7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 64)

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị:

+ Trong khoảng (−∞; 2) x tăng thì y giảm (Đồ thị đi xuống theo chiều từ trái sang)

⇒ Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2)

+ Trong khoảng (2; +∞), x tăng thì y tăng (Đồ thị đi lên theo chiều từ trái sang)

⇒ Hàm số đồng biến trên (2; +∞).

Ta có: \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow 4x \le \frac{1}{y} \Leftrightarrow 4{x^2} \le \frac{x}{y} \Leftrightarrow \frac{{ - x}}{y} \le - 4{x^2}\).

Suy ra: \({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le {x^2} - \frac{3}{{4x}} - 4{x^2} = - 3\left( {{x^2} + \frac{1}{{4x}}} \right) \le \frac{{ - 9}}{4}\).

Vì \({x^2} + \frac{1}{{4x}} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \left( {x + \frac{1}{{4x}}} \right) - \frac{1}{4} \ge 0 + 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\).

Chọn 3 số bất kì có \(C_{11}^3 = 165\)cách.

Các tổng 3 số bằng 12: (1; 2; 9), (1; 3; 8), (1; 4; 7), (1; 5; 6), (2; 3; 7), (2; 4; 6), (3; 4; 5).

⇒ Số cách lấy ra bộ 3 tổng là 12 là 7 cách.

Xác suất cần tìm là: P = \(\frac{7}{{165}}\).

Ta có: B = (cos0° + cos180°) + (cos20° + cos160°)  +...+ cos80° + cos100°)

= (cos0° – cos0°)  + (cos20° – cos 20°) + ... + (cos80° – cos80°) 

= 0.

Có 8! cách xếp 8 người.

Có 2! cách xếp hai giáo viên đứng cạnh nhau.

Khi đó có 2!.7! cách xếp 8 người sao cho hai giáo viên đứng cạnh nhau.

Mà hai giáo viên không đứng cạnh nhau nên số cách xếp là cách xếp 8! – 2!.7! = 30240.

Mỗi số chẵn hơn kém nhau 2 đơn vị.

Số chẵn cuối cùng có 5 chữ số là: 99998.

Vậy số giá trị của số chẵn có 5 chữ số là:

(99998 – 10000) : 2 + 1= 45000

Vậy có 45000 số chẵn có 5 chữ số.

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt thỏa mãn yêu cầu là \(\overline {abc} \)

Lập được số các số có 3 chữ số phân biệt là: 9.9.8 = 648 (số)

Tổng các chữ số là số lẻ có các trường hợp sau:

TH1: Số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt đều là số lẻ

Chọn a, b, c lần lượt có số cách là 5,4,3 cách

⇒ có 5.4.3 = 60 cách

TH2: Số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt trong đó có 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ

Nếu a lẻ thì a có 5 cách chọn

b lần lượt có 5,4 cách chọn

Nếu chữ số lẻ ở hàng chục và hàng đơn vị thì

a có 4 cách chọn

Chữ số chẵn còn lại có 4 cách chọn

Chữ số lẻ có 5 cách chọn

⇒ có 5.5.4 + 2.4.4.5 = 260 cách

Vậy số số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt tổng các chữ số là số lẻ là:

60 + 260 = 320 số.

Số các số có 3 chữ số phân biệt tổng các chữ số là số chẵn là:

648 – 320 = 328 (số).

Không gian mẫu n(Ω) = \(C_7^4\) = 35.

Gọi biến cố A: “Minh Anh được chọn trong 4 học sinh được chọn đi thi.”

+ Chọn Minh Anh đi thi có 1 cách.

+ Chọn 3 bạn trong 6 bạn còn lại có \(C_6^3\) cách.

Suy ra n(A) = 1 . \(C_6^3\) = 20

Vậy xác suất để Minh Anh được chọn đi thi là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{35}} = \frac{4}{7}\).

Gọi chiều cao của tam giác là h, cạnh đáy tam giác là a. (h, a∈ ℕ* , a > 3, dm)

Diện tích tam giác ban đầu là \(\frac{1}{2}ah\) (dm²)

Vì chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\)cạnh đáy nên ta có phương trình: \(h = \frac{3}{4}a\)

Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 (dm²)

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \frac{1}{2}ah = 12\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}h = \frac{3}{4}a\\\frac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \frac{1}{2}ah = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 44\\h = 33\end{array} \right.\)

Vậy chiều cao của tam giác bằng 33 dm, cạnh đáy tam giác bằng 44 dm

Suy ra diện tích tam giác ban đầu là: \(\frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}.44.33 = 726\left( {d{m^2}} \right)\).

Ta có: 3 – 4sin²x

= 3 – 4(1 – cos²x) = 4cos²x – 1

= (2cosx + 1)(2cosx – 1)

Suy ra: (2cosx – 1)(2cos2x + 2cosx – m) = (2cosx + 1)(2cosx – 1)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2\cos x - 1 = 0\\2\cos 2x + 2\cos x - m = 2\cos x + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\2\cos 2x + 2\cos x - m = 2\cos x + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\left( 1 \right)\\\cos 2x = \frac{{m + 1}}{2}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Xét (1): cosx = \(\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \)

Để (1) có 2 nghiệm thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm \(x = \pm \frac{\pi }{3}\)

TH1: (2) vô nghiệm:

Do \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 2x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\)

⇔ \[\left| {\frac{{m + 1}}{2}} \right| > 1 \Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 > 2\\m + 1 < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 3\end{array} \right.\]

TH2: (2) có nghiệm \(x = \pm \frac{\pi }{3}\)

Thay \(x = \pm \frac{\pi }{3}\) ta có: \(\cos \left( { \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow m = - 2\)

Từ hai trường hợp ta có: \(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Và m là số nguyên, m > –10

⇒ m ∈ {−9;−8;−7;−6;−5;−4;−2}

Vậy có 7 giá trị m thỏa mãn.

