299 Bài trắc nghiệm hàm số mũ, hàm số Logarit siêu hay có lời giải chi tiết (P4)

Chọn A

$$\begin{gathered} Đặt {\log }_{2}x=t. Do 0<x<1 nên t<0 \\ Bài toán trở thành tìm các giá trị t để PT t^2+t+m=0 (*) có nghiệm với mọi t<0 \\ (*)\iff t^2+t=-m \\ Đặt f\left(t\right)= t^2+t={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4} \\ Dễ thấy \underset{(-\infty ;0)}{min f\left(t\right)}=\frac{-1}{4}khi t=\frac{-1}{2} \\ Vậy PT có nghiệm khi -m\ge \frac{-1}{4}\iff m\le \frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 4^x-m.2^{x+1}+5-m=0 \\ \iff {\left(2^x\right)}^2-2m.2^x+5-m=0 (*) \\ Đặt 2^x=t(t>0). PT trở thành: t^2-2mt+5-m=0 \left(1\right) \\ Để PT(*) có 2 nghiệm phân biệt thì PT\left(1\right) phải có 2 nghiệm phân biệt dương \\ \iff \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}>0\\ 2m>0\\ 5-m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+m-5>0\\ m>0\\ m<5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ;\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\right)\cup \left(\frac{-1+\sqrt{21}}{2};+\infty \right)\\ 0<m<5\end{array}\right. \\ \iff \frac{-1+\sqrt{21}}{2}<m<5 \\ Do m\in \mathrm{\mathbb{Z}} nên m=\{2;3;4\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 4^x-(m+2018).2^x+2019+3m=0 \\ \iff {\left(2^x\right)}^2-(m+2018).2^x+2019+3m=0 \\ Đặt 2^x=t (t>0). PT trở thành t^2-(m+2018)t+2019+3m=0 \\ ĐK để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \\ \iff \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ m+2018>0\\ 3m+2019>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{(m+2018)}^2-4(3m+2019)>0\\ m>-2018\\ m>\frac{-2019}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+4024m+4064248>0 (luôn đúng)\\ m>\frac{-2019}{3}\end{array}\right. \\ Khi đó \left\{\begin{array}{l}{2}^{x_1}=t_1\\ 2^{x_2}=t_2\end{array}\right. \\ Theo đề bài x_1{x}_2<0\Rightarrow 0<t_1<1<t_2\Rightarrow (t_1-1)(t_2-1)<0 \\ \iff t_1{t}_2+1-(t_1+t_2)<0 \\ Áp dụng Vi-ét ta có: 3m+2019+1-(m+2018)<0 \\ \iff 2m<-2\iff m<-1 \\ Kết hợp ĐK ta có \frac{-2019}{3}<m<-1 \\ Vậy có 671 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán \end{gathered}$$Chọn B

Chọn A

$$\begin{gathered} 4^x-(m+3).2^{x+1}+m+9=0 \\ \iff {\left(2^x\right)}^2-2(m+3).2^x+m+9=0 (*) \\ Đặt 2^x=t (t>0). PT trở thành t^2-2(m+3)t+m+9=0 \left(1\right) \\ PT(*) có 2 nghiệm phân biệt khi PT\left(1\right) có 2 nghiệm dương phân biệt \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{(m+3)}^2-m-9>0\\ 2(m+3)>0\\ m+9>0\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+5m>0\\ m>-3\\ m>-9\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ;-5\right)\cup \left(0;+\infty \right)\\ m>-3\end{array}\right.\right. \\ \iff m>0 \\ Theo đề bài x_1{x}_2>0 \iff 1<t_1<t_2 \\ \iff (t_1-1)(t_2-1)>0\iff t_1{t}_2-(t_1+t_2)+1>0 \\ áp dụng Vi-ét ta có: m+9-2(m+3)+1>0 \\ \iff -m+4>0\iff m<4 \\ Kết hợp ĐK ta được 0<m<4 \\ KL: có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán \end{gathered}$$

Chọn D

Chọn A

$$\begin{gathered} Đặt 2^x=t (t>0)\iff x={\log }_{2}t. PT trở thành t^2-4t+m-2=0 \\ PT có 2 nghiệm phân biệt \iff \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4-m+2>0\\ 4>0\\ m-2>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}m<6\\ m>2\end{array}\iff 2<m<6\right.\right. \\ Theo ĐB 0\le x_1<x_2\Rightarrow 1\le t_1<t_2\iff (t_1-1)(t_2-1)\ge 0 \\ \iff t_1{t}_2+1-(t_1+t_2)\ge 0. Áp dụng Vi-ét ta có: \\ m-2+1-4\ge 0\iff m\ge 5 \\ Kết hợp ta được 5\le m<6 \\ Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của m là m=5 TM bài toán \end{gathered}$$

