Vì \(\Delta SAB\) đều nên \(\left( {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \widehat {SBA}\).

Ta có \(\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} } \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BS} } \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \). Chọn B.

Ta có \(\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB} = 45^\circ \) (vì \(\Delta ASB\) vuông cân tại S).

Vì \(\Delta ASB\) vuông cân tại S, \(AB = a\) nên \(SA = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Có \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AS} = \left| {\overrightarrow {DC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AS} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\). Chọn C.

a) \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} \) là 4 vectơ không đồng phẳng.

Vì 5 điểm S, A, B, C, D không cùng thuộc 1 mặt phẳng.

b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|\) .

c) Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: \(P = mg = 5.10 = 50\;N\).

d) Ta có \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều. Suy ra \(SA = SB = SC = SD\) mà \(\widehat {ASC} = 60^\circ \).

Vậy tam giác \[SAC\] đều. Gọi \[O\] là trung điểm \(AC\).

Hợp lực của 4 sợi xích là: \(\vec F = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} + 2\overrightarrow {SO} = 4\overrightarrow {SO} \)

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với trọng lực hay \(4\overrightarrow {SO} = \vec P\) hay \(4SO = P \Leftrightarrow SO = 12,5\).

Xét tam giác đều \(SAC\)có \(SA = \frac{2}{{\sqrt 3 }}SO = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là \(\frac{{25\sqrt 3 }}{3}\;N\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Đúng;     d) Sai.

a) Ta có \[ABCD\] là hình vuông nên \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) ( qui tắc hình bình hành) suy ra\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \).

b) Do \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\] nên\(\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AS} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .\)

c) Ta có \[ABCD\] là hình vuông nên nên \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0\).

d) Do \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\] nên \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)

\({\left( {3\overrightarrow {AG} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} \Rightarrow 9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AD} \overrightarrow {AB} \;\left( 1 \right)\).

Vì \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) nên\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\;\left( 2 \right)\).

 \[ABCD\] là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\left( 3 \right)\) .

Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\] ta được \(9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2}.\)

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Sai;     d) Sai.

a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {C'D'} \) ngược hướng và có độ dài bằng nhau.

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {C'D'} \) đối nhau.

b) Ta có vectơ \(\overrightarrow {A'D} \) và \(\overrightarrow {CB'} \) cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Suy ra \(\overrightarrow {A'D} \) và \(\overrightarrow {CB'} \) đối nhau.

c) Ta có \(A'B'\) không song song với AC nên hai vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương với nhau.

d) Ta có các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) bằng vectơ \(\overrightarrow {BC} \) là \(\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A'D} ,\overrightarrow {B'C'} \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là hai vectơ ngược hướng nên góc giữa chúng bằng 180°.

b) Hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BO} \) là hai vectơ cùng hướng nên góc giữa chúng là \(0^\circ \).

c) Ta có \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \widehat {SCD}\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác SCD có:

\(\cos \widehat {SCD} = \frac{{S{C^2} + C{D^2} - S{D^2}}}{{2SC.CD}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {2a} \right)}^2}}}{{2.2a.a}} = \frac{1}{4}\).

d) Ta có \(\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {SD} = - \overrightarrow {OA} .\left( {\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OS} } \right) = - \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OS} = 0\) nên góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {SD} \) bằng 90°.

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;    d) Sai.

a) Ta thấy: \[ABCD\] là hình chữ nhật nên \[AB//CD\].

Suy ra: hai vectơ \[\overrightarrow {AB\,} \], \[\overrightarrow {CD\,} \] là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Ta có: \[ABCD\] là hình chữ nhật nên: \[AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \].

Hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA\] vuông góc với mặt đáy nên tam giác \[SAC\] là tam giác vuông tại \[A\]. Suy ra: \[\tan \widehat {SCA\,} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }}\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {SCA\,} \approx 41^\circ 48\prime \].

Ta có: \[\left( {\overrightarrow {SC\,} ,\,\overrightarrow {AC\,} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS\,} ,\,\overrightarrow {CA\,} } \right) = \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48\prime \].

c) Hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA\] vuông góc với mặt đáy nên tam giác \[SAB\] là tam giác vuông tại \[A\].

Suy ra: \[SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 5 \].

Trong tam giác \[SAB\] vuông tại \[A\] có \[AM\] là đường trung tuyến nên\[AM = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].

Lại có: \[M\] là trung điểm của \[SB\] nên \[MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].

Ta tính được: \[\cos \widehat {MAB\,} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.\,AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].

Mà: \[\left( {\overrightarrow {AM\,} ,\,\overrightarrow {AB\,} } \right) = \widehat {MAB\,}\], suy ra:

\[\overrightarrow {AM\,} \cdot \,\overrightarrow {AB\,} = \left| {\overrightarrow {AM\,} } \right|.\,\left| {\overrightarrow {AB\,} } \right|.\,\cos \left( {\overrightarrow {AM\,} ,\,\overrightarrow {AB\,} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\,a.\,\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}\].

d) Ta có: \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[SB\], \[SD\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[SBD\]. Do đó: \[MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].

Suy ra: \[\left| {\overrightarrow {AM\,} - \overrightarrow {AN\,} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN\,} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;    d) Sai.

\(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \)\(\left( {SC,CH} \right) = \)\(\widehat {SCH} = 60^\circ \).

\[\cos \left( {SB,AC} \right) = \frac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{SB.AC}}\]

\(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {HB} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \)

\( = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{2}A{B^2} = 2{a^2}\).

\(AC = a\sqrt 5 \), \(CH = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \), \(SH = CH.\tan \widehat {SCH} = a\sqrt 6 \).

\(SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 7 \).

\(\cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{SB.AC}}\)\( = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 7 .a\sqrt 5 }}\)\( = \frac{2}{{\sqrt {35} }} \approx 0,3\).

Trả lời: 0,3.

Ta có \(\left| {\overrightarrow P } \right| = P = mg = 20.9,8 = 196\)(N).

\(\left| {\overrightarrow d } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 3\) (m).

Cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) nên \(\left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = \widehat {CAB} = 60^\circ \).

Công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt 3 m là

\[A = \overrightarrow P .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 196.3.\cos 60^\circ = 294\] (J).

Trả lời: 294.

Ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} \) (với D là điểm sao cho AMBD là hình bình hành).

Ta có \(MA = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25\) N; \(MB = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25\) N.

Do \(\widehat {AMB} = 60^\circ \) nên DMAB là tam giác đều. Khi đó \(MD = 2.\frac{{25\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 \).

Do ô tô đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \).

Suy ra \(\overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {DM} } \right| = MD = 25\sqrt 3 \) N.

Vậy cường độ của \(\overrightarrow {{F_3}} \) là \(25\sqrt 3 \approx 43,3\) N.

Trả lời: 43,3.