Trung bình cộng của 5 số đó là:

2020 : 5 = 404

Vì 5 là số lẻ nên số ở giữa chính là trung bình cộng của 5 số đó nên là 404.

Vậy 5 số chẵn liên tiếp thỏa mãn đề bài là: 400; 402; 404; 406; 408.

Suy ra số hạng thứ tư là 406.

Điều kiện: x ≥ 0

\(1 - x + \sqrt x = 2\sqrt x + 1\)

⇔ \( - x = \sqrt x \)

Ta thấy: Vì x ≥ 0 nên \(\sqrt x \ge 0\)

Để dấu ‘=” xảy ra thì x = 0

Vậy x = 0.

Dễ thấy A và B nằm khác phía với trục Oy.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Oy. Khi đó A′(2;−3)

ở đó M′là giao điểm của A’B với Oy.

Gọi A’B: y = ax + b

A′(2;−3) ∈ A′B ⇔ −3 = 2a + b (1)

B(1;1) ∈ A′B ⇔ 1 = a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a = –4; b = 5 hay A′B: y = –4x + 5

Cho x = 0 thì y = 5

Suy ra M′ (0;5)

Vậy \(\left| {MA - MB} \right|\)_max = A′B khi M trùng M′(0;5)

Tổng của hai số đã cho là 37,72.

Số thứ nhất gấp lên 6 lần và giữ nguyên số thứ hai thì tổng hai số là 80,9  nên 5 lần số thứ nhất là: 80,9 − 37,72 = 43,18

Số thứ nhất là: 43,18 : 5 = 8,636

Số thứ hai là: 37,72 − 8,636 = 29,084.

Xếp 10 học sinh vào bàn tròn có 9! Cách xếp

Sắp xếp 6 nam vào bàn tròn có 5! Cách xếp

Giữa các nam này có 6 chỗ trống, xếp 4 nữ vào có \(A_6^4\) cách

Theo quy tắc nhân, số cách xếp chỗ thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

5! . \(A_6^4 = 43200\)(cách)

Khi đó: \(P = \frac{{43200}}{{9!}} = \frac{5}{{42}}\).

(x − 2y)(x² + 2xy + 4y²)

= x³ – (2y)³

= x³ – 8y³.

Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} \)

Suy ra: \(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OD} \)

Mà \(\left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)

Ta có ABCD là hình chữ nhật có:

BD² = AB² + AD² = (12a)² + (5a)² = 169a²

Suy ra: BD = 13a

OD = \(\frac{{13}}{2}a\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AO} } \right| = \frac{{13}}{2}a\).

Gọi phân số cần tìm là \(\frac{9}{a}\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta có: \(\frac{{ - 11}}{{13}} < \frac{9}{a} < \frac{{ - 11}}{{15}}\)

⇒ \(\frac{{99}}{{ - 117}} < \frac{{99}}{{11a}} < \frac{{99}}{{ - 135}}\)

⇒ –117 > 11a > –135

Suy ra: a = –11 hoặc a = –12

Vậy hai phân số cần tìm là: \(\frac{9}{{ - 11}};\frac{9}{{ - 12}}\).

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;a \ne 0} \right)\)

+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có \(A_5^3\) (cách)

Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có \(A_7^2\) (cách)

Suy ra có \(A_5^3.A_7^2\) số

+) Trường hợp a = 0

Chọn a có 1 cách

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có \(A_4^3\) (cách)

Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có \(C_6^1\) (cách)

Suy ra có \(A_7^2.C_6^1\)(cách)

Vậy có: \(A_5^3.A_7^2 - A_7^2.C_6^1 = 2376\)số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Số cách sắp xếp học sinh ba khối 10, 11 và 12 là: 3!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 12 là: 4!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 11 là: 5!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 10 là: 6!;

Vậy số cách sắp xếp 15 học sinh thành hàng ngang để đón đại biểu là: 3!.4!.5!.6!

Chiều cao tam giác là:

20 : (3 – 1) = 10 (cm)

Cạnh đáy tam giác là:

20 + 10 = 30 (cm)

Diện tích tam giác là:

30 . 10 : 2 = 150 (cm²).

Để phân thức sau có giá trị nguyên thì 3 chia hết cho 2x – 1

Suy ra: 2x – 1 thuộc Ư(3)

⇒ 2x – 1 = {±1; ±3}

⇒ x ∈ {–1; 0; 1; 2}.

\(\sin A = \frac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}} = \frac{{2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}}}{{2\sin \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}}} = \frac{{\cos \frac{{B + C}}{2}}}{{\sin \frac{{B + C}}{2}}} = \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}} \right)}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}}\)

Suy ra: \(\sin A = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}}\)

⇒ \(2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}}\)

⇒ \(2{\cos ^2}\frac{A}{2} = 1 \Rightarrow \cos A = 0 \Rightarrow A = 90^\circ \)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Giả sử m, n có dạng 2k + 1, 2v + 1

Ta có: m² + n² = (2k + 1)² + (2v + 1)² = 4k² + 4k + 1 + 4v² + 4v + 1

= 4k² + 4k + 4v² + 4v + 2

Thấy 4k² + 4k + 4v² + 4v + 2 chia hết cho 2

Suy ra: 4k² + 4k + 4v² + 4v + 2 là số chẵn

Vậy m² + n² chẵn khi m, n là số lẻ.

