Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác
16 câu hỏi
Trong các công thức dưới đây, công thức nào đúng?
\(\cos a - \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\cos a - \cos b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\cos a - \cos b = - 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}.\) Chọn D.
Trong các công thức dưới đây, công thức nào đúng?
\(\cos \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\). Chọn D.
Cho \[{\rm{cos}}\alpha \,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{1}{3}\]. Tính \[{\rm{cos}}2\alpha \].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{7}{9}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{1}{3}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = - \frac{7}{9}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{2}{3}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 1 = - \frac{7}{9}\]. Chọn C.
Rút gọn biểu thức \[T = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\] ta được kết quả là
\[T = \sqrt 3 \cos x\].
\[T = \sin x\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
\[T = \sin 2x\].
\[T = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\]
\[ = 2\cos \frac{{\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) + \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)}}{2}\sin \frac{{\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) - \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)}}{2}\]
\[ = 2\cos \frac{\pi }{3}\sin x = \sin x.\] Chọn B.
Cho \[\tan \alpha = 2\]. Tính \[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\].
\[ - \frac{1}{3}\].
\[1\].
\[\frac{2}{3}\].
\[\frac{1}{3}\].
\[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \alpha .\tan \frac{\pi }{4}}}\]\[ = \frac{{\tan \alpha - 1}}{{1 + \tan \alpha }}\]\[ = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2}} = \frac{1}{3}\]. Chọn D.
Trong bốn khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): \(\cos 4a = {\cos ^2}2a - {\sin ^2}2a.\)
(2): \(\cos 4a = 1 - 2{\sin ^2}2a.\)
(3): \(\cos 4a = 2{\cos ^2}2a - 1.\)
(4): \(\cos 4a = 1 - 2{\sin ^2}4a.\)
\[4\].
\[3\].
\[2\].
\[1\].
\(\cos 4a = {\cos ^2}2a - {\sin ^2}2a = 1 - 2{\sin ^2}2a = 2{\cos ^2}2a - 1.\) Chọn B.
Tính giá trị biểu thức \(P = \sin 30^\circ \cos 90^\circ + \sin 90^\circ \cos 30^\circ .\)
\[P = 1\].
\[P = 0\].
\[P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
\[P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
\(P = \sin 30^\circ \cos 90^\circ + \sin 90^\circ \cos 30^\circ = \sin \left( {30^\circ + 90^\circ } \right) = \sin 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Chọn D.
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}\) ta được
\[A = \tan 2x\].
\[A = - \tan 2x\].
\[A = - \cot 2x\].
\[A = \cot 2x\].
\(A = \frac{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}\)
\[ = \frac{{\left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \cos 2x}}{{\left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x}}\]
\[ = \frac{{2\cos 2x\cos x + \cos 2x}}{{2\sin 2x\cos x + \sin 2x}}\]
\[ = \frac{{\cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}}\]
\[ = \cot 2x\]. Chọn D.
Biết \(\frac{{\cos 4x + \cos 2x + 1}}{{\sin 4x + \sin 2x}} = m\cot 2x\). Khẳng định nào dưới đây là đúng.
\[m \in \left( {0;2} \right]\].
\[m \in \left( {0;1} \right)\].
\[m \in \left( {2;4} \right)\].
\[m \in \left( {1;2} \right]\].
\(\frac{{\cos 4x + \cos 2x + 1}}{{\sin 4x + \sin 2x}} = \frac{{\left( {\cos 4x + 1} \right) + \cos 2x}}{{\sin 4x + \sin 2x}}\)
\( = \frac{{2{{\cos }^2}2x + \cos 2x}}{{2\sin 2x\cos 2x + \sin 2x}}\)\[ = \frac{{\cos 2x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}}{{\sin 2x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}} = \cot 2x\].
Vậy \(m = 1\). Chọn A.
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Biết giá trị của \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{1 - a\sqrt 6 }}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \(a + b.\)
\[4\].
\[10\].
\[7\].
\[8\].
Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{8}{9}\)\( \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\). Suy ra \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{1 - 2\sqrt 6 }}{6}\).
Do đó \(a = 2;b = 6\). Suy ra \(a + b = 8\). Chọn D.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Trong vật lí, phương trình tổng quát của một dao động điều hòa cho bởi công thức \(x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\), trong đó \(t\) là thời điểm (tính bằng giây), \(x\left( t \right)\) là li độ của vật tại thời điểm \(t\), \(A\) là biên độ dao động (\(A > 0\)) và \(\varphi \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình là \({x_1}\left( t \right) = 3\cos \left( {\frac{\pi }{4}t + \frac{{5\pi }}{6}} \right)\) cm; \({x_2}\left( t \right) = 3\cos \left( {\frac{\pi }{4}t + \frac{\pi }{3}} \right)\) cm.
a) Biên độ của dao động thứ nhất bằng 3 cm.
b) Pha ban đầu của dao động thứ hai bằng \( - \frac{\pi }{3}\).
c) Với \(a,b \in \mathbb{R}\) ta có \(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\).
d) Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp \(x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right)\) lần lượt bằng \(3\sqrt 2 \)cm và \(\frac{{7\pi }}{{12}}\).
a) Biên độ của dao động thứ nhất bằng 3 cm.
b) Pha ban đầu của dao động thứ hai bằng \(\frac{\pi }{3}\).
c) \(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\).
d) \(x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right)\)\( = 3\cos \left( {\frac{\pi }{4}t + \frac{{5\pi }}{6}} \right) + 3\cos \left( {\frac{\pi }{4}t + \frac{\pi }{3}} \right)\)
\( = 3.2\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{4}t + \frac{{5\pi }}{6} + \frac{\pi }{4}t + \frac{\pi }{3}}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{4}t + \frac{{5\pi }}{6} - \frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{3}}}{2}} \right)\)
\( = 3.2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \left( {\frac{\pi }{4}t + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)\)\( = 3\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4}t + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)\).
