Bài tập Hình học không gian OXYZ cơ bản, nâng cao có lời giải (P9)

Đáp án A

Phương pháp:

Hình chiếu vuông góc của điểm $M(x_0;y_0;z_0)$  trên mặt phẳng (Oxy) là điểm  $M\text{'}(x_0;y_0;z_0)$

Cách giải:

Hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm  N(1;2;0)

Đáp án B

Phương pháp

Khoảng cách từ M đến $\left(\alpha \right)$ là

Cách giải: Khoảng cách từ A đến $\left(\alpha \right)$ là:

Đáp án B

Phương pháp:

Hình chiếu của điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ trên trục Ox là điểm $M_1(x_0;0;0)$

Hình chiếu của điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ trên trục Oy là điểm $M_2(0;y_0;0)$

Hình chiếu của điểm $M(x_0;y_0;z_0)$trên trục Oz là điểm $M_3(0;0;z_0)$

Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a,b,c$\ne 0$) là 

Cách giải: Hình chiếu của điểm A(2;-1;1) trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là: (2;0;0), (0;-1;0),(0;0;1).

Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{1}=1$

Đáp án A

Phương pháp:

lần  lượt là các VTPT. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$,$\left(\beta \right)$ được tính 

Cách giải:

(P): x+2y-2z+2018=0

(Q): x+my+(m-1)z+2017=0

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):

Khi đó

Ta thấy: 

Đáp án D

Phương pháp

Viết phương trình đường thẳng biết điểm đi qua và VTCP

Cách giải

$∆$ vuông góc với d và AB => AB nhận $\overrightarrow{u}=(-2;1;3)$ và $\overrightarrow{AB}=(-2;3;2)$ là cặp VTPT

Phương trình đường thẳng

Đáp án C

Cách giải:

Gọi tọa độ các giao điểm

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng đoạn chắn

Vì OA=2OB=3OC>0 nên 

TH1: a=2b=3c

TH2: a=-2b=3c

TH3: a=2b=-3c

TH1: -a=2b=3c

Vậy, có 3 mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án D

Phương pháp:

- Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với  a, b, c khác 0

- Sử dụng bất đẳng thức

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

Cách giải:

Mặt phẳng (ABC) có phương trình: 

Khoảng cách từ O đến (ABC): 

Ta có

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Đáp án C

Phương pháp:  

Cách giải:

Ta tìm được  

Khi đó ta có :  

Đáp án C

Phương pháp:

Mặt phẳng trung trực của MN và mặt phẳng vuông góc với MN tại trung điểm của MN.

Cách giải: Gọi I là trung điểm của MN ta có:  I(2;0;-1)

=>Mặt phẳng trung trực của MN đi qua và nhận vectơ $\overrightarrow{n}$=(1;1;-3) là 1 VTPT, do  đó có phương trình : 

Đáp án C

Phương pháp

Cách giải: Ta có:

là 1 VTPT của mặt phẳng (R).

Vậy phương trình mặt phẳng (R): 

Đáp án B

Phương pháp 

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a,b,c>0) =>OA =a, OB =b, OC=c

Viết phương trình mặt phẳng (P)

Cách giải :

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a,b,c>0) =>OA =a, OB =b, OC=c

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là 

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 

Đáp án D

Phương pháp:

(P)//$\left(\alpha \right)$=> Phương trình mặt phẳng (P)  có dạng 4x+3y-12z+D=0 (D khác 10)

(P) tiếp xúc với (S) => d(I;(P))= R với I; R là tâm và bán kính mặt cầu (S) .

Cách giải:

Gọi mặt phẳng là mặt phẳng cần tìm.

(P)//$\left(\alpha \right)$=>Phương trình mặt phẳng có dạng 4x+3y-12z+D=0 (D khác 10)

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính  R=4

Vậy mặt phẳng (P)  thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình 

Đáp án B

Phương pháp: (P) cách đều  B, C

TH1: BC//(P)

TH2: I$\in$(P)với I là trung điểm của BC.

