ + 16 = 4x($x^2$ + 4)

y' = 0 ⇔ 

y' > 0 trên khoảng (0; $+\infty$) ⇒ y đồng biến trên khoảng (0; $+\infty$)

y' < 0 trên khoảng ($-\infty$; 0) ⇒ y nghịch biến trên khoảng ($-\infty$; 0)

a) TXĐ: R \ {-7}

y' < 0 trên các khoảng ($-\infty$; -7), (-7; $+\infty$) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó

b) TXĐ: R \ {5}

y' < 0 trên khoảng (5; $+\infty$) nên y nghịch biến trên khoảng (5; $+\infty$)

y' > 0 trên khoảng ($-\infty$; 5) nên y đồng biến trên khoảng ($-\infty$; 5)

c) TXĐ: R \ {-3; 3}

y' < 0 trên các khoảng ($-\infty$; - 3), (-3; 3), (3; $+\infty$) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

d) TXĐ: R \ {0}

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -2), (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-2; 0), (0; 2)

e) TXĐ: R \ {-1}

y' = 0 ⇔ 

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ($-\infty$; −1 − √6), (−1 + √6; $+\infty$) và nghịch biến trên các khoảng (−1 − √6; −1),(−1; −1 + √6)

g) TXĐ: R \ {2}

(do x2 − 4x + 7x2 − 4x + 7 có Δ' = - 3 < 0)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;2),(2;+∞)

a) TXĐ: [0; +∞)

y’ = 0 ⇔ x = 100

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 100) và nghịch biến trên khoảng (100; $+\infty$)

b) TXĐ: ($-\infty$; √6) ∪ (√6; $+\infty$)

y’ = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = -3

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ($-\infty$; -3), (3; $+\infty$), nghịch biến trên các khoảng (-3; −√6 − 6 ), (√6; 3).

a) y = x – sinx, x ∈ [0; 2π].

y′ = 1 – cosx ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2π]

Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].

c) Xét hàm số y = sin(1/x) với x > 0.

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; $+\infty$):

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

Và nghịch biến trên các khoảng

với k = 0, 1, 2 …

a) Tập xác định: D = R \ {m}

Hàm số đồng biến trên từng khoảng ($-\infty$; m), (m; $+\infty$) khi và chỉ khi:

⇔ − $m^2$ + 4 > 0

⇔ $m^2$ < 4 ⇔ −2 < m < 2

c) Tập xác định: D = R

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

y′ = −3$x^2$ + 2mx – 3 ≤ 0

⇔ y′ = $m^2$ – 9 ≤ 0

⇔ $m^2$ ≤ 9 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3

Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sinx + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(π) = 0 và y' = -3sin x + 2cos x + 6 > 0, x ∈ R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x = π

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

a) Xét hàm số f(x) = tanx − sinx trên nửa khoảng [0; π/2);

x ∈ [0;1/2)

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; π/2)

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tanx – sinx > 0 hay tanx > sinx với mọi x ∈ [0; 1/2)

b) Xét hàm số h(x) trên [0; $+\infty$)

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; $+\infty$).

Vì h(x) = 0 nên

Hay

Xét hàm số trên f(x) trên [0; $+\infty$);

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; $+\infty$) nên g(x) ≥ 0, tức là f′(x) ≥ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Với mọi 0 < x < $+\infty$.

f(x) = sinx – bx + c nghịch biến trên R nếu ta có:

f′(x) = cosx – b ≤ 0, ∀ x ∈ R.

Vì |cosx| ≤ 1| nên f′(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ b ≥ 1.

Đáp án: C.

Vì y' = 3$x^2$ + 4 > 0, ∀x ∈ R.