Bài tập Hình học không gian OXYZ cơ bản, nâng cao có lời giải (P7)

Đáp án B

Ta có $MN: \left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-2t\\ z=2-t\end{array}\right.$.  

Gọi  H(t;-1-2t;2-t) là hình chiếu vuông góc của K lên MN

Khi đó

 $\overrightarrow{HK}=(t;-1-2t;-t). \overrightarrow{MN}(-1;2;1)=0$

$\iff t-2-4t-t=0\iff t=\frac{-1}{3}$

$\overrightarrow{HK}=(t;-1-2t;-t). \overrightarrow{MN}(-1;2;1)=0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow H\left(\frac{-1}{3};\frac{-1}{3};\frac{7}{3}\right). \\ Ta có d(K;(P\left)\right)\le KH \end{gathered}$$

dấu “=” xảy ra  khi KH $\perp$(P)

Khi đó

 $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{KH}=\left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)=\frac{-1}{3}(1;1;-1)$

Đáp án D

Do mặt phẳng (Q) chứa A,B và vuông góc với mặt phẳng (P)

Do đó (Q): 3x-2y-z-3=0

Đáp án B

Đáp án D

Bán kính mặt cầu

Đáp án A

Đáp án A

Hình chiếu vuông góc của điểm M(x;y;z) trên mặt phẳng (Oxy) là M'(x;y;0)

Cách giải: Hình chiếu vuông góc của A(3;2;-1) trên mặt phẳng  (Oxy) là điểm  H(3;2;0)

Đáp án C

Phương pháp:

Mặt phẳng

Cách giải: Mặt phẳng (P):2x-3y+z-2018=0 có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}$=(2;-3;1)

Đáp án D

Phương pháp: Sử  dụng  công  thức  viết  phương  trình  mặt  phẳng  dạng  đoạn  chắn:  Mặt  phẳng (ABC) đi  qua  các  điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình 

Cách giải: Phương trình mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{ z}{4}=1$

Đáp án C

Phương pháp

 Cách giải:

Đáp án A

Phương pháp:  

Cách giải: 

Đáp án A

Phương pháp:

+) Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì  $d(I;{\left(P\right))}_{max}$

+) Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên (P) và trên đường thẳng AB. Ta có: HI$\le$IK

Cách giải:

Khi đó mặt phẳng (P) có dạng :  

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = 5

Gọi  H  và  K  lần  lượt  là  chân  đường  vuông  góc  của  I  trên  (P)  và  trên đường thẳng AB. Ta có :  HI$\le$IK

Để  mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì

=>Phương trình đường thẳng AB: 

Vì  

là 1 VTPT của (P)

=> $\overrightarrow{IH}$ và vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(2-2c;2;c)$  cùng phương

Đáp án D

Phương pháp: AB lớn nhất 

Cách giải: Mặt cầu (S) có tâm I(0;-2;0) và bán kính R = $\sqrt{5}$

Ta có

Để AB lớn nhất

Đáp án D

Phương pháp:

Đường  thẳng

có  1 VTCP  là $\overrightarrow{u_1}$=(a;b;c).  Mọi vectơ $\overrightarrow{v}$=k$\overrightarrow{u_{}}$ (k$\in$Z)cùng phương với vecto $\overrightarrow{u_{}}$  đều là VTCP của đường thẳng d.

Cách giải: Đường  thẳng d nhận $\overrightarrow{u_{}}$=(1;-1;1)  là 1 VTCP. Mọi vecto cùng phương với vecto đều  là  VTCP của đường thẳng d.

Ta thấychỉ có đáp án D, vecto $\overrightarrow{u_1}$ =(1;1;1)  không cùng phương với $\overrightarrow{u_{}}$=(1;-1;1) nên $\overrightarrow{u_1}$ =(1;1;1) không là VTCP của đường thẳng d.

