Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

TXĐ: R

y′ = 6x − 24${\mathrm{x}}^2$ = 6x(1 − 4x)

y' = 0 ⇔ 

y' > 0 trên khoảng (0; 1/4) , suy ra y đồng biến trên khoảng (0; 1/4)

y' < 0 trên các khoảng (-$\infty$; 0 ); (14; +$\infty$), suy ra y nghịch biến trên các khoảng (-$\infty$;0 ); (14;+$\infty$)

TXĐ: R

y′ = 16 + 4x − 16${\mathrm{x}}^2$ − 4${\mathrm{x}}^3$ = −4(x + 4)(${\mathrm{x}}^2$ − 1)

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng (-$\infty$; -4) và (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (1; +$\infty$)

TXĐ: R

y′ = 3${\mathrm{x}}^2$ − 12x + 9

y' = 0 $\iff$${[}_{x = 3}^{x = 1}$

y' > 0 trên các khoảng (-$\infty$; 1), (3; +$\infty$) nên y đồng biến trên các khoảng (-$\infty$; 1), (3; +$\infty$)

y'< 0 trên khoảng (1; 3) nên y nghịch biến trên khoảng (1; 3)

TXĐ: R

y′ = 4${\mathrm{x}}^3$ + 16 = 4x(${\mathrm{x}}^2$ + 4)

y' = 0 ⇔ x = 0

y' > 0 trên khoảng (0; +$\infty$) ⇒ y đồng biến trên khoảng (0; +$\infty$)

y' < 0 trên khoảng (-$\infty$; 0) ⇒ y nghịch biến trên khoảng (-$\infty$; 0)

TXĐ: R \ {-7}

y' < 0 trên các khoảng (-$\infty$; -7), (-7; +$\infty$) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó

TXĐ: R \ {5}

y' < 0 trên khoảng (5; +$\infty$) nên y nghịch biến trên khoảng (5; +$\infty$)

y' > 0 trên khoảng (-$\infty$; 5) nên y đồng biến trên khoảng (-$\infty$; 5)

TXĐ: R \ {-3; 3}

y' < 0 trên các khoảng (-$\infty$; - 3), (-3; 3), (3; +$\infty$) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

TXĐ: R \ {0}

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-$\infty$; -2), (2; +$\infty$) và nghịch biến trên các khoảng (-2; 0), (0; 2)

TXĐ: R \ {-1}

y' = 0 ⇔ 

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−$\infty$; −1 − $\sqrt{6}$), (−1 + $\sqrt{6}$; +$\infty$) và nghịch biến trên các khoảng (−1 − $\sqrt{6}$; −1),(−1; −1 + $\sqrt{6}$)

TXĐ: R \ {2}

(do ${\mathrm{x}}^2$ − 4x + 7${\mathrm{x}}^2$ − 4x + 7 có $∆$' = - 3 < 0)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−$\infty$;2),(2;+$\infty$)

TXĐ: [0; +$\infty$)

y’ = 0 ⇔ x = 100

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 100) và nghịch biến trên khoảng (100; +$\infty$)

TXĐ: (-$\infty$; $\sqrt{6}$) ∪ ($\sqrt{6}$; +$\infty$)

y’ = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = -3

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-$\infty$; -3), (3; +$\infty$), nghịch biến trên các khoảng (-3; −$\sqrt{6}$ − 6 ), ($\sqrt{6}$; 3).

y = x – sinx, x $\in$ [0; 2$\mathrm{\pi }$].

y′ = 1 – cosx $\ge$ 0 với mọi x ∈ [0; 2$\mathrm{\pi }$]

Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2$\mathrm{\pi }$.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2$\mathrm{\pi }$].

Xét hàm số y = sin(1/x) với x > 0.

