Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

TXĐ: R

y′ = 6x − 24x2 = 6x(1 − 4x)

y' = 0 ⇔ 

y' > 0 trên khoảng (0; 1/4) , suy ra y đồng biến trên khoảng (0; 1/4)

y' < 0 trên các khoảng (-∞; 0 ); (14; +∞), suy ra y nghịch biến trên các khoảng (-∞;0 ); (14;+∞)

TXĐ: R

y′ = 16 + 4x − 16x2 − 4x3 = −4(x + 4)(x2 − 1)

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -4) và (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (1; +∞)

TXĐ: R

y′ = 3x2 − 12x + 9

y' = 0 ⇔[x = 3x = 1

y' > 0 trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞) nên y đồng biến trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞)

y'< 0 trên khoảng (1; 3) nên y nghịch biến trên khoảng (1; 3)

TXĐ: R

y′ = 4x3 + 16 = 4x(x2 + 4)

y' = 0 ⇔ x = 0

y' > 0 trên khoảng (0; +∞) ⇒ y đồng biến trên khoảng (0; +∞)

y' < 0 trên khoảng (-∞; 0) ⇒ y nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)

TXĐ: R \ {-7}

y' < 0 trên các khoảng (-∞; -7), (-7; +∞) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó

TXĐ: R \ {5}

y' < 0 trên khoảng (5; +∞) nên y nghịch biến trên khoảng (5; +∞)

y' > 0 trên khoảng (-∞; 5) nên y đồng biến trên khoảng (-∞; 5)

TXĐ: R \ {-3; 3}

y' < 0 trên các khoảng (-∞; - 3), (-3; 3), (3; +∞) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

TXĐ: R \ {0}

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -2), (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-2; 0), (0; 2)

TXĐ: R \ {-1}

y' = 0 ⇔ 

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −1 − 6), (−1 + 6; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−1 − 6; −1),(−1; −1 + 6)

TXĐ: R \ {2}

(do x2 − 4x + 7x2 − 4x + 7 có ∆' = - 3 < 0)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;2),(2;+∞)

TXĐ: [0; +∞)

y’ = 0 ⇔ x = 100

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 100) và nghịch biến trên khoảng (100; +∞)

TXĐ: (-∞; 6) ∪ (6; +∞)

y’ = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = -3

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3), (3; +∞), nghịch biến trên các khoảng (-3; −6 − 6 ), (6; 3).

y = x – sinx, x ∈ [0; 2π].

y′ = 1 – cosx ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2π]

Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].

Xét hàm số y = sin(1/x) với x > 0.

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; +∞):

 

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

 

Và nghịch biến trên các khoảng

với k = 0, 1, 2 …

Tập xác định: D = R \ {m}

Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞; m), (m; +∞) khi và chỉ khi:

⇔ − m2 + 4 > 0

⇔ m2 < 4 ⇔ −2 < m < 2

Tập xác định: D = R

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

y′ = −3x2 + 2mx – 3 ≤ 0

⇔ y′ = m2 – 9 ≤ 0

⇔ m2 ≤ 9 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3

Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sinx + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(π) = 0 và y' = -3sin x + 2cos x + 6 > 0, x ∈ R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x = π

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Xét hàm số f(x) = tanx − sinx trên nửa khoảng [0; π/2);

x ∈ [0;1/2)

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; π/2)

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tanx – sinx > 0 hay tanx > sinx với mọi x ∈ [0; 1/2)

Xét hàm số h(x) trên [0; +∞)

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞).

Vì h(x) = 0 nên

Hay

Xét hàm số trên f(x) trên [0; +∞);

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞) nên g(x) ≥ 0, tức là f′(x) ≥ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Với mọi 0 < x < +∞

f(x) = sinx – bx + c nghịch biến trên R nếu ta có:

f′(x) = cosx – b ≤ 0, ∀ x ∈ R.

Vì |cosx| ≤ 1| nên f′(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ b ≥ 1.

Đáp án: C.

Vì y' = 3x2 + 4 > 0, ∀x ∈ R.

Đáp án: C.

Gợi ý: Loại A, D vì tập xác định của hàm số là 25 - x2 ≥ 0 ⇔ -5 ≤ x ≤ 5.

Loại B, vì

x	-5	0
y	0	5

Đáp án: B.

Vì

trên tập xác định (-4;4)

Cách khác: Loại A, C, D vì tập xác định của hàm số là (-4;4)

Đáp án: C

Vì f'(x) = (x5+x3 - 7)' = 5x4 + 3x2 ≥ 0, ∀x ∈ R (dấu "=" xảy ra ⇔ x = 0). Suy ra f(x) đồng biến trên R. Mặt khác f(0) = -7, f(2) = 32 + 8 - 7 = 33 > 0. Hàm f(x) liên tục trên đoạn [0;2] nên tồn tại x0 ∈ (0;2) để f(x0) = 0. Suy ra f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên R.

Cách khác: Phương trình 3sin2x-cos2x + 5 = 0

⇔ 3sin2x + sin2x + 4 = 4(sin2x + 1) = 0, vô nghiệm

Các phương trình x2 - 5x + 6 = 0 và 3tanx - 4 = 0 có nhiều hơn một nghiệm. Từ đó suy ra phương trình x5+x3 - 7 = 0 có nghiệm duy nhất trên R.

Đáp án:B.

Với f(x) = x3 + 5x + 6 thì vì f'(x) = 3x2 + 5 > 0, ∀x ∈ R nên hàm số f(x) luôn đồng biến trên R. Mặt khác f(-1) = 0. Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên R.

Đáp án: B.

Các phương trình còn lại có nhiều hơn một nghiệm:

(x - 5)(x2 - x - 12) = 0 có các nghiệm x = 5, 4, -3.

sin2x - 5sinx + 4 = 0 ⇔ sinx = 1, có vô số nghiệm

sinx - cosx + 1 = 0 có các nghiệm x = 0, x = 3π/2

Đáp án: D.

Hàm số đồng biến trên tập xác định R khi và chỉ khi

y' = 3x2 - 4mx + 12 ≥ 0, ∀x ⇔ ∆' = 4m2 - 36 ≤ 0 ⇔ -3 ≤ m ≤ 3.

Đáp án: A.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (-∞; -m), (-m; +∞) khi và chỉ khi

⇔ -m2 + 5m - 4 < 0

⇔