Chọn D

Chọn A

Chọn C

$$\begin{gathered} Xét PT: \sqrt{m+{\log }_{2}x}={\log }_{2}x-1 \left(1\right) \\ \iff {\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+1-m=0 \\ PT có nghiệm \iff ∆\ge 0 \iff 9-4(1-m)\ge 0 \\ \iff 5+4m\ge 0\iff m\ge \frac{-5}{4} \\ Xét PT \sqrt{m+{\log }_{2}x}=-{\log }_{2}x \left(2\right) \\ \iff l{\mathrm{og}}_2^{2}x-{\log }_{2}x-m=0 \\ PT có nghiệm \iff ∆\ge 0 \\ \iff 1+4m\ge 0\iff m\ge \frac{-1}{4} \\ Để Pt(*) có nghiệm thì ít nhất một trong 2 PT\left(1\right) hoặc \left(2\right) phải có nghiệm \\ Từ đề bài ta suy ra \frac{-5}{4}\le m\le 2019 \\ Vậy có \frac{2019+1}{1}+1=2021 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán \end{gathered}$$

Chọn A

$$\begin{gathered} {16}^x-2(m+1).4^x+3m-8=0 \\ \iff {\left(4^x\right)}^2-2(m+1).4^x+3m-8=0 (*) \\ Đặt 4^x=t(t>0) PT(*) trở thành t^2-2(m+1)t+3m-8=0 \left(1\right) \\ PT(*) có 2 nghiệm phân biệt khi PT\left(1\right) có 2 nghiệm phân biệt dương \\ \iff \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{(m+1)}^2-3m+8>0\\ 2(m+1)>0\\ 3m-8>0\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-m+9>0 ( luôn đúng)\\ m>-1\\ m>\frac{8}{3}\end{array}\iff m>\frac{8}{3}\right. \\ Khi đó \left\{\begin{array}{l}{4}^{x_1}=t_1\\ 4^{x_2}=t_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1={\log }_4{t}_1\\ x_2={\log }_4{t}_2\end{array}\right. \\ Theo ĐB: x_1{x}_2<0 \Rightarrow 0<t_1<1<t_2 \\ \Rightarrow (t_1-1)(t_2-1)<0\iff t_1{t}_2+1-(t_1+t_2)<0 \\ Áp dụng Vi-ét ta được: 3m-8+1-2(m+1)<0 \\ \iff m<9 \\ Kết hợp ĐK ta có \frac{8}{3}<m<9 \Rightarrow m\in \{3;4;5;6;7;8\} \\ Vậy có 6 giá trị nguyên của m \end{gathered}$$

Chọn B

Chọn A

$$\begin{gathered} 9^x-m.3^x+2m-5=0 \iff {\left(3^x\right)}^2-m.3^x+2m-5=0 (*) \\ Đặt 3^x=t (t>0) PT(*) trở thành: t^2-mt+2m-5=0 \left(1\right) \\ PT(*) có 2 nghiệm phân biệt\iff PT\left(1\right) có 2 nghiệm phân biệt dương \\ \iff \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-4(2m-5)>0\\ m>0\\ 2m-5>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-8m+20>0 (luôn đúng)\\ m>0\\ m>\frac{5}{2}\end{array}\right. \\ \iff m>\frac{5}{2} \\ Khi đó \left\{\begin{array}{l}{3}^{x_1}=t_1\\ 3^{x_2}=t_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1={\log }_3{t}_1\\ x_2={\log }_3{t}_2\end{array}\right. \\ \mathrm{Theo} \mathrm{đề} \mathrm{bài}: {\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2<0\Rightarrow 0<{\mathrm{t}}_1<1<{\mathrm{t}}_2 \\ \iff ({\mathrm{t}}_1-1)({\mathrm{t}}_2-1)<0\iff {\mathrm{t}}_1{\mathrm{t}}_2-({\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2)+1<0 \\ \mathrm{Theo} \mathrm{Vi}-\mathrm{ét}\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=\mathrm{m}\\ {\mathrm{t}}_1{\mathrm{t}}_2=2\mathrm{m}-5\end{array}\right. \\ \Rightarrow 2\mathrm{m}-5-\mathrm{m}+1<0\iff \mathrm{m}<4 \\ \mathrm{Kết} \mathrm{hợp} \mathrm{ĐK} \mathrm{ta} \mathrm{có} \frac{5}{2}<\mathrm{m}<4 \end{gathered}$$

