255 Bài trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản nâng cao cực hay có lời giải (P2)

Đáp án C

$$\begin{gathered} y=x.e^{2x} \\ y\text{'}=e^{2x}+2x.e^{2x}=e^{2x}(1+2x) \\ y\text{'}=0\iff x=\frac{-1}{2} do e^{2x}>0 \\ Ta thấy y\text{'}>0 \iff x>\frac{-1}{2} và y\text{'}<0\iff x<\frac{-1}{2} \end{gathered}$$

Trong 4 đáp án ta thấy C đúng vì khoảng $\left(-\infty ;-1\right) nằm trong khoảng \left(-\infty ;\frac{-1}{2}\right)$

Đáp án C

$$\begin{gathered} {\log }_5\left(\frac{\sqrt{a}{b}^2}{c^3}\right)={\log }_5\left(\sqrt{a}{b}^2\right)-{\log }_5{c}^3 \\ =\frac{1}{2}{\log }_{5}a+2{\log }_{5}b-3{\log }_{5}c \\ =\frac{1}{2}{\log }_{5}a+\frac{1}{2}.4{\log }_{5}b-3{\log }_{5}c \\ =\frac{1}{2}{\log }_{5}a+\frac{1}{2}{\log }_5{b}^4-3{\log }_{5}c \\ =\frac{1}{2}{\log }_5\left(a{b}^4\right)-3{\log }_{5}c \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} Đặt 3^x=t (t>0) \\ BPT trở thành t^2-(m+2)t+2m<0 \\ \iff (t-2)(t-m)<0 \left(1\right) \\ TH1: m<2 thì nghiệm của \left(1\right) là m<t<2 \\ Kết hợp ĐK t>0 \Rightarrow 0<m<t<2 \\ TH2: m>2 thì nghiệm của \left(1\right) là 2<t<m \left(TMĐK\right) \\ KL: BPT có nghiệm khi m\ne 2 \end{gathered}$$

Đáp án B

xét đáp án A:

$c^a>c^b\iff \left\{\begin{array}{l}c>1\\ a>b>0\end{array}\right.$ nên A sai

Xét đáp án B:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2017}<c<b<a<\frac{1}{2016}\iff 0<c<b<a<1 \\ Với 0<b<a<1 thì a^c>b^c \end{gathered}$$ nên B đúng

Xét đáp án C và D:

$$\begin{gathered} a>1>b>c>{\log }_2\left(\frac{2016}{2017}\right)\Rightarrow a>1>b>c>-0,00071 \\ \Rightarrow a^c>b^c\iff \left\{\begin{array}{l}c>0\\ a>1 và 0<b<1\end{array} \right. \end{gathered}$$ suy ra C và D sai

Đáp án C

$$\begin{gathered} P=\ln \left(cot{1}^o\right)+\ln \left(cot{2}^o\right)+...+\ln \left(cot{89}^o\right) \\ P=\ln (cot{1}^{o}cot{2}^o...cot{89}^o)=\ln [\left(cot{1}^{o}cot{89}^o\right)....cot{45}^o] \\ P=\ln 1=0 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} {\left(0,25\right)}^x=8^y \\ \iff {\left(\frac{1}{4}\right)}^x=2^{3y} \\ \iff 2^{-2x}=2^{3y}\iff -2x=3y \\ \iff 2x+3y=0 \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} {\log }_4\left({\mathrm{ab}}^2\right)={\log }_4\mathrm{a}+2{\log }_4\mathrm{b} \\ =\frac{1}{2}{\log }_2\mathrm{a}+{\log }_2\mathrm{b} \\ ={\log }_2\sqrt{\mathrm{a}}+{\log }_2\mathrm{b}={\log }_2\left(\mathrm{b}\sqrt{\mathrm{a}}\right) \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án B