Số lít để đựng số mật ong cho vụ thu hoạch là:

75 . 10 = 750 (lít)

Vào vụ thu hoạch số mật ong là:

750 . 2 = 1500 (lít)

Cần số can 10l đựng số mật ong là:

1500 : 10 = 150 (can)

Đáp số: 150 can.

Đặt t = sinx (–1 ≤ t ≤ 1)

Ta có bài toán trở thành: tìm GTLN, GTNN của hàm số g(t) = \(\frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}\) trên đoạn [–1;1]

Ta có đạo hàm: g’(t) = \(\frac{{ - {t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}}\)

g’(t) = \(\frac{{ - {t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow - {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\\t = - 2 \notin \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right.\)

Ta có: g(–1) = 0; g(0) = 1; g(1) = \(\frac{2}{3}\)

\(\mathop {\max g\left( t \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = g\left( 0 \right) = 1;\mathop {\min g\left( t \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = g\left( { - 1} \right) = 0\)

Hay M = 1; m = 0

Vậy M.m = 1.0 = 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

\(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{3x}}{2} + \frac{{3x}}{2} + \frac{4}{{{x^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{3x}}{2}.\frac{{3x}}{2}.\frac{4}{{{x^2}}}}} = 3\sqrt[3]{9}\)(do x > 0)

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{3x}}{2} = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\)

Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} = 3\sqrt[3]{9}\] khi \(x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\).

(x + 2)(x + 3) – \(2\sqrt {{x^2} + 5x + 3} = 6\)

⇔ x² + 5x + 6 – \(2\sqrt {{x^2} + 5x + 3} = 6\)

⇔ x² + 5x – \(2\sqrt {{x^2} + 5x + 3} = 0\) (*)

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 5x + 3} = t\)(t ≥ 0)

Suy ra: t² = x² + 5x + 3

x² + 5x = t² – 3

Khi đó (*) trở thành: t² – 2t – 3 = 0

⇔ t² – 3t + t – 3 = 0

⇔ t(t – 3) + (t – 3) = 0

⇔ (t – 3)(t + 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 1\left( L \right)\end{array} \right.\)

Với t = 3 thì x² + 5x + 3 = 9

⇔ x² + 5x – 6 = 0

⇔ (x + 6)(x – 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 6\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy x = –6 hoặc x = 1.

Ta có: 2²⁰⁰.2¹⁰⁰ = 2^{200 + 100} = 2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

3¹⁰⁰.3¹⁰⁰ = 3^{100 + 100} = 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

Vì 8 < 9 nên 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ nên 2²⁰⁰.2¹⁰⁰ < 3¹⁰⁰.3¹⁰⁰.

Đáp án đúng: D

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

Suy ra: \[\frac{{\widehat A + \widehat B + 2\widehat C}}{2} = 90^\circ + \frac{{\widehat C}}{2}\]

\(\cos \frac{{A + B + 2C}}{2} = \cos \left( {90^\circ + \frac{C}{2}} \right) = - \sin \frac{C}{2}\).

Thay x = 16 thì A = \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{4}{{4 + 3}} = \frac{4}{7}\).

Ta có: sin²x + cos²x = 1

⇔ cos²x = 1 – sin²x

Mà 3sin⁴x – cos⁴x = \(\frac{1}{2}.\)

⇔ 3sin⁴x – (1 – sin²x)² = \(\frac{1}{2}.\)

⇔ 3sin⁴x – 1 + 2sin²x – sin⁴x – \(\frac{1}{2}\)= 0

⇔ 2sin⁴x + 2sin²x – \(\frac{3}{2}\) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{1}{2}\\{\sin ^2}x = \frac{{ - 3}}{2}\left( L \right)\end{array} \right.\)

⇔ sin²x = \(\frac{1}{2}\)

⇔ cos²x = \(\frac{1}{2}\)

A = 2sin⁴x – cos⁴x = \(2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\).

Gọi K là giao điểm của BH vs AC. Tam giác ABK có AH vừa là đường cao vừa là phân giác nên cân tại A

⇒ AK = AB = 12 cm

 ⇒ KC = AC – AK = 18 – 12 = 6 cm 

Mặt khác AH cũng là trung tuyến nên H là trung điểm BK, mà M là trung điểm BC

⇒ HM là đường trung bình của tam giác BCK.

⇒ HM = \(\frac{{KC}}{2} = \frac{6}{2} = 3\left( {cm} \right)\).

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: sin²α = 1 – (–1)² = 0

sinα = 0

tanα = \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 0\)

Không tồn tại cotα.

\(y = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x\)

\(y = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x\left( * \right)\)

Điều kiện để (*) có nghiệm là:

\({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} \ge {y^2}\)

⇔ \({y^2} \le 4 + 4\sqrt 3 + 3 + 1 = 8 + 4\sqrt 3 \)

⇔ \[ - \sqrt {8 + 4\sqrt 3 } \le y \le \sqrt {8 + 4\sqrt 3 } \]

⇔ \[ - 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } \le y \le 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } \]

Giá trị lớn nhất của y là M = \[2\sqrt {2 + \sqrt 3 } \]

Giá trị nhỏ nhất của y là M = \[ - 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } \].

