Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với trục của mặt trụ ($\mathfrak{J}$). Mặt phẳng (P) cắt ($\mathfrak{J}$) theo một đường tròn tâm O. Ta hãy xét một vị trí của đường thẳng d. Gọi A, B là giao điểm của d với ($\mathfrak{J}$) và I là trung điểm của đoạn AB. Chiếu A, B, I theo phương vuông góc với mặt phẳng (P) ta được các điểm theo thứ tự là A’ , B’ , I’ thẳng hàng với S, trong đó A’, B’ nằm trên đường tròn tâm O trong mặt phẳng (P) và I’ là trung điểm của đoạn A’B’. Do đó điểm I’ luôn luôn nằm trên đường tròn đường kính SO trong mặt phẳng (P) và đường thẳng II’ vuông góc với (P). Ta suy ra đường thẳng II’ nằm trên mặt trụ ($\mathfrak{J}$′) chứa đường tròn đường kính SO nằm trong (P) và có trục song song với trục của mặt trụ ($\mathfrak{J}$) .

Tất nhiên, điểm I chỉ nằm trong phần mặt trụ ($\mathfrak{J}$′) thuộc miền trong của mặt trụ ($\mathfrak{J}$)

Từ A và B dựng các đường sinh AA’ và BB’ ta có thiết diện qua AB và song song với trục là hình chữ nhật AA’BB’. Góc giữa AB và trục chính là góc $\angle$ABB′ . Do đó $\angle$ABB′ = 30$°$. Vậy

Do đó diện tích tứ giác AA’BB’ là ${\mathrm{S}}_{\mathrm{AA}\text{'}\mathrm{BB}\text{'}}$ = AB′. BB′ = r.r$\sqrt{3}$ = $r^2\sqrt{3}$

Góc giữa hai bán kính đáy OA và O’B là $\angle$AOB′ và $\angle$A′O′B

Vì AB’ = r nên AOB’ là tam giác đều , do đó $\angle$AOB′=60$°$

Mặt phẳng (ABB’) chứa AB và song song với trục OO’ của hình trụ. Gọi H là trung điểm của AB’. Ta có OH $\perp$(ABB′). Đường thẳng qua H song song với OO’ cắt AB tại I. Dựng IK // HO cắt OO’ tại K. Ta chứng minh được IK là đoạn vuông góc chung của AB và OO’.

Ta có: IK = HO = 

Vì trục OO’ vuông góc với các đáy nên OO′ $\perp$ OA; OO′ $\perp$ O′B. Vậy các tam giác AOO’ và BO’O vuông tại O và O’.

Theo giả thiết ta có AO $\perp$ O′B mà AO $\perp$ OO′ ⇒ AO $\perp$ (OO′B). Do đó, AO $\perp$ OB nên tam giác AOB vuông tại O. Tương tự, ta chứng minh được tam giác AO’B vuông tại O’. Thể tích hình chóp OABO’ là:

Hay

Ta có ($\mathrm{\alpha }$) là (ABB’). Vì OO’ // ($\mathrm{\alpha }$) nên khoảng cách giữa OO’ và ($\mathrm{\alpha }$) bằng khoảng cách từ O đến ($\mathrm{\alpha }$). Dựng OH ⊥ AB′ ta có OH $\perp$ ($\mathrm{\alpha }$).

Vậy khoảng cách cần tìm là 

Đường tròn tâm O có bán kính bằng $\frac{r\sqrt{2}}{2}$ tiếp xúc với AB’ tại H là trung điểm của AB’. Do đó mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) song song với trục OO’ chứa tiếp tuyến của đường tròn đáy, nên ($\mathrm{\alpha }$) tiếp xúc với mặt trụ dọc theo một đường sinh, với mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng $\frac{r\sqrt{2}}{2}$

Ta có công thức ${\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}$ = 2$\mathrm{\pi }$rl với r = 50 cm , l = 50 cm.

Do đó ${\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}$ = 2$\mathrm{\pi }$.50.50 = $\mathrm{\pi }$.5000(${\mathrm{cm}}^2$) và V = $\mathrm{\pi }$${\mathrm{r}}^2$h = 125000.$\mathrm{\pi }$(${\mathrm{cm}}^3$)

Giả sử đoạn thẳng AB có điểm mút A nằm trên đường tròn đáy tâm O’ . Theo giả thiết ta có: AB = 100 cm. Giả sử IK là đoạn vuông góc chung của trục OO’ và đoạn AB với I thuộc OO’ và K thuộc AB. Chiếu vuông góc đoạn AB xuống mặt phẳng đáy chứa đường tròn tâm O’ , ta có A’ , H , B lần lượt là hình chiếu của A, K, B.

Vì KI $\perp$ OO′ nên IK // mp(O’BA’) , do đó O’H // IK và O’H = IK.

Ta suy ra O′H $\perp$ AB và O′H $\perp$ AA′. Vậy O′H $\perp$ A′B

Xét tam giác vuông AA’B ta có

Vậy

Theo giả thiết ta có tam giác đáy ABC là tam giác đều.

Gọi I là trung điểm của cạnh BC và O là tâm của tam giác đều ABC. Theo giả thiết ta có SA = a. Đặt OI = r , SO = h , ta có AO = 2r và $\angle$SIA = $\mathrm{\alpha }$.

Do đó 

Vậy ${\mathrm{a}}^2={\mathrm{r}}^2{\tan }^2\mathrm{\alpha }+4{\mathrm{r}}^2={\mathrm{r}}^2\left({\tan }^2\mathrm{\alpha }+4\right)$

Ta suy ra

Gọi ${\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}$ là diện tích xung quanh của hình trụ ta có công thức ${\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}$ = 2$\mathrm{\pi }$rl trong đó

và 

Vậy 

Các mặt bên SAB, SBC , SCA là những phần của ba mặt phẳng không song song với trục và cũng không vuông góc với trục nên chúng cắt mặt phẳng xung quanh của hình trụ theo những cung elip. Các cung này có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABC) tạo nên đường tròn đáy của hình trụ.