255 Bài trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản nâng cao cực hay có lời giải (P1)

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\ln \left(\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}-\mathrm{m}}\right) \\ \mathrm{Đk}: \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}-\mathrm{m}}>0 \\ \mathrm{TH}1: \mathrm{m}>1 \mathrm{thì} \mathrm{x}\in \left(-\infty ;1\right)\cup (\mathrm{m};+\infty ) \\ \mathrm{TH}2: \mathrm{m}<1 \mathrm{thì} \mathrm{x}\in \left(-\infty ;\mathrm{m}\right)\cup (1;+\infty ) \\ \mathrm{y}\text{'}=\frac{1-\mathrm{m}}{{(\mathrm{x}-\mathrm{m})}^2}.\frac{1}{\ln \left(\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}-\mathrm{m}}\right)} \\ \mathrm{Hàm} \mathrm{số} \mathrm{nghịch} \mathrm{biến} \mathrm{trên} \mathrm{ℝ} \\ \iff 1-\mathrm{m}<0\iff \mathrm{m}>1 \\ \Rightarrow \mathrm{Hàm} \mathrm{số} \mathrm{nghịch} \mathrm{biến} \mathrm{trên} \mathrm{khoảng} (2;3) \mathrm{thì} \mathrm{khoảng} (2;3) \mathrm{không} \mathrm{thuộc} \mathrm{TXĐ} \\ \mathrm{Với} \mathrm{ĐK} \mathrm{m}>1 \mathrm{thì} \mathrm{TXĐ} \mathrm{của} \mathrm{hàm} \mathrm{số} \mathrm{trên} \mathrm{là} \mathrm{D}=\left(-\infty ;1\right)\cup (\mathrm{m};+\infty ) \\ \Rightarrow \mathrm{m}\le 2 \\ \mathrm{KL}: \mathrm{với} 1<\mathrm{m}\le 2 \mathrm{thi} \mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \mathrm{yêu} \mathrm{cầu} \mathrm{bài} \mathrm{toán} \end{gathered}$$

Đáp án D

$F={\log }_{\frac{1}{x}}{y}^2=-{\log }_x{y}^2={\log }_x{y}^{-2}={\log }_x\frac{1}{y^2}$

Đáp án B

$$\begin{gathered} 2^{f\left(x\right)}=3^{g\left(x\right)} \\ \iff {\log }_2{2}^{f\left(x\right)}={\log }_2{3}^{g\left(x\right)} \\ \iff f\left(x\right)=g\left(x\right){\log }_{2}3 \\ \iff f\left(x\right)\ln 2=g\left(x\right)\ln 2{\log }_{2}3=g\left(x\right)\ln 3 \\ \iff \frac{f\left(x\right)}{\ln 3}=\frac{g\left(x\right)}{\ln 2} \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3^{4x-x^2} \\ \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=(4-2x).3^{4x-x^2}.\ln 3 \\ f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=2 \\ \mathrm{Ta} \mathrm{thấy} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)>0 \mathrm{khi} \mathrm{x}<2 \\ \mathrm{Vậy} \mathrm{hàm} \mathrm{số} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3^{4\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2} \mathrm{đồng} \mathrm{biến} \mathrm{khi} \mathrm{x}<2 \\ \mathrm{Trong} 4 \mathrm{đáp} \mathrm{án} \mathrm{ta} \mathrm{thấy} \mathrm{khoảng} \left(\frac{1}{10};\frac{1}{9}\right) \mathrm{nằm} \mathrm{trong} \mathrm{khoảng} (-\infty ;2) \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} \sqrt{{\log }_3\left(\frac{2x-3}{2-x}\right)}<1 \\ ĐK: {\log }_3\left(\frac{2x-3}{2-x}\right)\ge 0 \iff \frac{2x-3}{2-x}\ge 1 \\ \iff \frac{3x-5}{2-x}\ge 0 \iff \frac{5}{3}\le x<2 \\ PT\iff {\log }_3\left(\frac{2x-3}{2-x}\right)<1 \\ \iff \frac{2x-3}{2-x}<3 \iff \frac{2x-3}{2-x}-3<0 \\ \iff \frac{5x-9}{2-x}<0 \iff x\in \left(-\infty ;\frac{9}{5}\right)\cup \left(2;+\infty \right) \\ Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm S=[\frac{5}{3};\frac{9}{5}) \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} Đặt {\sin }^{2}x=t (t\in \left[0;1\right]) \\ BPT\iff 2^{1-t}+3^t\ge m.3^{1-t} \\ \iff \frac{2^{1-t}+3^t}{3^{1-t}}\ge m \\ Đặt f\left(t\right)=\frac{2^{1-t}+3^t}{3^{1-t}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{1-t}+3^{2t-1} \\ \Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{1-t}\ln \frac{2}{3}+2.3^{2t-1}.\ln 3>0 với\forall t\in [0;1] \\ \Rightarrow Hàm f\left(t\right) luôn đồng biến trên [0;1] \\ Ta có f\left(0\right)=1 và f\left(1\right)=4 \\ Để BPT nghiệm đúng với\forall x\in \mathrm{ℝ} thì \underset{t\in [0;1]}{minf\left(t\right)}\ge m \\ \iff 1\ge m\iff m\le 1 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\log }_{\frac{2}{3}}\left(x^2-2x\right) \\ \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x-2}{(x^2-2x).\ln \left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)} \\ f\text{'}\left(x\right)>0\iff \frac{2x-2}{(x^2-2x).\ln \left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}>0 \\ \iff \frac{2x-2}{x^2-2x}<0 do \frac{1}{\ln \left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}<0 \\ \iff x<0 hoặc 1<x<2 \end{gathered}$$