Có 1 người làm xong công việc đó trong số ngày là:

5 . 4 = 20 (ngày)

Muốn làm xong công việc đó trong 4 ngày thì cần số người là:

20 : 4 = 5 (người)

Đáp số: 5 người.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M'\\{T_{\overrightarrow v }}\left( N \right) = N'\end{array} \right. \Rightarrow MN = M'N' = \sqrt {{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

4¹⁰⁰ = (2²)¹⁰⁰ = 2²⁰⁰

Ta có: 2²⁰⁰ < 2²⁰² nên: 4¹⁰⁰ < 2²⁰².

x⁴ + 3x² – 4 = 0

⇔ x⁴ + 4x² – (x² + 4) = 0

⇔ x²(x² + 4) – (x² + 4) = 0

⇔ (x² + 4)(x² – 1) = 0

⇔ x² – 1 = 0 (vì x² + 4 > 0)

⇔ x² = 1

⇔ x = ±1.

Vậy x = ±1.

Cho (O, 15 cm) có nghĩa là cho đường tròn tâm O, bán kính R = 15cm.

\(\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}} = \frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}\)

⇔ \[{\left( {\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}} \right)^2}\]

⇔ \[\frac{{1 + 2\cos B + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]

⇔ \[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} - 1 = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]

⇔ \[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}} + 1\]

⇔ \[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2} + 4{a^2} - {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]

⇔\[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{8{a^2} + 4ac}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]

⇔\[\frac{{2\left( {1 + \cos B} \right)}}{{\left( {1 + \cos B} \right)\left( {1 - \cos B} \right)}} = \frac{{4a\left( {2a + c} \right)}}{{\left( {2a + c} \right)\left( {2a - c} \right)}}\]

⇔ \[\frac{2}{{1 - \cos B}} = \frac{{4a}}{{2a - c}}\]

⇔ \[\frac{1}{{1 - \cos B}} = \frac{{2a}}{{2a - c}}\]

⇔ 1 – cosB = 1 – \(\frac{c}{{2a}}\)

⇔ cosB = \(\frac{c}{{2a}}\)

⇔ \[\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{c}{{2a}}\]

⇔ a² + c² – b² = c²

⇔ a² = b²

⇔ a = b

Vậy tam giác cân.

Đặt S(2n – 1) = 1² + 3² + 5² + … + (2n – 1)²

S(2n) = 2² + 4² + 6² + … + (2n)² = \(\frac{{4n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)

Suy ra: S(2n – 1) + S(2n) = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + (2n)² + (2n – 1)²

Ta có: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … n² = \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)

S(2n – 1) + S(2n) = \(\frac{{2n\left( {2n + 1} \right)\left( {4n + 1} \right)}}{6}\)

S(2n – 1) = \(\frac{{2n\left( {2n + 1} \right)\left( {4n + 1} \right)}}{6} - \frac{{4n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} = \frac{{n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\)

Vậy 1² + 3² + 5² + … + (2n – 1)² = \(\frac{{n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\).

3x + 17 = 29

⇔ 3x = 29 – 17 = 12

⇔ x = 12 : 3

⇔ x = 4.

Vậy x = 4.

9^{5n – 8} = 81

⇔ 9^{5n – 8} = 9²

⇔ 5n – 8 = 2

⇔ 5n = 10

⇔ n = 10 : 5

⇔ n = 2.

Vậy n = 2.

\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} \)

\( = \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {DF} } \right)\)

\( = \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FE} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \)

Lại có: \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {ED} \)

\( = \left( {\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} } \right) + \left( {\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DF} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \).

Ta chứng minh đẳng thức: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\](với a, b, c > 0)

Ta có: \[\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = 3 + \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) + \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right)\]

≥ \[3 + 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} + 2\sqrt {\frac{b}{c}.\frac{c}{b}} + 2\sqrt {\frac{a}{c}.\frac{c}{a}} \](Bất đẳng thức Cô–si)

= 3 + 2 + 2 + 2 = 9

Áp dụng ta có:

\[\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} \ge \frac{9}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca}} = \frac{9}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = 9\]

Dấu “=” khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\).

Gọi số cần tìm là \(\overline {abcde} \left( {a \ne 0} \right)\)

Để số đó chia hết cho 2 thì e chia hết cho 2

Suy ra: e = 0;2;4

+) Nếu e = 0

a có 5 cách chọn vì a khác 0

Do các chữ số không khác nhau nên b,c,d có 6 cách chọn

Vậy có: 5.6.6.6.1 = 1080 (số)

+) Nếu e = 2 hoặc e = 4

Tương tự: a có 5 cách chọn

Do các chữ số không khác nhau nên b,c,d có 6 cách chọn

Vậy có: 5.6.6.6.1 = 1080 (số)

Vậy có: 1080 + 1080 = 2160 (số).

Áp dụng công thức Hê– rông ta có:

\(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \frac{1}{2}\sqrt {\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \)

Suy ra: S² = p(p – a)(p – b)(p – c)

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta có:

\(\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right) \le {\left[ {\frac{{\left( {p - a} \right) + \left( {p - b} \right) + \left( {p - c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{{{p^3}}}{{27}}\)

Suy ra: \[{S^2} \le \frac{{{p^4}}}{{27}} \Rightarrow S \le \frac{{{p^2}}}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{12\sqrt 3 }}\]

Mà (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

≤ a² + b² + c² + (a² + b²) + (b² + c²) + (c² + a²)

= 3(a² + b² + c²)

Do đó: \[S \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{12\sqrt 3 }} \le \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{12\sqrt 3 }} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4\sqrt 3 }}\]

Vậy a² + b² + c² ≥ \(4\sqrt 3 S\)

 Dấu “=” khi a = b = c.

Ta thấy: A = 15 + 25 + x = 40 + x

Mà 40 chia hết cho 5 nên để A chia hết cho 5 thì x chia hết cho 5.

Suy ra: x = 5k (k ∈ ℕ)

Vậy x có dạng 5k (k ∈ ℕ).

