200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P5)

Phương trình hoành độ giao điểm: x⁴-(3m+4) x²+ m² = 0       ( 1)

Đặt t= x², phương trình trở thành: t²-(3m+4)t+ m² = 0       ( 2)

C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi ( 1) có bốn nghiệm phân biệt

Khi đó ( 2) có hai nghiệm dương phân biệt 

+ Khi đó phương trình *(2) có hai nghiệm 0<t₁< t₂. Suy ra phương trình (1)  có bốn nghiệm phân biệt là $x_1=-\sqrt{t_2}<x_2=-\sqrt{t_1}<x_3=\sqrt{t_1}<x_4=\sqrt{t_2}$ . Bốn nghiệm x₁; x₂; x₃; x₄ lập thành cấp số cộng

$$\begin{gathered} \iff x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3 \\ \iff -\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=2\sqrt{t_1} \\ \iff \sqrt{t_2}=3\sqrt{t_1} \\ \iff t_2=9t_{1 } \left(3\right) \end{gathered}$$

Theo định lý Viet ta có $\left\{\begin{array}{l}{t}_1+t_2=3m+4 \left(4\right)\\ t_1{t}_2=m^2 \left(5\right)\end{array}\right.$

Từ (3) và (4) ta suy ra được $\left\{\begin{array}{l}{t}_1=\frac{3m+4}{10}\\ t_2=\frac{9(3m+4)}{10}\end{array} \left(6\right).\right.$

Thay (6) vào  (5)  ta được 

Vậy giá trị m  cần tìm làm =12; m= -12/ 19

Chọn B.

Ta có x³- 3x²+ 1- m=0   là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số

 y= x³- 3x²+ 1  và y= m (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox).

+Xét   y= x³- 3x²+ 1  .

Đạo hàm  y’ = 3x²- 6x

Ta có  y’=0$\iff$3x²- 6x=0

Khi  x= 1 thì y= -1 

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán khi và chỉ khi -3< m< -1 .

Chọn C.

+ Phương trình đường thẳng d có dang d: y= kx-1  .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C  và đường thẳng d:

$2x^3-3x^2-1=kx-1 hay x(2x^2-3x-k)=0\iff$

+ Để  C cắt d  tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi  phương trình (2)  có hai nghiệm phân biệt khác 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ 0-k\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k>-\frac{9}{8}\\ k\ne 0\end{array}\right.$

Vậy chọn $\left\{\begin{array}{l}k>-\frac{9}{8}\\ k\ne 0\end{array}\right.$

Chọn B.

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C  và trục Ox:

x³- 3(m + 1) x²+ 2(m ² + 4m + 1)x - 4m(m + 1)= 0

hay ( x- 2) [x²-( 3m+ 1) x+ 2m²+ 2m] =0

Yêu cầu bài toán

Vậy ½< m và m≠ 1.

Chọn A.

Điều kiện: x> -1

Ta có: 3x²- 6x+ ln( x+1)³+1=0   hay 3x²- 6x+ 3ln( x+1)+1=0 

f(x)=3x²- 6x+ 3ln(x + 1) + 1$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=6x-6+\frac{3}{x+1}$

Đạo hàm f’ (x) = 0 khi và chỉ khi (2x- 2)(x+ 1) +1=0

$\iff x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Từ đây, ta có bảng biến thiên của f(x):

Nhìn vào bảng biến thiên ta sẽ có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

+ Ta có đạo hàm y’ = x²- 2mx+ (m²-1).

Phương trình y’ =0  có $∆\text{'}=m^2-(m^2-1)=1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=m-1\\ x_2=m+1\end{array}\right.$

+ Không mất tính tổng quát, giả sử $A(x_1; y_1), B(x_2; y_2).$

A, B nằm khác phía khi và chỉ khi x₁. x₂< 0 hay ( m-1) (m+ 1) < 0

Suy ra -1< m< 1

A,  B  cách đều đường thẳng y= 5x-9 suy ra trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng đó.

Khi đó ta có: 

$I(\frac{x_1+ x_2}{2}; \frac{y_1+ y_2}{2}) hay I(m; \frac{1}{3}{m}^3-m)$

Ta có:

 $$\begin{gathered} \frac{1}{3}{m}^3-m=5m-9\iff \frac{1}{3}{m}^3-6m+9=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{m}_1=3\\ \frac{1}{3}{m}^2+m-3=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra $m_1+m_2+m_3=3+\frac{-1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=0.$

Chọn A

+ Điều kiện để hàm số có 3 cực trị là m> 0

+ Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy bằng 2√m, đường cao bằng m². (như hình bên )

Ta được $S_{∆ABC}=\frac{1}{2}AC.BD=\sqrt{m}.m^2.$

+  Để tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 thì $\sqrt{m}.m^2<1 hay 0<m<1$

Chọn D.