Suy ra biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp lần lượt là \(3\sqrt 2 \) và \(\frac{{7\pi }}{{12}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\).
a) \(\sin 2\alpha = \frac{{4\sqrt 5 }}{9}\).
b)\(\cos \left( {\alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \frac{2}{3}\).
c) \(\sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 + \sqrt 5 }}{3}\).
d) \(D = \frac{{\cot \alpha + \tan \alpha }}{{\cot \alpha - \tan \alpha }} = \frac{1}{9}\).
a) \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) suy ra \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) \( \Rightarrow \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha = 2.\frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{4\sqrt 5 }}{9}\).
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\alpha + 2\pi - \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha = \frac{2}{3}\).
c) \(\sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \alpha - \sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{3}\).
d) Có \(\sin \alpha = \frac{2}{3};\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) \( \Rightarrow \tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }},\cot \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Do đó \(D = \frac{{\cot \alpha + \tan \alpha }}{{\cot \alpha - \tan \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2} - \frac{2}{{\sqrt 5 }}}} = 9\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho \(\cos 2\alpha = - \frac{1}{9},\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\).
a)\({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 + \sin 2\alpha }}{2}\).
b) \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\).
c) \(\sin 4\alpha = \frac{{80}}{{81}}\).
d) Biết \(\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = a + b\sqrt c ,\left( {a,b,c \in \mathbb{Z},c \ge 0} \right)\). Khi đó \(a + b + c = 0\).
a) \({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\).
b) \(\cos 2\alpha = - \frac{1}{9}\)\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\alpha - 1 = - \frac{1}{9}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{4}{9}\)\( \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{2}{3}\) vì \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\).
c) Ta có \({\sin ^2}2\alpha = 1 - {\cos ^2}2\alpha = 1 - {\left( { - \frac{1}{9}} \right)^2} = \frac{{80}}{{81}}\)\( \Rightarrow \sin 2\alpha = - \frac{{\sqrt {80} }}{9}\).
Có \(\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = 2.\frac{{ - \sqrt {80} }}{9}.\frac{{ - 1}}{9} = \frac{{2\sqrt {80} }}{{81}}\).
d) Ta có \({\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}} - 1 = \frac{5}{4}\).
Vì \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) nên \(\tan \alpha < 0 \Rightarrow \tan \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Ta có \(\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan \alpha .\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{ - \sqrt 5 }}{2} + 1}}{{1 - \left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right).1}} = - 9 + 4\sqrt 5 \).
Suy ra a = −9 ; b = 4; c = 5. Do đó a + b + c = 0.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m.
Với α là góc giữa hai sợi cáp trên thỏa mãn \(\tan \alpha = \frac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\); \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính a + b.
Ta có \(\alpha = \widehat {AOH} - \widehat {BOH}\).
Trong tam giác vuông \(AOH\) ta có \(\tan \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OH}} = \frac{{14}}{{15}}\).
Trong tam giác vuông \(BOH\) ta có \(\tan \widehat {BOH} = \frac{{BH}}{{OH}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\).
Vậy \(\tan \alpha = \tan \left( {\widehat {AOH} - \widehat {BOH}} \right)\) \( = \frac{{\tan \widehat {AOH} - \tan \widehat {BOH}}}{{1 + \tan \widehat {AOH}.\tan \widehat {BOH}}} = \frac{{\frac{{14}}{{15}} - \frac{4}{5}}}{{1 + \frac{{14}}{{15}}.\frac{4}{5}}} = \frac{{10}}{{131}}\).
Suy ra a = 10; b = 131. Do đó \(a + b = 141\).
Trả lời: 141.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\cos A = \frac{4}{5}\) và \(\cos B = \frac{5}{{13}}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = 130\cos C - 1\).
Vì \(\cos A = \frac{4}{5} \Rightarrow \sin A = \frac{3}{5}\); \(\cos B = \frac{5}{{13}} \Rightarrow \sin B = \frac{{12}}{{13}}\) vì \(0 < A,B < \pi \).
Có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi \)\( \Rightarrow \widehat C = \pi - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)\).
Do đó \(A = 130\cos C - 1\)\( = 130\cos \left[ {\pi - \left( {A + B} \right)} \right] - 1\)\( = - 130\cos \left( {A + B} \right) - 1\)
\( = - 130\left[ {\cos A.\cos B - \sin A.\sin B} \right] - 1\)\( = - 130\left[ {\frac{4}{5}.\frac{5}{{13}} - \frac{3}{5}.\frac{{12}}{{13}}} \right] - 1 = 31\).
Trả lời: 31.
Tính giá trị của biểu thức \(A = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right)\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\) ta được \(A = \cos \frac{a}{b}\pi \) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(\frac{a}{b}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
\(A = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right)\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{{12}} - 2x} \right) + \cos \frac{{7\pi }}{{12}}} \right] + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( { - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{11\pi }}{{12}} + 2x} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{{12}} - 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{11\pi }}{{12}} + 2x} \right) + \cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \left( { - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left( {0 + 2\cos \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)\) (do \(\frac{{11\pi }}{{12}} + 2x + \frac{\pi }{{12}} - 2x = \pi \))
\( = \cos \frac{{7\pi }}{{12}}\).
Vậy \(\frac{a}{b} = \frac{7}{{12}} \approx 0,58\).
Trả lời: 0,58.