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; +$\infty$):

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

Và nghịch biến trên các khoảng

với k = 0, 1, 2 …

Tập xác định: D = R \ {m}

Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−$\infty$; m), (m; +$\infty$) khi và chỉ khi:

⇔ − ${\mathrm{m}}^2$ + 4 > 0

⇔ ${\mathrm{m}}^2$ < 4 ⇔ −2 < m < 2

Tập xác định: D = R

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

y′ = −3${\mathrm{x}}^2$ + 2mx – 3 $\le$ 0

⇔ y′ = ${\mathrm{m}}^2$ – 9 $\le$ 0

⇔ ${\mathrm{m}}^2$ $\le$ 9 ⇔ −3 $\le$ m $\le$ 3

Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sinx + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x $\in$ R

Ta có: y($\mathrm{\pi }$) = 0 và y' = -3sin x + 2cos x + 6 > 0, x $\in$ R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x = $\mathrm{\pi }$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Xét hàm số f(x) = tanx − sinx trên nửa khoảng [0; $\mathrm{\pi }$/2);

x $\in$ [0;1/2)

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; $\mathrm{\pi }$/2)

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tanx – sinx > 0 hay tanx > sinx với mọi x $\in$ [0; 1/2)

Xét hàm số h(x) trên [0; +$\infty$)

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +$\infty$).

Vì h(x) = 0 nên

Hay

Xét hàm số trên f(x) trên [0; +$\infty$);

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +$\infty$) nên g(x) $\ge$ 0, tức là f′(x) $\ge$ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Với mọi 0 < x < +$\infty$

f(x) = sinx – bx + c nghịch biến trên R nếu ta có:

f′(x) = cosx – b $\le$ 0, $\forall$ x $\in$ R.

Vì |cosx| $\le$ 1| nên f′(x) $\le$ 0, ∀ x ∈ R ⇔ b $\ge$ 1.

Đáp án: C.

Vì y' = 3${\mathrm{x}}^2$ + 4 > 0, $\forall$x $\in$ R.

Đáp án: C.

Gợi ý: Loại A, D vì tập xác định của hàm số là 25 - ${\mathrm{x}}^2$ $\ge$ 0 ⇔ -5 $\le$ x $\le$ 5.

Loại B, vì

Đáp án: B.

Vì

trên tập xác định (-4;4)

Cách khác: Loại A, C, D vì tập xác định của hàm số là (-4;4)

Đáp án: C

Vì f'(x) = (${\mathrm{x}}^5+{\mathrm{x}}^3$ - 7)' = 5${\mathrm{x}}^4$ + 3${\mathrm{x}}^2$ $\ge$ 0, $\forall$x $\in$ R (dấu "=" xảy ra ⇔ x = 0). Suy ra f(x) đồng biến trên R. Mặt khác f(0) = -7, f(2) = 32 + 8 - 7 = 33 > 0. Hàm f(x) liên tục trên đoạn [0;2] nên tồn tại ${\mathrm{x}}_0$ $\in$ (0;2) để f(${\mathrm{x}}_0$) = 0. Suy ra f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên R.

Cách khác: Phương trình 3${\sin }^{2}x\mathit{-}co{s}^{2}x$ + 5 = 0

⇔ 3${\sin }^{2}x$ + ${\sin }^{2}x$ + 4 = 4(${\sin }^{2}x$ + 1) = 0, vô nghiệm

Các phương trình ${\mathrm{x}}^2$ - 5x + 6 = 0 và 3tanx - 4 = 0 có nhiều hơn một nghiệm. Từ đó suy ra phương trình ${\mathrm{x}}^5+{\mathrm{x}}^3$ - 7 = 0 có nghiệm duy nhất trên R.

Đáp án:B.

Với f(x) = ${\mathrm{x}}^3$ + 5x + 6 thì vì f'(x) = 3${\mathrm{x}}^2$ + 5 > 0, $\forall$x $\in$ R nên hàm số f(x) luôn đồng biến trên R. Mặt khác f(-1) = 0. Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên R.

Đáp án: B.

Các phương trình còn lại có nhiều hơn một nghiệm:

(x - 5)(${\mathrm{x}}^2$ - x - 12) = 0 có các nghiệm x = 5, 4, -3.

${\sin }^{2}x$ - 5sinx + 4 = 0 ⇔ sinx = 1, có vô số nghiệm

sinx - cosx + 1 = 0 có các nghiệm x = 0, x = 3$\mathrm{\pi }$/2

Đáp án: D.

Hàm số đồng biến trên tập xác định R khi và chỉ khi

y' = 3${\mathrm{x}}^2$ - 4mx + 12 ≥ 0, $\forall$x ⇔ $∆$' = 4m2 - 36 $\le$ 0 ⇔ -3 $\le$ m $\le$ 3.

Đáp án: A.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (-$\infty$; -m), (-m; +$\infty$) khi và chỉ khi

⇔ -${\mathrm{m}}^2$ + 5m - 4 < 0

⇔