Sau khi ăn hết một nửa số gạo, số gạo còn lại đủ ăn trong:

40 : 2 = 20 (ngày)

1 người ăn hết số gạo còn lại trong số ngày là:

120 . 20  = 2400 (ngày)

Tổng số người ăn số gạo còn lại trong 12 ngày là:

2400 : 12 = 200 (người)

Trường đó có thêm số học sinh là:

200 – 120 = 80 (người)

Đáp số : 80 người.

Ta thực hiện bài toán ngược tìm m để phương trình có nghiệm như sau:

mcosx – 2 = cosx +3m

⇔ cosx = \(\frac{{3m + 2}}{{m - 1}}\)

Mà – 1 ≤ cosx ≤ 1

Nên để phương trình có nghiệm thì: \[{\left( {\frac{{3m + 2}}{{m - 1}}} \right)^2} \le 1\]

⇔ \(\frac{{9{m^2} + 12m + 4 - \left( {{m^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} \le 0\)

⇔ 8m² + 14m + 3 ≤ 0

⇔ \(\frac{{ - 3}}{2} \le m \le \frac{{ - 1}}{4}\)

Vậy để phương trình vô nghiệm thì \(\left[ \begin{array}{l}m \le \frac{{ - 3}}{2}\\m \ge \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.\).

Ta có tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G(2; 1); \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 6; - 3} \right)\)

\({T_{\overrightarrow {BC} }}\left( G \right) = G'\left( {{x_G};{y_G}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {BC} \)

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = {x_{G'}} + {x_{\overrightarrow {BC} }} = 2 - 6 = - 4\\{y_G} = {y_{G'}} + {y_{\overrightarrow {BC} }} = 1 - 3 = - 2\end{array} \right.\]

Suy ra: G(–4; –2).

Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a (a > 0; m).

Cạnh hình vuông sau khi giảm đi 7 m là a – 7 (m).

Diện tích hình vuông ban đầu là: a . a.

Diện tích hình vuông sau khi giảm cạnh hình vuông đi 7 m là:

(a – 7) . (a – 7) = a . a – 84.

a . a – 7 . a – 7 . a + 7 . 7 = a . a – 84.

–14 . a + 49 = –84.

14 . a = 133.

a = 133 : 14.

a = 9,5 (m).

Đáp số: 9,5 m.

Xét hình thang cân ABCD, AB // CD. AC giao BD tại O.

Do đó AD = BC và AC = BD.

Xét tam giác ACD và BDC có

AC = BD

AD = BC

CD chung

Vậy tam giác ACD = tam giác BDC (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {CAD} = \widehat {DBC}\)

Mà 2 góc này đều chắn cung CD, suy ra A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD suy ra

+) EA = EB suy ra E thuộc đường trung trực của AB

+) EA = ED suy ra E thuộc đường trung trực của AD

Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp hình thang cân ABCD là giao của đường trung trực cạnh đáy và đường trung trực cạnh bên.

Giả sử n² – 14n – 256 là một số chính phương

Suy ra: n² – 14n – 256 = a² (a ∈ ℕ^*)

⇔ n² – 14n – 256 – a² = 0

⇔ n² – 7n – 7n + 49 – 305 – a² = 0

⇔ n(n – 7) – 7(n – 7) – 305 = a²

⇔ (n – 7)² – a² – 305 = 0

⇔ (n – 7 + a)(n – 7 – a) = 305

TH1:

n – 7 – a = 1; n – 7 + a = 305

⇒ n – a = 8; n + a = 312

⇒ 2n = 320

⇒ n = 160

TH2:

n−7−a = 5; n – 7 + a = 61

⇒ n – a = 12; n + 1 = 68

⇒ 2n = 80

⇒ n = 40.

Hàm số xác định với mọi x khi và chỉ khi 5sin4x – 6cos4x + 2m– 1 ≥ 0∀x

⇔ 5sin4x – 6cos4x ≥ 1 – 2m ∀x (*)

Ta có: Min(5sin4x – 6cos4x) = \( - \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = - \sqrt {61} \)

Do đó để (*) đúng với mọi x thì \( - \sqrt {61} \ge 1 - 2m\)

⇔ \[m \ge \frac{{\sqrt {61} + 1}}{2}\].

\(C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\)

\( = \frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!.\left[ {n - \left( {k - 1} \right)} \right]!}} + \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)

\( = \frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)

\( = \frac{{n!}}{{k!.\frac{1}{k}.\left( {n - k} \right)!.\left( {n - k + 1} \right)}} + \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)

\( = \frac{{n!.\frac{k}{{n - k + 1}}}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}} + \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)

\( = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}.\left( {\frac{k}{{n - k + 1}} + 1} \right)\)

\( = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}.\left( {\frac{{k + n - k + 1}}{{n - k + 1}}} \right)\)

\( = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}.\left( {\frac{{n + 1}}{{n - k + 1}}} \right)\)

\( = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!.\left( {n - k + 1} \right)!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!.\left[ {\left( {n + 1} \right) - k} \right]!}}\)

\( = C_{n + 1}^k\)

Vậy \(C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\).

 

Khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 số hạng

Khai triển (x + 1)²⁰²⁰ có: 2020 + 1 = 2021 số hạng.