Đáp án B

Đáp án D

$$\begin{gathered} ĐK: x\le 3 \\ Xét hàm số y={\log }_3\sqrt{3-x} \left(C\right) ta thấy khi x\le 3 tập giá trị của hàm số này là \mathrm{ℝ} \\ nên đường thẳng y=a luôn cắt \left(C\right) tại 1 điểm \\ \Rightarrow PT {\log }_3\sqrt{3-x}=a luôn có nghiệm với mọi a\in \mathrm{ℝ} \end{gathered}$$

Đáp án C

ĐK: b>0 và $0<a\ne 1$

Ta tính ${\log }_{7}3$ và ${\log }_{3}7$ sẽ thấy có vô số các số thực $t={\log }_{a}b$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án D

$$\begin{gathered} {\log }_y\sqrt{xy}={\log }_{x}y. ĐK: xy\ge 0 \\ \iff \frac{1}{2}{\log }_{y}xy={\log }_{x}y \\ \iff {\log }_{y}x+1=2{\log }_{x}y \\ \iff \frac{1}{{\log }_{x}y}-2{\log }_{x}y+1=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{\log }_{x}y=1\\ {\log }_{x}y=\frac{-1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=x ( loại do yêu cầu ĐB là x\ne y)\\ y=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(TM\right)\end{array}\right. \\ \iff y^2=\frac{1}{x}\iff x{y}^2=1 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{3}\right)}^{\left|x^3+3x-m\right|}=m \iff \left|x^3+3x-m\right|={\log }_{\frac{1}{3}}m \left(1\right) \\ Xét y_1=f\left(x\right)=x^3+3x-m \\ f\text{'}\left(x\right)=3x^2+3>0 với \forall x\in \mathrm{ℝ} \Rightarrow HS không có cực trị \\ \Rightarrow hàm y=\left|f\left(x\right)\right| luôn nằm phía trên trục hoành \\ \Rightarrow y_{min}=0 \\ Để PT\left(1\right) có nghiệm duy nhất thì \\ {\log }_{\frac{1}{3}}m=0\iff m=1 \end{gathered}$$

Đáp án D

ĐK: 3 - x > 0 hay x < 3

Đáp án C

$$\begin{gathered} \mathrm{y}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{1-\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \mathrm{y}\text{'}=(1-\mathrm{x})\text{'}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{1-\mathrm{x}}.\ln \left(\frac{1}{4}\right)=-4^{\mathrm{x}-1}.\ln \left(\frac{1}{4}\right)=4^{\mathrm{x}-1}.\ln 4 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} 2^{ax-x^2}=3^x \\ \iff ax-x^2={\log }_2{3}^x \\ \iff ax-x^2=x{\log }_{2}3 \\ \iff x(a-x-{\log }_{2}3)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x=a-{\log }_{2}3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án D

Đáp án A

$$\begin{gathered} {\log }_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{x}\right)<0. ĐK: x>0 \\ \iff \frac{1}{x}>1\iff 0<x<1 \left(TMĐK\right) \end{gathered}$$

Nghiệm của hê thỏa mãn PT: $X^2-5X+6=0\iff X=2 hoặc X=3$

TH1: $\left\{\begin{array}{l}{3}^x=3\\ 3^{1+y^2}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ 1+y^2={\log }_{3}2\end{array}\right.$