$$\begin{gathered} {\log }_3(1-2x)<{\log }_{\frac{1}{3}}(1-3x) (*) \\ ĐK\left\{\begin{array}{l}x<\frac{1}{2}\\ x<\frac{1}{3}\end{array}\iff x<\frac{1}{3}\right. \\ (*)\iff {\log }_3(1-2x)<-{\log }_3(1-3x) \\ \iff {\log }_3(1-2x)+{\log }_3(1-3x)<0 \\ \iff (1-2x)(1-3x)<1 \\ \iff 1+6x^2-5x<1 \\ \iff 6x^2-5x<0 \\ \iff 0<x<\frac{5}{6} \\ Kết hợp ĐK ta có: 0<x<\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=(2-2x){\left(2+\sqrt{3}\right)}^{2x-x^2}\ln \left(2+\sqrt{3}\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=1 \\ Ta thấy f\text{'}\left(x\right)>0 \iff x<1 do {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{2x-x^2}\ln \left(2+\sqrt{3}\right)>0 với \forall x\ne 1 \\ mà \left(\frac{1}{10};\frac{1}{9}\right)\subset \left(-\infty ;1\right) \\ \Rightarrow f\left(x\right) đồng biến trên khoảng \left(\frac{1}{10};\frac{1}{9}\right) \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^3\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3x^2 \\ \Rightarrow f\text{'}\left(1\right)=3 \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} {\log }_2(1-x)=a (*) \\ ĐK: x<1 \\ (*)\iff 1-x=2^a \\ \iff x=1-2^a \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} 2^x+4^y=1 \iff 4^y=1-2^x \\ Đặt 2^x=t (t>0) \Rightarrow 4^y=1-t \\ ĐK: 1-t>0\iff t<1 \\ \Rightarrow T=t{(1-t)}^2=t(1-2t+t^2)=t^3-2t^2+t với 0<t<1 \\ T\text{'}=3t^2-4t+1 \\ T\text{'}=0\iff 3t^2-4t+1=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}t=1 \left(L\right)\\ t=\frac{1}{3}\left(TM\right)\end{array}\right. \\ f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{27}, f\left(0\right)=0, f\left(1\right)=0 \\ \Rightarrow \underset{t\in \left(0;1\right)}{maxT}=\frac{4}{27}\iff t=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Đáp án D

Xét đáp án A:

$$\begin{gathered} 2^x\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^x\iff 2^x\ge 2^{-x} \\ \iff x\ge -x\iff x\ge 0 ( không phải với\forall x\in \mathrm{ℝ}) \end{gathered}$$

Xét đáp án B:

$$\begin{gathered} 3^{12x-5}+3^{5-12x}>2 \\ \iff 3^{12x-5}+3^{-(12x-5)}-2>0 \\ Xét f\left(t\right)=3^t+3^{-t}-2 \\ f\text{'}\left(t\right)=3^t\ln 3-3^{-t}\ln 3 \ge 0 với \forall t\ge 0 \\ Ta có f\left(0\right)=0 \\ \Rightarrow f\left(t\right)>0\iff t>0 \\ hay 3^{12x-5}+3^{-(12x-5)}-2>0 khi 12x-5>0\iff x>\frac{5}{12} \end{gathered}$$

Xét đáp án C:

$$\begin{gathered} 3^{x^2+1}>9^x \\ \iff x^2+1>2x \\ \iff x^2-2x+1>0 \\ \iff {(x-1)}^2>0 khi x\ne 1 \end{gathered}$$

Xét đáp án D: 

$$\begin{gathered} 2^x+5^x>2^{2x} \\ \iff {\left(\frac{5}{2}\right)}^x-2^x+1>0 \\ Đặt f\left(x\right)={\left(\frac{5}{2}\right)}^x-2^x+1 \\ f\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{5}{2}\right)}^x\ln \left(\frac{5}{2}\right)-2^x\ln 2>0 với \forall x\in \mathrm{ℝ} \\ \Rightarrow f\left(x\right)>0\forall x\in \mathrm{ℝ} \end{gathered}$$

Đáp án B

Đáp án A

Đáp án D

$$\begin{gathered} ĐK:\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ 3x-2>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x>\frac{2}{3}\end{array}\iff x>\frac{2}{3}\right.\right. \\ {\log }_{2-\sqrt{3}}(2x-1)<{\log }_{2-\sqrt{3}}(3x-2) \\ \iff 2x-1<3x-2 \\ \iff x>1 \left(TMĐK\right) \end{gathered}$$