\(8\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}}\)

⇔ \(8\sin x = \frac{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}{{\cos x.\sin x}}\)

Điều kiện: cosxsinx ≠ 0 hay sin2x ≠ 0

Suy ra: 4sinxsin2x = \(\sqrt 3 \sin x + \cos x\)

⇔ 2(cosx – cos3x) = \(\sqrt 3 \sin x + \cos x\)

⇔ \(\frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = \cos 3x\)

⇔ \(\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\cos x - \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\sin x = \cos 3x\)

⇔ \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} + 3x} \right) = \cos 3x\)

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{3} + 3x + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\3x = - x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

A = (1 – 3m)(9m² + 3m + l) – (6 – 26m³)

A = 9m² + 3m – 1 – 27m³ – 9m² – 3m – 6 + 26m³

A = –m³ – 5

Thay m = 5 ta có A = –5³ – 5 = –130.

(cosx – sinx)sinxcosx = cosx.cos2x

⇔ (cosx – sinx)sinxcosx – cosx.cos2x = 0

⇔ (cosx – sinx)sinxcosx – cosx.(cos2²

²x – sin²x) = 0

⇔ sinxcos²x – sin²xcosx – cos³x + sin²xcosx = 0

⇔ sinxcos²x – cos³x = 0

⇔ cos²x (sinx – cosx) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \cos x\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \cos x\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Một người có 3 cách chọn,

Nên không gian mẫu là: 3⁴ = 81

Cho 3 người đến quầy thứ nhất, số cách chọn ra 3 người này là \(C_4^3 = 4\)

Người còn lại đến quầy nào cũng được

Số cách chọn quầy của người này là \(C_2^1 = 2\)

Vậy xác suất để có 3 người cùng đến quầy 1 là:

\(\frac{{2.4}}{{81}} = \frac{8}{{81}}\).

x² – 2x + 1 = 9

⇔ (x – 1)² = 3²

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\x - 1 = - 3\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 2\end{array} \right.\).

cos2x + cosx = \(4{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) - 1\)

⇔ 2cos²x – 1 + cosx = \(2\left[ {2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) - 1} \right] + 1\)

⇔ 2cos²x – 1 + cosx = –2cosx + 1

⇔ 2cos²x + 3cosx – 2 = 0

⇔ (2cosx – 1)(cosx + 2) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\\cos x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có: x⁴ – 2mx² – x + m² – m = 0

⇔ m² – (2x² + 1)m + x⁴ – x = 0

Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn m có:

∆_m = (2x² + 1)² – 4(x⁴ – x) = 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)² > 0

Suy ra: f(x) = 0

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2{x^2} + 1 + 2x + 1}}{2} = {x^2} + x + 1\\m = \frac{{2{x^2} + 1 - 2x - 1}}{2} = {x^2} - x\end{array} \right.\]

Do đó: f(x) = (m – x² – x – 1)(m – x² + x).

Điều kiện: x > 0

\(\frac{{\sqrt x }}{x}:\frac{{ - 4}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{x}.\frac{{\sqrt x }}{{ - 4}} = \frac{x}{{ - 4x}} = \frac{{ - 1}}{4}\).

(2sinx – cosx)(1 + cosx) = sin²x

⇔ (2sinx – cosx)(1 + cosx) = 1 – cos²x

⇔ (2sinx – cosx)(1 + cosx) = (1– cosx)(1 + cosx)

⇔ (1 + cosx)(2sinx – 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + m2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l2\pi \end{array} \right.\left( {k,m,l \in \mathbb{Z}} \right)\).

Nghiệm dương nhỏ nhất là khi k, m, l = 0

Khi đó ta có nghiệm nhỏ nhất là x_min = \(\frac{\pi }{6}\).

\(\frac{{\cos A + \cos B}}{{a + b}} = \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)}}{{2abc}}\)

⇔ cosA + cosB = \(\frac{{\left( {a + b} \right)\left[ {\left( {c + \left( {b - a} \right)} \right)\left( {c - \left( {b - a} \right)} \right)} \right]}}{{2abc}}\)

⇔ \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{\left( {a + b} \right)\left[ {{c^2} - {{\left( {b - a} \right)}^2}} \right]}}{{2abc}}\)

⇔ ab² + ac² – a³ + c²b + a²b – b³ = (a + b)(c² + 2ab – b² – a²)

⇔ ab² + ac² – a³ + c²b + a²b – b³ = ac² + 2a²b – b²a – a³ + 2ab² – b³ – ba²

⇔ 0 = a²b – b²a + ab² – ba²

⇔ 0 = 0 (đúng)

Vậy \(\frac{{\cos A + \cos B}}{{a + b}} = \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)}}{{2abc}}\).

1 yến = 10kg

17 yến = 170 kg.

Vậy 17 yến = 170 kg.

\(\frac{{2x - 3}}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{5 - 3x}}{6} - \frac{1}{3}\)

⇔ \(\frac{{4x - 6 - 9}}{6} = \frac{{15 - 9x - 6}}{{18}}\)

⇔ 12x – 45 = 9 – 9x

⇔ 21x = 54

⇔ x = \(\frac{{54}}{{21}} = \frac{{17}}{7}\).

\(A = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + x\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\)

\[A = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {x + \sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\left( {\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\]

\[A = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)\]

\[A = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}.{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = \sqrt x - 1\].

(8 – 5x)(x + 2) + 4(x – 2)(x + 1) + 2(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ –5x² – 2x + 16 + 4(x² – x – 2) + 2(x² – 4) = 0

⇔ –5x² – 2x + 16 + 4x² – 4x – 8 + 2x² – 8 = 0

⇔ x² – 6x = 0

⇔ x(x – 6) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array} \right.\)

Vậy x = 0 hoặc x = 6.

B = (a – b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)

B = a(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴) – b(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)

B = a⁵ + a⁴b + a³b² + a²b³ + ab⁴ – a⁴b – a³b² – a²b² – a²b³ – ab⁴ – b⁵

B = a⁵ – b⁵

Vậy B = a⁵ – b⁵.