Cách giải:

(P) cách đều B, C

TH1: BC//(P)

=> (P) đi qua O và nhận $\overrightarrow{b}=(6;-3;-4)$ là 1 VTPT

TH2: I$\in$(P) với I là trung điểm của BC.

Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án B.

Đáp án A

$G\left(-\frac{1}{3};1;-\frac{2}{3}\right)$

Đáp án D

Đáp án D

Hay 2x-5y+z-17=0

Đáp án A

Ta có: 

Đáp án D

Ta có:  

Khi đó:  

Suy ra (Q): 2y+3z-11=0

Đáp án B

Sin góc giữa đường thẳng AB và (P) là 

Hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (P)  có độ dài là 

Đáp án D

Phương pháp: Xét hai mặt phẳng  

+) (P) và (Q) cắt nhau khi và chỉ khi chúng không song song hay trùng nhau.

Cách giải:  Ta có: (P): 2x-y+3z-1=0 và (Q): 4x-2y+6z-1=0

=> (P) và (Q)  song song với nhau.

Đáp án D

Phương pháp:

Cách giải

Đáp án A

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$  và có VTCP là $\overrightarrow{u}$=(a;b;c) có phương trình chính tắc:

Cách giải: Đường thẳng d đi qua M(2;0;-1) và có VTCP là $\overrightarrow{u}$ =(2;-3;1) có phương trình chính tắc:

Đáp án B

Phương pháp: - Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ được tính: 

- Phương trình mặt phẳng đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow{n}$=(a;b;c)

Cách giải: Trọng tâm G của tam giác ABC: G(-1;1;1)

(P) vuông góc với AB => (P) nhận $\overrightarrow{AB}=(2;2;-3)$ là một VTPT 

Phương trình mặt phẳng (P):

Đáp án B

Phương pháp: Công thức tính diện tích tam giác ΔABC trong hệ tọa độ Oxyz là:

Cách giải:  $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}$ có phương trình tham số 

$d_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}$ có phương trình tham số 

AB là đường vuông góc chung của  $d_1$ và  $d_2$ 

Diện tích tam giác OAB

Đáp án B

Cách giải:

$d_{}:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{2}$ có 1 VTCP $\overrightarrow{v}$=(1;-2;2) là một VTCP của $∆$

$∆$ là đường thẳng qua A, vuông góc với d $\Rightarrow ∆\subset \left(\alpha \right)$ mặt phẳng qua A và vuông góc d mặt phẳng qua A và vuông góc d

Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$

khi và chỉ khi đi qua hình chiếu H của B lên $\left(\alpha \right)$

*) Tìm tọa độ điểm H:

Đường thẳng BH đi qua B(2;0;4)  và có VTCP là VTPT của $\left(\alpha \right)$  có phương trình:

Đáp án D

Phương pháp:  

Trong đó

d: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

r: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)

R: bán kính hình cầu.

Cách giải: 

$\left(S\right): x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0$

=> (S) có tâm I(3;-2;1) bán kính R = 3

(Q) cắt (S)  theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r = 2

Ta có

là một VTCP (Q)

Khi đó

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O(0;0;0)   và có VTPT $\overrightarrow{n}$=(0;b;c) là:

Khoảng cách từ tâm I đến (Q): 

Phương trình mặt phẳng (Q): 2y -z =0

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Cách giải: Đặt A(x;0;0), B(0;y;0), (x,y>0)

Vì OA+OB=OC = 1 => x+y=1

Gọi J, F lần lượt là trung điểm AB, OC. Kẻ đường thẳng qua F song song OJ, đường thẳng qua J song song OC, 2 đường thẳng này cắt nhau tại G

 Tam giác OAB vuông tại O => J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

mà F là trung điểm của OC

=>GF là đường trung trực của OC => GC=GO

=> GO=GA=GB=GC=> G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 

Ta có: 

Đáp án D

Đáp án D

Đáp án A