Đáp án D

Đáp án B

$T={\log }_{\frac{1}{a^3}}b=-\frac{1}{3}{\log }_{a}b={\log }_{a^3}\left(\frac{1}{b}\right)$

Đáp án D

$$\begin{gathered} 2^{\left|x\right|+\left|x-1\right|}=2 \\ \iff \left|x\right|+\left|x-1\right|=1 \\ TH1: x\ge 1 \\ \Rightarrow x+x-1=1\iff x=1\left(TM\right) \\ TH2: x\le 0 \\ \Rightarrow -x-x+1=1\iff x=0 \left(TM\right) \\ TH3: 0<x<1 \\ \Rightarrow x+1-x=1\iff 0=0 (luôn đúng) \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} Đặt 3^{\sin x}=t \iff \sin x={\log }_{3}t \\ \Rightarrow ĐK: -1<{\log }_{3}t<1\iff \frac{1}{3}<t<3 \\ PT (*) trở thành t^2-(m+4)t+4m=0 \left(1\right) \\ \iff (t-m)(t-4)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}t=m\\ t=4 \left(L\right)\end{array}\right. \\ Để PT (*)\hspace{0.17em}có nghiệm thì PT \left(1\right) phải có nghiệm TM \frac{1}{3}<t<3 \\ \Rightarrow \frac{1}{3}<m<3 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\log }_x(x+2)=\frac{\ln (x+2)}{\ln x} \\ \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x+2}}\ln x-\ln (x+2).{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\left(\ln x\right)}^2}=\frac{x.\ln x-(x+2)\ln (x+2)}{x(x+2){\left(\ln x\right)}^2} \\ \Rightarrow f\text{'}\left(2\right)=\frac{2\ln 2-4\ln 4}{8{\left(\ln 2\right)}^2}=\frac{-6\ln 2}{8{\left(\ln 2\right)}^2}=\frac{-3}{4\ln 2} \end{gathered}$$

Đáp án D

Từ đồ thị ta biết đây là ĐTHS dạng $y=a^x$ $\Rightarrow$Loại A và B

Từ ĐTHS ta biết hàm này là nghịch biến $\Rightarrow 0<a<1$ $\Rightarrow loại C$

Đáp án C

Đáp án B

$$\begin{gathered} u\text{'}=2f\text{'}\left(x\right).2^{2f\left(x\right)}.\ln 2 \\ u\text{'}\left(1\right)=2f\text{'}\left(1\right).2^{2f\left(1\right)}.\ln 2=2.4.2^{2.0}.\ln 2 \\ =8\ln 2=4\ln 4 \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=2^{2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2} \\ \mathrm{y}\text{'}=\left(2-2\mathrm{x}\right)2^{2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}\ln 2 \\ \mathrm{y}\text{'}=0\iff \mathrm{x}=1 \\ \Rightarrow \mathrm{y}\left(1\right)=2 \mathrm{là} {\mathrm{y}}_{\max } \\ \mathrm{Mặt} \mathrm{khác} 2^{2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}>0 \mathrm{với} \forall \mathrm{x}\in \mathrm{ℝ} \\ \Rightarrow \mathrm{TGT} \mathrm{của} \mathrm{hàm} \mathrm{số} \mathrm{là} (0;2] \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} Đặt 3^{\left|x\right|}=t\iff \left|x\right|={\log }_{3}t \\ \Rightarrow ĐK: {\log }_{3}t\ge 0\iff t\ge 1 \\ PT 2.9^{\left|x\right|}-(2m+1).3^{\left|x\right|}+m=0 (*) trở thành \\ 2t^2-(2m+1)t+m=0 \left(1\right) \\ \iff (2t-1)(t-m)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\left(L\right)\\ t=m\end{array}\right. \\ Để PT(*) có nghiệm thì PT\left(1\right) phải có nghiệm TM t\ge 1 \\ \Rightarrow m\ge 1 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} y={\log }_{x+1}x=\frac{\ln x}{\ln (x+1)} \\ y\text{'}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\ln (x+1)-\ln x.{\displaystyle \frac{1}{x+1}}}{{\left[\ln \right(x+1\left)\right]}^2}=\frac{(x+1)\ln (x+1)-x\ln x}{x(x+1){\left[\ln \right(x+1\left)\right]}^2} \\ \Rightarrow y\text{'}\left(1\right)=\frac{2\ln 2}{2{\left(\ln 2\right)}^2}=\frac{1}{\ln 2} \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} ĐK: x\ne 0 \\ {\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{x}}>3\iff \frac{-1}{x}>1 \\ \iff \frac{x+1}{x}<0\iff -1<x<0 \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án C