Số 0.5 và –0.5 không phải là số nguyên vì tập hợp số nguyên ℤ chỉ có số nguyên âm và dương: –1; –2; –3;..; 0; 1; 2; 3…

\({4.2^3}:\left[ {{2^7}.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right] = {4.2^3}:\frac{{{2^7}}}{{{3^2}}} = \frac{{{2^2}{{.2}^3}{{.3}^2}}}{{{2^7}}} = \frac{{{3^2}}}{{{2^2}}} = \frac{9}{4}\).

\(\sqrt 3 \cos x - \sin x = \sqrt 3 \)

⇔ \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

⇔ \[\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\cos x - \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

⇔ \[\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\]

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\]

⇔\[\left[ \begin{array}{l}x = 2\frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\]

sin A + sin B + sin C

= \[2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\]

= \[2\sin \frac{{\pi - C}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\cos \frac{{\pi - C}}{2}\cos \frac{C}{2}\]

= \[2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{C}{2}\]

= \[2\cos \frac{C}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{A + B}}{2}} \right)\]

= \[2\cos \frac{C}{2}\left( {2\cos \frac{{A - B + A + B}}{4}\cos \frac{{A - B - \left( {A + B} \right)}}{4}} \right)\]

= \[4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{{ - B}}{2}\]

= \(4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\).

3x⁴ + ax² + bx + c chia hết x − 2

3x⁴ + ax² + bx + c ⇒ 3x⁴ + ax² + bx + c 3x⁴ + ax² + bx + c = (x − 2) . q(x)

 3x⁴ + ax² + bx + c chia x² – 1 được thương v(x) dư −7x−1

3x⁴ + ax² + bx + c = (x² − 1).v(x) − 7x − 1

Cho x = 2

Suy ra: 48 + 4a + 2b + c = 0 (1)

Cho x = 1

⇒ 3 + a + b + c = −8

⇒ a + b + c = −11 (2)

Cho x = −1

⇒ 3 + a − b + c = 6

⇒ a – b + c = 3 (3)

(2) + (3) ⇒ a + c = −4 (4)

⇒ −4 – b = 3

⇒ b = −7

Từ (1) ⇒ 4a + c = −34 (5)

(4) − (5) ⇒ −3a = 30 ⇒ a = −10

⇒ c = 6

Vậy (a; b; c) = (−10; −7; 6).

(–63) – (–17) = –63 + 17 = –46.

Phủ định mệnh đề này là: “∃m ∈ ℝ, x² – 2x – m² = 0 vô nghiệm”.

1dm² = 10000mm²

Nên 3dm²2mm² = 30002mm² > 302mm²

Vậy 302mm² < 3dm²2mm².

1km² = 100hm² nên 32km² = 3200hm²

45m² = 45.0,0001 = 0,0045hm²

Suy ra: 32km²45m² > 3200hm².

a) A chia hết cho 2 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 2.

b) Ta tách ghép các số hạng của A thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 3. Khi đó:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2¹⁹ + 2²⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) +… + 2¹⁹(1 + 2)

A = 3.(2 + 2³ + … + 2¹⁹)

Từ đó A chia hết cho 3

c) Tương tự câu b ta có:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

A = (2 + 2³) + (2² + 2⁴) + ... + (2¹⁸ + 2²⁰)

A = 5.(2 + 2² + 2⁵ … + 2¹⁸)

Từ đó A chia hết cho 5.

(8x – 1)^{2x + 1} = 5^{2x + 1}

⇔ \({\left( {\frac{{8x - 1}}{5}} \right)^{2x - 1}} = 1\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\\frac{{8x - 1}}{5} = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = \frac{3}{4}\end{array} \right.\)

Ta thấy \(x = \frac{1}{2};x = \frac{3}{4}\) vào đầu bài ta thấy thỏa mãn

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right\}\).

36.4 – 4(82 – 7.11)² : 4 – 2016⁰

= 144 – 4(82 – 77)² : 4 – 1

= 144 – 4.5² : 4 – 1

= 144 – 4.25 : 4 – 1

= 144 – 100 : 4 – 1

= 144 – 25 – 1

= 118.

Gọi vận tốc của ô tô là (km/h); (a > 0)

Vận tốc của mô tô là b (km/h) ; (a > b > 0)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: \(\frac{{120}}{a}\) (giờ)

Thời gian mô tô đi hết quãng đường BA là: \(\frac{{120}}{b}\) (giờ)

Sau khi gặp nhau tại điểm C, ô tô chạy thêm 20 phút = \(\frac{1}{3}\)giờ, thì đến B, mô tô chạy thêm 3 giờ thì đến A.

Nên thời gian ô tô đến C là \(\frac{{120}}{a} - \frac{1}{3}\)thời gian , thời gian mô tô đến C là \(\frac{{120}}{{b - 3}}\)

Thời gian từ lúc hai xe xuất phát đến lúc gặp nhau là bằng nhau, và tổng quãng đường hai xe đi được đến lúc gặp nhau là 120km.

Suy ra vận tốc của ô tô là 90km/h, vận tốc của mô tô là 30km/h.

Không gian mẫu là: n(Ω) = 2¹⁰

Xem như hai người cùng đứng liền kề là một vị trí

Suy ra: Ta còn 9 vị trí

Số cách chọn ra bốn người đứng trong đó có hai người đứng liền kề là: \(C_9^3\)

Xác suất cần tìm là: \(\frac{{C_9^3}}{{{2^{10}}}} = \frac{{21}}{{256}}\).