Chọn A

Chọn B

$$\begin{gathered} {16}^x-m.4^{x-1}+5m^2-44=0 \iff {\left(4^x\right)}^2-\frac{m}{4}.4^x+5m^2-44=0 (*) \\ Đặt 4^x=t (t>0) PT(*)\hspace{0.17em}trở thành t^2-\frac{m}{4}t+5m^2-44=0 \\ \iff 4t^2-mt+4(5m^2-44)=0 \left(1\right) \\ P\mathrm{T}(*) \mathrm{có} 2 \mathrm{nghiệm} \mathrm{phân} \mathrm{biệt}\iff \mathrm{PT}\left(1\right) \mathrm{có} 2 \mathrm{nghiệm} \mathrm{dương} \mathrm{phân} \mathrm{biệt} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ \mathrm{S}>0\\ \mathrm{P}>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{m}}^2-64(5{\mathrm{m}}^2-44)>0\\ \frac{\mathrm{m}}{4}>0\\ 5{\mathrm{m}}^2-44>0\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-319{\mathrm{m}}^2+2816>0\\ \mathrm{m}>0\\ {\mathrm{m}}^2>\frac{44}{5}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-16}{\sqrt{29}}<\mathrm{m}<\frac{16}{\sqrt{29}}\\ \mathrm{m}>0\\ \mathrm{m}\in \left(-\infty ;\frac{-2\sqrt{55}}{5}\right)\cup \left(\frac{2\sqrt{55}}{5};+\infty \right)\end{array}\right.\right. \\ \iff \frac{2\sqrt{55}}{5}<\mathrm{m}<\frac{16}{\sqrt{29}} \left(2,966<\mathrm{m}<2,971\right) \\ \mathrm{Khi} \mathrm{đó} \left\{\begin{array}{l}{4}^{{\mathrm{x}}_1}={\mathrm{t}}_1\\ 4^{{\mathrm{x}}_2}={\mathrm{t}}_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1={\log }_4{\mathrm{t}}_1\\ {\mathrm{x}}_2={\log }_4{\mathrm{t}}_2\end{array}\right. \\ \mathrm{PT} \mathrm{có} 2 \mathrm{nghiệm} \mathrm{đối} \mathrm{nhau}\iff {\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=0 \\ \iff {\log }_4{\mathrm{t}}_1+ {\log }_4{\mathrm{t}}_2=0\iff {\log }_4\left({\mathrm{t}}_1{\mathrm{t}}_2\right)=0 \\ \iff {\log }_4(5{\mathrm{m}}^2-44)=0\iff 5{\mathrm{m}}^2-44=1 \\ \iff {\mathrm{m}}^2=9\iff \mathrm{m}=\pm 3 \left(\mathrm{L}\right) \\ \mathrm{KL}: \mathrm{Không} \mathrm{có} \mathrm{giá} \mathrm{trị} \mathrm{nào} \mathrm{của} \mathrm{m} \mathrm{TM} \mathrm{bài} \mathrm{toán} \end{gathered}$$

Chọn C

$$\begin{gathered} 9^{\mathrm{x}}-8.3^{\mathrm{x}}+\mathrm{m}-4=0 \iff {\left(3^{\mathrm{x}}\right)}^2-8.3^{\mathrm{x}}+\mathrm{m}-4=0(*) \\ \mathrm{Đặt} 3^{\mathrm{x}}=\mathrm{t} (\mathrm{t}>0) \mathrm{PT}(*) \mathrm{trở} \mathrm{thành} {\mathrm{t}}^2-8\mathrm{t}+\mathrm{m}-4=0\left(1\right) \\ \mathrm{PT}(*) \mathrm{có} 2 \mathrm{nghiệm} \mathrm{phân} \mathrm{biệt} \mathrm{khi} \mathrm{PT}\left(1\right) \mathrm{có} 2 \mathrm{nghiệm} \mathrm{phân} \mathrm{biệt} \mathrm{dương} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}>0\\ \mathrm{S}>0\\ \mathrm{P}>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}16-\mathrm{m}+4>0\\ 8>0\\ \mathrm{m}-4>0\end{array}\right.\right.\iff 4<\mathrm{m}<20 \\ \mathrm{Vậy} \mathrm{có} 15 \mathrm{giá} \mathrm{trị} \mathrm{nguyên} \mathrm{của} \mathrm{m} \mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \mathrm{bài} \mathrm{toán} \end{gathered}$$