TH2: $\left\{\begin{array}{l}{3}^x=2\\ 3^{1+y^2}=3\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x={\log }_{3}2\\ y=0\end{array}\right.\right.$

Đáp án D

ĐK: x ≤ 1

Xét hàm số $y={\log }_{\sqrt{2}-1}\left(\sqrt{1-x}\right)$ (C) ta thấy khi x ≤ 1 tập giá trị của hàm số này là R

nên đường thẳng y=m luôn cắt (C) tại 1 điểm ⇒PT ${\log }_{\sqrt{2}-1}\left(\sqrt{1-x}\right)=m$ luôn có nghiệm với mọi m ∈ R

Đáp án A

Xét đáp án A 

Ta thấy 2 hàm số $\mathrm{y}=2^{\mathrm{x}} \mathrm{và} \mathrm{y}=3^{\mathrm{x}}$ đều đồng biến và khi x=1 thì ta có BĐT 2<3 ( đúng )

Dấu bằng xảy ra khi x = 0

$\Rightarrow$A đúng

Xét đáp án B 

$2^{\mathrm{x}}+4^{\mathrm{x}}\le 2^{\mathrm{x}}\iff 4^{\mathrm{x}}\le 0 \left(\mathrm{SAI}\right)$ $\Rightarrow \mathrm{B} \mathrm{sai}$

Xét đáp án C

$$\begin{gathered} 5^{6x^2+1}>5^{5x}\iff 6x^2-5x+1>0 \\ \iff x<\frac{1}{2} hoặc x>\frac{1}{3} (không đúng với mọi x) \\ \Rightarrow C sai \end{gathered}$$

Xét đáp án D

$$\begin{gathered} {14}^x+{14}^{1-x}\le 7 \iff {\left({14}^x\right)}^2-7.{14}^x+14\le 0 \\ Đặt {14}^x=t (t>0)\Rightarrow t^2-7t+14\le 0 (Vô nghiệm) \\ \Rightarrow BPT {14}^x+{14}^{1-x}\le 7 luôn sai với mọi x \\ \Rightarrow D sai \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\log }_{\mathrm{x}}(\mathrm{x}+2)=\frac{\ln (\mathrm{x}+2)}{\mathrm{lnx}} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}+2}}\mathrm{lnx}-\ln (\mathrm{x}+2).{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}}{{\ln }^2\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{xlnx}-(\mathrm{x}+2)\ln (\mathrm{x}+2)}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+2){\ln }^2\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(2\right)=\frac{2\ln 2-4\ln 4}{8{\ln }^{2}2}=\frac{-6\ln 2}{8{\ln }^{2}2}=\frac{-3}{4\ln 2} \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} y=2^{x^2} \\ \Rightarrow y\text{'}=\left(x^2\right)\text{'}.2^{x^2}.\ln 2=2x.2^{x^2}.\ln 2=2^{1+x^2}.x.\ln 2 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} {\log }_{\sqrt[3]{3}}{x}^3=a . ĐK x>0 \\ \iff {\log }_{3^{\frac{1}{3}}}{x}^3=a \\ \iff 9{\log }_{3}x=a\iff {\log }_{3}x=\frac{a}{9} \\ \iff x=3^{\frac{a}{9}} \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{3}\right)}^{1-x^2}<27\iff 3^{x^2-1}<3^3 \\ \iff x^2-1<3\iff x^2<4 \\ \iff -2<x<2 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} y={\log }_5\left(4-x^2\right) \\ TXĐ: D=(-2;2) \\ y\text{'}=\frac{-2x}{(4-x^2)\ln 5} \\ y\text{'}=0 \iff x=0 \end{gathered}$$

BBT:

KL: Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;0)

Đáp án A

ĐK$\left\{\begin{array}{l}4x-1>0\\ 1-2x>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{4}\\ x<\frac{1}{2}\end{array}\iff \frac{1}{4}<x<\frac{1}{2}\right.\right.$

Do $\sqrt{2}-1>0$

$$\begin{gathered} BPT\iff 4x-1>1-2x \\ \iff 6x>2\iff x>\frac{1}{3} \\ Kết hợp ĐK ta có: \frac{1}{3}<x<\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} Đặt {\sqrt{ 6}}^{\left|x\right|}=t\iff \left|x\right|={\log }_{\sqrt{6}}t \\ ĐK:{\log }_{\sqrt{6}}t\ge 0\iff t⩾1 \\ PT\iff t^2-(m-2)t-2m=0 \left(1\right) \\ \iff t^2-mt+2t-2m=0 \\ \iff m(t+2)=t^2+2t \\ \iff (t+2)(t-m)=0 \\ \iff t=-2\left(L\right) hoặc t=m \\ Để PT(*) có nghiệm thì PT\left(1\right) phải có ít nhất 1 nghiệm dương \\ \iff m\ge 1 \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án D