Nghiệm kép là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

Phương trình có nghiệm kép khi Δ = 0.

a) Phát biểu “Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm” là một mệnh đề toán học.

b) Phát biểu “Mọi số tự nhiên đều là dương” là một mệnh đề toán học.

c) Phát biểu “Có sự sống ngoài Trái Đất” không là một mệnh đề toán học (vì không liên quan đến sự kiện Toán học nào).

d) Phát biểu “Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động” không là một mệnh đề toán học (vì không liên quan đến sự kiện Toán học nào).

a) Xét ΔAOE và ΔMOE có: 

AO = MO = R

AE = ME (gt)

OE chung

⇒ ΔAOE = ΔMOE (c.c.c)

⇒ \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO}\)

⇒ \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO} = 90^\circ \)

⇒ EF là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

b) EF và By cắt nhau tại F, theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(\widehat {MOF} = \widehat {BOF}\)

Mà \(\widehat {MOE} = \widehat {AOE}\) (ΔAOE = ΔMOE)

⇒ \(\widehat {MOE} + \widehat {MOF} = \widehat {AOE} + \widehat {BOF} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {EOF} = 90^\circ \) ⇒ ΔEOF là tam giác vuông (đpcm)

c) EF và Ax là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E

⇒ EA = EM mà OA = OM

⇒ OE là trung trực của AM ⇒ OE ⊥ AM (1)

ΔAMB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ΔAMB vuông tại M

⇒ MA ⊥ MB (2)

Từ (1), (2) suy ra OE // MB

⇒ \(\widehat {MOE} = \widehat {OMB}\)(so le trong)

Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {OMB}\)(ΔMOB cân tại O)

⇒ \(\widehat {ABM} = \widehat {MOE}\)

Lại có \(\widehat {AMB} = \widehat {EMO} = 90^\circ \)

⇒ ΔEMO đồng dạng với ΔAMB (g.g)

⇒ \(\frac{{EM}}{{OE}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) ⇒ EM.AB = AM.OE (3)

Chứng minh tương tự, ta có ΔFMO đồng dạng với ΔBMA (g.g)

⇒ \(\frac{{FM}}{{FO}} = \frac{{BM}}{{AB}}\) ⇒ FM.AB = BM.OF (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AM.OE + BM.OF = AB.(EM + FM) = AB.EF (đpcm).

a) Gọi x, y lần lượt là số lượng cốc đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca – lo và số đơn vị vitamin hấp thụ (điều kiện x, y ∈ ℕ).

Tổng số ca – lo mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 60x + 60y (ca – lo).

Tổng số đơn vị vitamin A mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 12x + 6y (đơn vị).

Tổng số đơn vị vitamin C mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 10x + 30y (đơn vị).

 Vì tối thiểu hằng ngày cần 300 ca – lo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C.

Nên ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}60x + 60y \ge 300\\12x + 6y \ge 36\\10x + 30y \ge 90\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 5\\2x + y \ge 6\\x + 3y \ge 9\end{array} \right.\)(I).

b) Số cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm của hệ (I).

+ Phương án 1: Chọn x = 1, y = 4, thay vào từng bất phương trình của hệ:

1 + 4 ≥ 5 là mệnh đề đúng;

2 . 1 + 4 ≥ 6 là mệnh đề đúng;

1 + 3. 4 ≥ 9 là mệnh đề đúng.

Vậy (1; 4) là nghiệm chung của các bất phương trình của hệ nên (1; 4) là nghiệm của hệ (I).

Do đó, bác Ngọc có thể chọn 1 cốc thứ nhất và 4 cốc thứ hai.

 + Phương án 2: Chọn x = 3, y = 4, thay vào từng bất phương trình của hệ:

3 + 4 ≥ 5 là mệnh đề đúng;

2 . 3 + 4 ≥ 6 là mệnh đề đúng;

3 + 3 . 4 ≥ 9 là mệnh đề đúng.

Vậy (3; 4) là nghiệm chung của các bất phương trình của hệ nên (3; 4) là nghiệm của hệ (I).

Do đó, bác Ngọc có thể chọn 3 cốc thứ nhất và 4 cốc thứ hai.

Ta có: 252 = 2².3².7

Số 252 có số ước là:

(2 + 1).(2 + 1).(1 + 1) = 18 (ước)

Ư(252) = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 9; 12; 14; 18; 21; 28; 36; 42; 63; 84; 126; 252}

Vậy số 252 có 18 ước.

Khi giảm giá lần thứ 1 thì đôi giày còn:

 100% – 40% = 60%( giá ban đầu)

Nếu giảm thêm 5% giá đã giảm nữa thì 684000 đồng ứng với:

60% : 100 . (100 – 5) = 57% (giá ban đầu)

Giá bán ban đầu của đôi giày là:

684000 : 57 . 100 = 1200000 (đồng)

Đáp số: 1200000 đồng.

Ta thấy rằng khi nhân với 11 thì ta được hai tổng riêng bằng nhau và bằng thừa số đầu tiên.

Lại có tổng của 2 tổng riêng là 680. Vậy mỗi tổng riêng là

680 : 2 = 340

Vậy thừa số đầu tiên là 340. Do đó tích đúng là

340 . 11 = 3740

Đáp số: 3740.

a) Ω = {1S,2S,3S,4S,5S,6S,1N,2N,3N,4N,5N,6N}

b) |Ω| = 12

Để xuất hiện mặt 4 chấm thì có 1 cách để bạn thứ nhất gieo súc sắc.

Bạn thứ hai gieo tuỳ ý nên có 2 cách.

\(P\left( A \right) = \frac{{1.2}}{{12}} = \frac{1}{6}\).