$$\begin{gathered} y={\log }_{\sqrt{2}-1}(4x-x^2) \\ ĐK: 4x-x^2>0\iff 0<x<4 \\ y\text{'}=\frac{4-2x}{(4x-x^2)\ln \left(\sqrt{2}-1\right)} \\ y\text{'}=0\iff x=2 \end{gathered}$$

BBT:

KL: Hàm số đồng biến trên khoảng (2;4) và nghịch biến trên khoảng (0;2)

Đáp án A

$$\begin{gathered} S={\log }_2\left(\tan 1^o\right)+{\log }_2\left(\tan 2^o\right)+..+{\log }_2\left(\tan {89}^o\right) \\ S={\log }_2[\left(\tan 1^o\tan {89}^o\right)....\tan {45}^o] \\ S={\log }_{2}1=0 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} T={\log }_{15}6=\frac{{\log }_{2}6}{{\log }_{2}15}=\frac{{\log }_2(2.3)}{{\log }_2(3.5)} \\ =\frac{1+{\log }_{2}3}{{\log }_{2}3+{\log }_{2}5} \\ Ta có {\log }_{5}6=b\iff {\log }_{5}2+{\log }_{5}3=b \\ \iff \frac{1}{{\log }_{2}5}+\frac{{\log }_{2}3}{{\log }_{2}5}=b \\ \iff 1+{\log }_{2}3=b{\log }_{2}5 \\ \iff {\log }_{2}5=\frac{1+a}{b} \\ \Rightarrow T=\frac{1+a}{a+{\displaystyle \frac{1+a}{b}}}=\frac{b(1+a)}{ab+a+1}=\frac{b(a+1)}{1+a(b+1)} \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án D

Ta có: $3^{4-x^2}>0 với mọi x$

$$\begin{gathered} y\text{'}=-2x.\ln 3.3^{4-x^2} \\ y\text{'}=0\iff x=0 \\ \Rightarrow f\left(0\right)=3^4=81 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$G=(0;81]

Đáp án C

$$\begin{gathered} {\log }_a\left(\frac{1}{x}\right)=b \\ \iff \frac{1}{x}=a^b \\ \iff x=\frac{1}{a^b}=a^{-b} \end{gathered}$$

Đáp án B

ĐK:$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}6x^2+7x-4>0\\ 12x-5>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x<\frac{-7-\sqrt{145}}{12} hoặc x>\frac{-7+\sqrt{145}}{12}\\ x>\frac{5}{12}\end{array}\right.\right. \\ \iff x>\frac{-7+\sqrt{145}}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\log }_4(6x^2+7x-4)<{\log }_4(12x-5) \\ \iff 6x^2+7x-4<12x-5 \\ \iff 6x^2-5x+1<0 \\ \iff \frac{1}{3}<x<\frac{1}{2} \\ Kết hợp ĐK: \frac{-7+\sqrt{145}}{12}<x<\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} y\text{'}=\frac{e^x-(x-1)e^x}{{\left(e^x\right)}^2}=\frac{1-x+1}{e^x}=\frac{2-x}{e^x} \\ y\text{'}>0\iff 2-x>0\iff x<2 \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} 3^{12x^2-4x+1}<{27}^x \\ \iff 3^{12x^2-4x+1}<3^{3x} \\ \iff 12x^2-4x+1<3x \\ \iff 12x^2-7x+1<0 \\ \iff \frac{1}{4}<x<\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} x^{{\log }_{4}5}=3 \\ \iff x=\sqrt[{\log }_{4}5]{3}=3^{\frac{1}{{\log }_{4}5}}=3^{{\log }_{5}4} \end{gathered}$$