ĐK: b > 0 và 0 < a ≠ 1

Ta tính ${\log }_{4}3$$\mathrm{}$ và ${\log }_{2}3$$\mathrm{}$ sẽ thấy có vô số các số thực $t={\log }_{a}b$$$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án A

Đáp án C

$$\begin{gathered} {\log }_4{\left(x-1\right)}^2=e^{100} \\ \iff {\log }_2\left|x-1\right|=e^{100} \\ \iff {\log }_{2^6}{(x-1)}^6=e^{100} \iff {\log }_{64}{(x-1)}^6=e^{100} \end{gathered}$$

Đáp án A

ĐK:

$$\begin{gathered} {\log }_{3}x-{\log }_3(2x-1)\ge 0 \left( với x>\frac{1}{2}\right) \\ \iff {\log }_{3}x\ge {\log }_3(2x-1) \\ \iff x\ge 2x-1 \\ \iff x\le 1 \\ Kết hợp ĐK ta có \frac{1}{2}<x\le 1 \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} Đặt 3^x=t (t>0) \\ PT trở thành: t^2-(m+1)t+m<0 \\ \iff (t-1)(t-m)<0 \\ TH1:\left\{\begin{array}{l}t-1>0\\ t-m<0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}t>1\\ t<m\end{array}\right.\right. \\ TH2:\left\{\begin{array}{l}t-1<0\\ t-m>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}t<1\\ t>m\end{array}\right.\right. \\ Để BPT\hspace{0.17em}có nghiệm thì m\ne 1 \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} 2^x=3^{x^3-4x^2} \\ \iff x={\log }_2\left(3^{x^3-4x^2}\right) \\ \iff x-(x^3-4x^2){\log }_{2}3=0 \\ \iff x[1-\left(x^2-4x\right){\log }_{2}3]=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x^2-4x-\frac{1}{{\log }_{2}3}=0 (*)\end{array}\right. \\ Ta dễ dàng nhận thấy PT(*) có 2 nghiệm thực phân biệt \end{gathered}$$

KL: PT đã cho có 3 nghiệm thực phân biệt

$$\begin{gathered} y={\left(2-\sqrt{3}\right)}^{x^2+1} \\ y\text{'}=2x.{\left(2-\sqrt{3}\right)}^{x^2+1}\ln (2-\sqrt{3}) \\ y\text{'}=0\iff x=0 \\ Do {\left(2-\sqrt{3}\right)}^{x^2+1}\ln (2-\sqrt{3})<0 nên y\text{'}>0 \iff x<0 \\ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-\infty ;0) \end{gathered}$$

trong các đáp án ta thấy khoảng (-10;0) ở đáp án C nằm trong khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ nên C đúng

Đáp án A

$$\begin{gathered} y=(x-1)(x-2)(x-{\log }_{3}4) \\ y\text{'}=3x^2-(4{\log }_{3}2+6)x+2+6{\log }_{3}2 \\ y\text{'}=0\iff 3x^2-(4{\log }_{3}2+6)x+2+6{\log }_{3}2=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\approx 1,72 \left(x_{CT}\right)\\ x\approx 1,12 \left(x_{CĐ}\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow 1<x_{CĐ}<{\log }_{3}4 (\approx 1,26)<x_{CT}<2 \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{3}\right)}^x=2^a\iff 3^{-x}=2^a \\ \iff -x={\log }_3{2}^a \\ \iff x=-a{\log }_{3}2 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\log }_{x}2=\frac{\ln 2}{\ln x} \\ \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\ln 2.\frac{-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\ln }^{2}x}=\frac{-\ln 2}{x{\ln }^{2}x} \\ \Rightarrow f\text{'}\left(2\right)=\frac{-\ln 2}{2{\ln }^{2}2}=\frac{-1}{2\ln 2}=\frac{-1}{\ln 4} \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} ĐK: 12x^2-13x+1>0 \iff x<\frac{1}{12} hoặc x>1 \\ Do 2-\sqrt{3}>0 nên \\ BPT\iff 12x^2-13x+1<1 \\ \iff 12x^2-13x<0 \\ \iff 0<x<\frac{13}{12} \\ Kết hợp ĐK ta được:0<x<\frac{1}{12} hoặc 1<x<\frac{13}{12} \end{gathered}$$