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C  và đường thẳng d

$\frac{2x+1}{x+1}=x+m\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x^2+(m-1)x+m-1=0 \left(1\right)\end{array}\right.$

+ Khi đó d cắt C tại hai điểm phân biệt A; B  khi và chi khi phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt khác -1

$\iff \left\{\begin{array}{l}{(m-1)}^2-4(m-1)>0\\ {(-1)}^2-(m-1)+m-1\ne 0\end{array}\right.\iff m<1\vee m>5 (*)$

Khi đó ta lại có A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+ m) ; 

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1; x_2-x_1)$ nên  $AB=\sqrt{2{(x_2-x_1)}^2}=\sqrt{2}\left|x_2-x_1\right|$

và $\left\{\begin{array}{l}{x}_2+x_1=1-m\\ x_2.x_1=m-1\end{array}\right.$

Từ đây ta có

$$\begin{gathered} AB=\sqrt{10}\iff \left|x_2-x_1\right|=\sqrt{5}\iff {\left(x_2+x_1\right)}^2-4x_2{x}_1=5 \\ \iff {(1-m)}^2-4(m-1)=5\iff m^2-6m=0 \end{gathered}$$

Vậy m= 0 hoặc m= 6.

Chọn D.

+ Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

x³- 3x²-m+ 2= -mx hay ( x-1) ( x²-2x+ m-2) =0

Hay x=1; x²-2x+m-2=0

+ Đặt nghiệm x₂= 1;  từ giải thiết bài toán trở thành tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. Khi đó phương trình : x²-2x+m-2 = 0  phải có 2 nghiệm phân biệt (vì theo hệ thức Viet ta có:  x₁+ x₃= 2= 2x₂ ).

Vậy khi đó ta  cần ∆’ > 0( để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ) 

 ∆’=1-(m-2)>0$\iff m<3$

Chọn C.

+ Đồ thị C cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình  x³- 3x²- 1=m   có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.

+ Suy ra đường thẳng y= m đi qua điểm uốn của đồ thị y= x³- 3x²- 1

(do đồ thị (C)  nhận điểm uốn làm tâm đối xứng).

+ Mà điểm uốn của đồ thị đã cho là I( 1 ; -3)

( hoành độ điểm uốn là nghiệm phương trình y’’= 0 hay y’’= 6x-6=0 do đó x= 1 ; y= -3)

Suy ra m=  -3.

Chọn C.

+ Hàm số xác định và liên tục với mọi x> 0.

Ta có $y\text{'}=3x^2+m+\frac{1}{x^6}, \forall x\in \left(0; +\infty \right)$

+  Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)  khi và chỉ khi $y\text{'}=3x^2+m+\frac{1}{x^6}\ge 0$  với mọi x> 0.

$$\begin{gathered} \iff m\ge -3x^2-\frac{1}{x^6}=g\left(x\right), \forall x\in (0;+\infty ) \\ \iff m\ge \underset{x\in (0;+\infty )}{max}g\left(x\right), x\in (0;+\infty ). \\ g\text{'}\left(x\right)=-6x+\frac{6}{x^7}=\frac{-6x^8+6}{x^7}=0\iff x=1 \end{gathered}$$

Bảng biến thiên

Suy ra maxg( x) = g(1) = -4 và do đó để hàm số đã cho đồng biến t với x > 0 thì m ≥ -4

 Mà m nguyên âm nên $m\in \left\{-4;-3;-2;-1\right\}$.

Chọn A.

+ Xét hàm số  f(x) = x³-3x+ m là hàm số liên tục trên đoạn [0; 2] .

Ta có đạo hàm f’ (x) = 3x²- 3 và f’ (x) = 0 khi x= 1 ( nhận )  hoặc x= -1( loại)

+ Suy ra GTLN và GTNN của  f(x) thuộc { f(0); f(1) ; f(2) }={m;m-2; m+2}.

+ Xét hàm số $y=\left|x^3-3x+m\right|$  trên đoạn [0; 2 ] ta được giá trị lớn nhất của y  là

$max\left\{\left|m\right|;\left|m-2\right|;\left|m+1\right|\right\}=3.$

TH1: m= 3 thì max {1;3;5}= 5 ( loại )

TH2: 

+ Với m= -1. Ta có max {1; 3}= 3 (nhận).