Chọn D

Chọn C

Chọn D

Chọn B

Chọn B

Chọn B

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} {\left(1+\sqrt{2}\right)}^{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\Rightarrow {\left(\sqrt{2}-1\right)}^{\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{t}} \\ \Rightarrow \mathrm{t}+(1-2\mathrm{a})\frac{1}{\mathrm{t}}-4=0\iff {\mathrm{t}}^2-4\mathrm{t}+1-2\mathrm{a}=0 \left(1\right) \\ \mathrm{PT}(*) \mathrm{có} 2 \mathrm{nghiệm} \mathrm{phân} \mathrm{biệt} \mathrm{khi} \mathrm{PT}\left(1\right) \mathrm{có} 2 \mathrm{nghiệm} \mathrm{phân} \mathrm{biệt} \mathrm{dương} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}>0\\ \mathrm{S}>0\\ \mathrm{P}>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}4+2\mathrm{a}-1>0\\ 4>0 (\mathrm{luôn} \mathrm{đúng})\\ 1-2\mathrm{a}>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}>\frac{-3}{2}\\ \mathrm{a}<\frac{1}{2}\end{array}\right.\right.\right. \\ \iff \frac{-3}{2}<\mathrm{a}<\frac{1}{2} \\ \mathrm{khi} \mathrm{đó}\left\{\begin{array}{l}{\left(1+\sqrt{2}\right)}^{{\mathrm{x}}_1}={\mathrm{t}}_1\\ {\left(1+\sqrt{2}\right)}^{{\mathrm{x}}_2}={\mathrm{t}}_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1={\log }_{1+\sqrt{2}} {\mathrm{t}}_1\\ {\mathrm{x}}_2={\log }_{1+\sqrt{2}} {\mathrm{t}}_2\end{array}\right. \\ \mathrm{Theo} \mathrm{ĐB}: {\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2={\log }_{1+\sqrt{2}}3 \\ \iff {\log }_{1+\sqrt{2}} {\mathrm{t}}_1-{\log }_{1+\sqrt{2}} {\mathrm{t}}_2={\log }_{1+\sqrt{2}}3 \\ \iff \frac{{\mathrm{t}}_1}{{\mathrm{t}}_2}=3\iff {\mathrm{t}}_1=3{\mathrm{t}}_2 \\ \mathrm{Theo} \mathrm{Vi}-\mathrm{ét}: \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=4 \\ {\mathrm{t}}_1{\mathrm{t}}_2=1-2\mathrm{a}\end{array}\right.. \mathrm{Thay} {\mathrm{t}}_1=3{\mathrm{t}}_2 \mathrm{ta} \mathrm{tìm} \mathrm{được}\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{t}}_1=3\\ {\mathrm{t}}_2=1\end{array}\right. \\ \Rightarrow 1-2\mathrm{a}=3\iff \mathrm{a}=-1\in \left(\frac{-3}{2};0\right)\left(TMĐK\right) \end{gathered}$$

Chọn D

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} 3^{\mathrm{x}}=\mathrm{t}. \mathrm{PT}(*)\hspace{0.17em}\mathrm{trở} \mathrm{thành} {\mathrm{t}}^2-2(\mathrm{m}+2)\mathrm{t}+3\mathrm{m}-2=0 \left(1\right) \\ \mathrm{PT} (*) \mathrm{có} 2 \mathrm{nghiệm} \mathrm{phân} \mathrm{biệt} \mathrm{khi} \mathrm{PT}\left(1\right) \mathrm{có} 2 \mathrm{nghiệm} \mathrm{dương} \mathrm{phân} \mathrm{biệt} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}>0\\ \mathrm{S}>0\\ \mathrm{P}>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{(\mathrm{m}+2)}^2+2-3\mathrm{m}>0\\ 2(\mathrm{m}+2)>0\\ 3\mathrm{m}-2>0\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{m}}^2+\mathrm{m}+6>0 (\mathrm{luôn} \mathrm{đúng})\\ \mathrm{m}>-2\\ \mathrm{m}>\frac{2}{3}\end{array}\iff \mathrm{m}>\frac{2}{3}\right. \\ \mathrm{Khi} \mathrm{đó}\left\{\begin{array}{l}{3}^{{\mathrm{x}}_1}={\mathrm{t}}_1\\ 3^{{\mathrm{x}}_2}={\mathrm{t}}_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1={\log }_3{\mathrm{t}}_1\\ {\mathrm{x}}_2={\log }_3{\mathrm{t}}_2\end{array}\right. \\ \mathrm{Từ} \mathrm{ĐB} \Rightarrow {\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2<0\Rightarrow 0<{\mathrm{t}}_1<1<{\mathrm{t}}_2\iff ({\mathrm{t}}_1-1)({\mathrm{t}}_2-1)<0 \\ \iff {\mathrm{t}}_1{\mathrm{t}}_2-({\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2)+1<0. \mathrm{Theo} \mathrm{Vi}-\mathrm{ét} \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=2(\mathrm{m}+2)\\ {\mathrm{t}}_1{\mathrm{t}}_2=3\mathrm{m}-2\end{array}\right. \\ \Rightarrow 3\mathrm{m}-2-2(\mathrm{m}+2)+1<0\iff \mathrm{m}-5<0\iff \mathrm{m}<5 \\ \mathrm{mà} \mathrm{m}\in \left[0;2019\right]\Rightarrow 0\le \mathrm{m}<5 \\ \mathrm{Vậy} \mathrm{có} 5 \mathrm{giá} \mathrm{trị} \mathrm{nguyên} \mathrm{của} \mathrm{m} \mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \mathrm{bài} \mathrm{toán} \end{gathered}$$