Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 ( Mới nhất)_ đề 14

Ta có:$P=\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=\frac{2\sqrt{x}+4-1}{\sqrt{x}+2}$

$\iff P=2-\frac{1}{\sqrt{x}+2}\ge 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy Min P =  $\frac{3}{2}$dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn lúc đầu (0 < x, y < 120)

Nữa chu vi của khu vườn lúc đầu là: x + y = 240 : 2 = 120 (m) (1)

Diện tích khu vườn lúc đầu là: xy (m²)

Chiều dài khu vườn lúc sau là: x + 9 (m)

Chiều rộng khu vườn lúc sau là: y + 7 (m)

Diện tích khu vườn lúc sau là: (x + 9)(y + 7) (m²)

Do diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963m² nên ta có:

(x + 9)(y + 7) – xy = 963 (m²) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=120\\ \left(x+9\right)\left(y+7\right)-xy=963\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=120\\ xy+7x+9y+63-xy=963\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=120-y\\ 7(120-y)+9y=900\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=120-y\\ 840-7y+9y=900\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=120-y\\ 2y=60\end{array}\right. \end{gathered}$$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}x=90\\ y=30\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Vậy chiều dài khu vườn lúc đầu là 90 m và chiều rộng lúc đầu là 30 m.

) Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x+1\ne 0\\ y-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ y\ne 2\end{array}\right.$

Đặt $u=\frac{1}{x+1},v=\frac{1}{y-2}$

Hệ phương trình trở thành: $\left\{\begin{array}{l}2u+2v=6\\ 5u-v=3\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}v=5u-3\\ 2u+2(5u-3)=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}v=5u-3\\ 2u+10u-6=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}v=5u-3\\ 12u=12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}u=1\\ v=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

$u=\frac{1}{x+1}=1\iff x+1=1\iff x=0$ (thỏa mãn)

$v=\frac{1}{y-2}=2\iff y-2=\frac{1}{2}\iff y=\frac{5}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left(0;\frac{5}{2}\right)$.

2)

a) Khi m = 5 phương trình trở thành

x² −2(5 −1)x + 5² − 3.5 = 0

Ûx² −8x + 25 − 15 = 0

Ûx² −8x + 10 = 0

Tính ∆= (−4)² – 1.10 = 16 – 10 = 6 > 0

Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = $\frac{-(-4)+\sqrt{6}}{1}=4+\sqrt{6}$; x₂ = $\frac{-(-4)-\sqrt{6}}{1}=4-\sqrt{6}$

Vậy phương trình có tập nghiệm S =$\left\{4+\sqrt{6};4-\sqrt{6}\right\}$.

b) x² −2(m −1)x + m² − 3m = 0 (1) (x là ẩn số)

Ta có ∆ = [−(m – 1)]² – 1.(m² – 3m)

= m² – 2m + 1 − m² + 3m = m + 1.

Để phương trình có hai nghiệm thì ∆ > 0 Û m + 1 > 0 Û m > −1.

Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm thì m > −1.

Xét vế trái

${\left(a+\frac{1}{b}\right)}^2+{\left(b+\frac{1}{a}\right)}^2$

$$\begin{gathered} =a^2+2\frac{a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+2\frac{b}{a}+\frac{1}{a^2} \\ =\left(\frac{16}{81}{a}^2+\frac{1}{a^2}\right)+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{16}{81}{b}^2+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{65}{81}(a^2+b^2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{16}{81}{a}^2+\frac{1}{a^2}\right)+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{16}{81}{b}^2+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{65}{81}\left[a^2+{\left(3-a\right)}^2\right] \\ =\left(\frac{16}{81}{a}^2+\frac{1}{a^2}\right)+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{16}{81}{b}^2+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{65}{81}\left[2a^2-6a+9\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{16}{81}{a}^2+\frac{1}{a^2}\right)+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{16}{81}{b}^2+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{65}{81}\left[2a^2-6a+9\right] \\ =\left(\frac{16}{81}{a}^2+\frac{1}{a^2}\right)+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{16}{81}{b}^2+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{130}{81}\left[a^2-2.\frac{3}{2}a+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{16}{81}{a}^2+\frac{1}{a^2}\right)+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{16}{81}{b}^2+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{130}{81}{\left(a-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{65}{18} \\ {\ge }^{\cos i}2\sqrt{\frac{16}{81}\frac{a^2}{a^2}}+2.2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{16}{81}\frac{b^2}{b^2}}+0+\frac{65}{18} \end{gathered}$$

=$\frac{169}{18}$ (điều phải chứng minh).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = $\frac{3}{2}$.