Đáp án D

Phương pháp :

Đường thẳng qua A song song với hai mặt phẳng (P), (Q) 

Cách giải :

lần lượt là các VTPT của (P), (Q)

Ta có :

=(0;0;-1)

=> $\overrightarrow{u}=(0;0;1)$ là 1 VTCP của đường thẳng qua A và vuông góc với cả (P), (Q)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:  

Với t =-3  ta có đường thẳng đi qua điểm B(1;2;0) =>phương trình đường thẳng cần tìm là :  

Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

Cách giải:

Đáp án A

Phương pháp : Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là :

Khi đó (P) và (Q)  song song với nhau  

Cách giải:

Đáp án A

Phương pháp giải:  Xác định tọa độ ba điểm A, B, C và gọi tâm I, sử dụng điều kiện cách đều IA=IB=IC=IO  để tìm tọa độ tâm I của mặt cầu

Lời giải:

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) => Tọa độ trọng tâm G là 

Gọi tâm mặt cầu (S) là I(x;y;z) => IO =IA = IB =IC

Vậy tọa độ tâm mặt cầu là I(3;6;12)

Đáp án B

Phương pháp giải: Mặt phẳng trung trực của AB nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương và đi qua trung điểm AB

Lời giải: Ta có $\overrightarrow{AB}$ =(1;-1;2) và trung điểm M của AB là $M\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$

Vì (P) $\perp$AB và (P)  đi qua M => Phương trình (P) là  x-2y+2z=0

Đáp án C

Phương pháp giải: Gọi tọa độ tâm I, vì A thuộc mặt cầu nên IA =R suy ra tọa độ tâm I

Lời giải:

Vì I thuộc tia Ox  

Mà A thuộc mặt cầu  (S): R = IA

Vậy phương trình mặt cầu (S) là  ${\left(x-7\right)}^2+y^2+z^2=49$

Đáp án C

Phương pháp giải: Khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ đến trục Ox là $d=\sqrt{{y_0}^2+{z_0}^2}$

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên Ox  

Vậy khoảng cách từ A đến trục Ox là  

Đáp án D

Phương pháp:

Đường thẳng

có 1 VTCP là  $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$

Cách giải: Đường thẳng d có 1 VTCP là  $\overrightarrow{u}=(3;-2;1)$

Đáp án C

Phương pháp:

Kiểm tra M nằm trong hay ngoài mặt cầu.

Để giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì bán kính của đường tròn đó là nhỏ nhất

Cách giải:

$x^2+y^2+z^2=9$ có tâm  O(0;0;0)

Nhận xét: Dễ dàng kiểm tra điểm M nằm trong (S), do đó, mọi mặt phẳng đi qua M luôn cắt (S) với giao tuyến là 1 đường tròn.

Để giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì bán kính của đường tròn đó là nhỏ nhất

=> IO lớn nhất khi M trùng I hay OM vuông góc với (P)  

Vậy, (P) là mặt phẳng qua M và có VTPT là $\overrightarrow{OM}$ =(1;-1;1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

Đáp án B

Phương pháp: G là trực tâm tam giác MNP

Cách giải: Gọi $G\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là trực tâm tam giác MNP 

Mặt phẳng (MNP) có một VTPT 

Phương trình (MNP) 2x+3y-z-4=0

Từ (1),(2),(3), suy ra 

Đáp án B

Phương pháp:  

Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) và tìm hằng số m

Cách giải:

Mà (thỏa mãn)

Đáp án B

Phương pháp:

- Đưa phương trình mặt phẳng (P) về dạng chỉ còn 1 tham số.

- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất <=> d(I;(P)) max, trong đó: I là tâm mặt cầu (S).

Cách giải:

$\left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=25$ có tâm  I(1;2;3) và bán kính  R = 5

- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất  <=> d(I;(P)) max, trong đó: I là tâm mặt cầu (S)

Ta có 

Ta có:

(*) có nghiệm 

Khi đó T =a+b+c =2-2c+2+c=4-1 =3

Đáp án A.

Đáp án B.

Đáp án C.

Do MNPQ là hình bình hành nên  

Đáp án D.

Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là:

hay 15x+10y-6z-30=0

Đáp án C.

Bán kính mặt cầu là: