Bài tập Hình học không gian OXYZ cơ bản, nâng cao có lời giải (P10)

Đáp án C

Đáp án B

Điều kiện $2^2+1^2+1^2-m>0\iff m<6$

Đáp án C

Đáp án B

Khoảng cách từ tâm I -> (P) là  $d(I,(P\left)\right)=\frac{1.1-2.2-2(-1)-8}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{(-2)}^2}}=3$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là  ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

Đáp án D

Phương pháp:

+) Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy). Khi đó tọa độ  điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy).

+) Phương trình mặt phẳng  (Oxy): z=0

Cách giải:

Gọi $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy): $z_0=0$

Đáp án A

Phương pháp:

Điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ thuộc mặt phẳng

Cách giải:

Thay tọa độ điểm M vào các phương trình của các mặt phẳng ta thấy tọa độ điểm M chỉ thỏa mãn phương trình mặt phẳng (R)

Đáp án B

Phương pháp:

Hai vectơ 

Cách giải:

Gọi  điểm $B\left(x_0;y_0;z_0\right)$  là điểm cần tìm. Khi đó

Đáp án B

Phương pháp:

+) Điểm A thuộc  Oz=> A(0;0;0)

+) Điểm B là giao điểm của đường thẳng d và (P) thì tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình của d và (P).

+) Phương trình mặt cầu tâm và bán kính R có phương trình là: 

Cách giải:

Phương trình trục Oz

Gọi I là trung điểm của AB => I(2;-1;5)

Vậy đường tròn đường kính AB là:

 ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=9$

Đáp án B

Phương pháp:

Từ các giả thiết đã cho, lập hệ 3 phương trình ba ẩn a, b, c. Giải hệ phương trình tìm a, b, c và tính tổng S.

Cách giải:

$$\begin{gathered} \Rightarrow 2(16b+4c-40)-(-16a+2c-12) \\ +(-4a-2b+2)=0 \end{gathered}$$

Ta có 

$M{A}^2+M{B}^2=246$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\left(a+1\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2+{\left(c+2\right)}^2 \\ +{(a+3)}^2+{(b-7)}^2+{(c+18)}^2=246 \end{gathered}$$

Khi đó ta có hệ phương trình   

Thay vào (3) ta có

$$\begin{gathered} a^2+4+{(1-2a)}^2+4a-10.2 \\ +20(1-2a)+75=0 \end{gathered}$$

Đáp án C

Phương pháp:

+) Tam giác ABC có trung tuyến BM và phân giác CD.

+) Tham số hóa tọa độ điểm M là trung điểm của AC, tìm tọa độ điểm C theo tọa độ điểm M.

+) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua CD =>N$\in$BC => Phương trình đường thẳng BC

+) Tìm tọa độ điểm B=BM$\cap$BC, khi đó mọi vector cùng phương với AB đều là VTCP của AB.

Cách giải:

Tam giác ABC có trung tuyến BM và phân giác CD.

Gọi M(30t; 3+2t;2-t)$\in$ BM là trung điểm của AC ta có 

Gọi H là hình chiếu của M trên CD ta có 

Gọi N là điểm đối xứng với M qua CD => H là trung điểm của MN 

Do CD là phân giác của góc C nên N$\in$BC, do đó phương trình đường thẳng CB là

Xét hệ phương trình 

=> B(2;5;1)

 Đáp án D

Phương pháp:

+) Sử dụng công thức 

+) Để góc giữa $∆$ và d là nhỏ nhất thì 

Cách giải :

Do $∆$//(P)

Ta có 

 Để góc giữa $∆$ và d là nhỏ nhất thì 

Có g'(x) 

$=\frac{(32m+40)(5m^2+8m+5)-(16m^2+40m+25)(10m+8)}{{\left(5m^2+8m+5\right)}^2}$

Lập BBT ta thấy 

Đáp án B

Phương pháp:

Chứng minh khoảng cách từ O đến (ABC) không đổi.

Cách giải:

ta có

Ta sẽ chứng minh OK không đổi, khi đó mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính OK

Xét tam giác vuông OCK có

Vậy mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính 2

Đáp án B.

Phương pháp giải: Gọi tọa độ điểm, tính khoảng cách và tìm tọa độ tâm thông qua bán kính 

Lời giải: Ta có 

Phương trình mặt phẳng (Oxy): z=0

Khoảng cách từ tâm  I đến mp(Oxy) là 

Theo bài ra, ta có 

Đáp án B.

Phương pháp giải: Công thức tính bán kính đường tròn giao tuyến là  

Lời giải:

Xét mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$ có tâm I(1;2;2) bán kính R =3

Khoảng cách từ tâm I đến (P) là

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là 

Đáp án D.

Phương pháp giải: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng. Khi đó, tọa độ giao điểm của d và (P) chính là tọa độ hình chiếu.

Lời giải: VTCP của đường thẳng d

Ta có: 

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, vuông góc với d là :

Đáp án A.

Phương pháp giải: Dựng hình, xác định tập hợp tiếp điểm

Lời giải:

Xét mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+z^2=0$ có tâm I(1;1;0) bán kính R =2

Gọi A,B là các tiếp điểm. => E là tâm đường tròn (C), với bán kính r=EA (Hình vẽ bên).

Tam giác MAI vuông tại A, có 

Suy ra

Vậy bán kính của (C) là $r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Đáp án C

Phương pháp giải: Áp dụng ứng dụng của tích có hướng trong không gian 

Lời giải:

Suy ra

Đáp án D.

Phương pháp giải: Dựng hình, áp dụng công thức trung tuyến để biện luận giá trị lớn nhất

Lời giải:

Xét mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$ có tâm I(1;2;2) và bán kính R= 3

=> M, N nằm bên ngoài khối cầu (S).

Gọi  H  là trung điểm của  MN

Lại có 

Khi và chỉ khi  E  là giao điểm của  IH  và mặt cầu (S).

Gọi  (P) là mặt phẳng tiếp diện của (S) tại E 

 Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D, 

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x-2y+z+9=0

Đáp án B

Đáp án C

Phương pháp giải:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là tọa độ vectơ tích có hướng

Lời giải:

Ta có 

Đáp án D

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ hình chiếu trên mặt phẳng và lấy trung điểm ra tọa độ điểm đối xứng

Lời giải:

Hình chiếu của A(2;1;-3) trên mặt phẳng (Oyz) là  H(0;1;-3)

Mà H là trung điểm của AA' suy ra tọa độ điểm A'(-2;1;-3)

Đáp án B

Phương pháp giải:

Ứng dụng của tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng đi qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTPT  

Lời giải:

Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x-3y-z+7=0

Đáp án D

Phương pháp giải:

Ứng dụng tích có hướng để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm của hai mặt phẳng

Lời giải: Ta có

Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q).

Ta có 

Xét hệ

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ tâm đến trục Oz chính bằng bán kính R

Phương trình mặt cầu tâm và bán kính 

Lời giải:

Phương trình trục Oz

Ta có 

Khoảng cách từ tâm  I -> Oz là 

Vì (S) tiếp xúc với trục Oz Þ Phương trình cần tìm là $\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=25$

 Đáp án A

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng tính chất đường phân giác

Vectơ chỉ phương của

Kẻ phân giác OF (F$\in$MN) ta có:

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN 

Tam giác OMN vuông tại O, có bán kính đường tròn nội tiếp r=2 => OI = $\sqrt{2}$

Phương trình đường thẳng $∆$  là 

 đi qua I(0;1;1)

Khoảng cách từ E đến đường thẳng $∆$ là 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Xét vị trí tương đối của mặt phẳng, gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính toán dựa vào điều kiện tiếp xúc

Lời giải:

Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): ax+by+cz+d=0

suy ra mp(P)//BC hoặc đi qua trung điểm của BC.

Mà $\overrightarrow{BC }=(-4;0;0)$ và mp  vuông góc với mp (Oyz) => (P) //BC

Với  (P) //BC => a = 0 => by+cz+d=0

suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn

Đáp án B

Phương pháp

Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng $\left(Q_1\right)$ và $\left(Q_2\right)$  là mặt phẳng song song  và nằm chính giữa $\left(Q_1\right)$  và $\left(Q_2\right)$

Cách giải 

Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng $\left(Q_1\right)$ và $\left(Q_2\right)$  là mặt phẳng song song  và nằm chính giữa $\left(Q_1\right)$  và $\left(Q_2\right)$

Ta có  

Đáp án D

Phương pháp

+) (S) tiếp xúc với (P) nên  d(I;(P))=R

+) Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là  

Cách giải

Ta có 

Vậy phương trình mặt cầu là: $\left(S\right): {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$

Đáp án C

Phương pháp

+) Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a, b, c $\ne$ 0) viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B, C dạng đoạn chắn.M$\in$(P)=>  Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P).

+) Ứng với mỗi trường hợp tìm các ẩn a, b, c tương ứng

Cách giải

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a, b, c $\ne$ 0)  khi đó phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C là  

TH1: a=b=c  thay vào (*) có 

TH2: a=b=-c  thay vào (*) có 

TH3: a=-b=c  thay vào (*) có 

TH4: a=-b=-c  thay vào (*) có 

Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn.

Đáp án B

Phương pháp

Đường thẳng d có VTCP $\overrightarrow{u}$và đi qua điểm M  

Cách giải

Ta có