+Với m= 5. Ta có max { 3;5;7}= 7 (loại).

TH3: 

+ Với m= 1. Ta có max {1; 3}= 3 (nhận).

+ Với m= -5. Ta có max {3;5;7}= 7 (loại).

Do đó m= -1 hoặc m= 1

Vậy tập hợp S có 2 phần tử.

Chọn B.

Ta có:( f( 2-x) )’= ( 2-x)’.f’(2-x) = -f’(2-x)  

Hàm số đồng biến khi

Chọn D.

+ Phương trình đường thẳng d  đi qua A và có hệ số góc k là: y= k( x-a) +1

+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) :

+ Với k = 0, ta có d: y= 1  là tiệm cận ngang đồ thị hàm số nên không thể tiếp xúc được.

+ Với k ≠ 0, d và (C) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn k  tham số a

+ Để qua A( a; 1)  vẽ được đúng 1 tiếp tuyến thì phương trình 1 có đúng một nghiệm k ≠ 0.

*Xét 1-a= 0 hay a=1, ta có  4k+ k= 0 hạy k= -1 (thỏa mãn).

*Có f(0) = 4≠0 nên loại đi trường hợp có hai nghiệm trong đó có một nghiệm là k = 0.

*Còn lại là trường hợp ∆_x= 0 có nghiệm kép khi

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn đầu bài là a = 1 hoặc a = 3/2.

Chọn A.

Xét hàm số y= 3x⁴- 4x³-12x²+m

Có 

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, để hàm số đã cho có 7 cực trị thì $\left\{\begin{array}{l}m-5<0\\ m>0\end{array}\right.\iff 0<m<5.$

Vì m  nguyên nên các giá trị cần tìm của m  là $m\in \left\{1; 2; 3; 4\right\}$.

Chọn A.

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C)  và đường thẳng d:

x⁴- (2m-1) x²+2m = 2 hay  x⁴- (2m-1) x²+2m -2=0

Suy ra x² = 1 hoặc x² = 2m-2 (1)

+ Đường thẳng d cắt C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.

Do đó có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn đầu bài là: 2; 3; 4; 5.

Chọn D.

+Ta có đạo hàm y’ = 3x²- 6mx+ 3( m+ 1)  .

 Do K thuộc ( C)  và có hoành độ bằng -1, suy ra K( -1; -6m-3)

y'(-1) = 9m + 6

Khi đó tiếp tuyến tại K có phương trình

∆: y = ( 9m+ 6) x+ 3m+ 3

Ta có: d: $3x+y=0\iff y=-3x$

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d

$\iff \left\{\begin{array}{l}9m+6=-3\\ 3m+3\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-1\\ m\ne -1\end{array}\right.$

Vậy không tồn tại m thỏa mãn đầu bài.

Chọn D.

Ta có: y' = $3x^2-2x+1$

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm M( -1; -2) có hệ số góc k có dạng ∆: y= k( x+ 1) -2 .

+ ∆ là tiếp tuyến của (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3-x^2+x+1=k(x+1)-2 \left(1\right)\\ 3x^2-2x+1=k \left(2\right)\end{array}\right.$

+Thay (2) vào (1) ta được

x³- x²+ x+ 1= ( 3x²- 2x+1) (x+1) -2

Hay ( x+ 1)².(x-1) =0

Suy ra x= -1 ( trùng với M nên loại )  hoặc x = 1

Với x = 1 thì y = 2. Vậy N(1; 2)

Chọn C.

+ Do A thuộc (C ) nên  A(1; 1-m) .

Đạo hàm y’ = 4x³ - 4mx nên y’ (1) = 4 - 4m .

+ Phương trình tiếp tuyến của (C)  tại A  là y - 1+ m = y’(1).(x-1),

 Hay (4 - 4m).x - y - 3(1 - m) = 0.

+ Khi đó $d(B;∆)=\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{16{(1-m)}^2+1}}\le 1$ ,

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi khi  m = 1.

Do đó khoảng cách từ  B đến ∆ lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m= 1.

Chọn  B.

+ Giả sử M($x_0;y_0)\in \left(C\right)$ suy ra $y_0=\frac{2x_0+3}{x_0+1}$

+Ta có

Ta tìm được 4 điểm M  suy ra có 4 tiếp tuyến.

Chọn C.