175 câu Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải (P4)

Đáp án C

Phương pháp: Gọi  là số phức cần tìm. Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ điều kiện đẳng thức, bất đẳng thức cho a,b. Sử dụng điều kiện trên để đánh giá và tìm giá trị lớn nhất của P.

 Lời giải chi tiết.

Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng  Khi đó ta có 

Từ giả thiết ta suy ra

Do đó   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chú ý. Đối với bài toán liên quan tới cực trị học sinh thường mắc phải sai lầm là quên tìm giá trị để cực trị xảy ra. Điều này có thể dẫn tới việc tìm sai giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Đáp án D

Phương pháp

Biện luận để tìm trực tiếp nghiệm $z_1,z_2$. Sử dụng giả thiết để tìm ra giá trị $m_0$

Lời giải chi tiết.

Viết lại phương trình đã cho thành  

Nếu $m_0=9\Rightarrow z=3$ Hay phương trình chỉ có một nghiệm. (Loại)

Nếu $m_0<9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực  

Nếu $m_0>9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là 

Khi đó 

Do đó $m_0>9$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do bài toán đòi hỏi $m_0\in (0;20)$ nên

Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.

Đáp án C

Phương pháp

Gọi số phức đã cho có dạng . Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ cho a, b giải trực tiếp hệ này để tìm a, b

Lời giải chi tiết.

Ta có: 

Do z không là số thực nên ta phải có $b\ne 0$ (2) 

Ta lại có 

Từ (1), (2), (3)  ta có hệ

Đáp án B

Phương pháp

Từ giả thiết ta biến đổi để tìm được công thức của z. Dùng định nghĩa để tìm $\left|z\right|$ 

Lời giải chi tiết.

Ta có:

Do đó 

Đáp án D

Phương pháp.Sử dụng giả thiết để tìm được  

Thay vào  và sử dụng yêu cầu bài toán để biện luận và tìm giá trị của $m_0$ 

Lời giải chi tiết.
Giả sử . Khi đó ta có

Thay vào  Ta nhận được

Để có đúng một nghiệm phức thỏa mãn bài toán thì phương trình (1) phải có duy nhất một nghiệm a.

Khi đó phương trình (1) phải thỏa mãn

Kết hợp với điều kiện  ta suy ra giá trị cần tìm là  

Sai lầm.Một bộ phận nhỏ học sinh vẫn có thể quên đưa ra điều kiện  nên hai nghiệm là 

Đáp án C

Phương pháp.

Tính trực tiếp  

Lời giải chi tiết.

Ta có

 Do  

Do đó M có phần thực âm, phần ảo bằng 0, nên thuộc tia đối của tia Ox.

Đáp án A

Phương pháp.

Giả sử  Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm $z_1,z_2$ Sử dụng giả thiết để đánh giá cho cho b. Đưa  về một hàm cho b và sử dụng ước lượng cho b ở phần trước để tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Lời giải chi tiết.

Tính toán ta tìm được hai nghiệm

Giả sử . Từ  ta suy ra

Áp dụng (1) ta nhận được

Do đó giá trị nhỏ nhất của  là $\sqrt{2016}-1$

Đạt được khi và chỉ khi  

Đáp án B

Phương pháp.

Gọi . Sử dụng giả thiết để tìm a, bsuy ra giá trị của z. Sử dụng kết quả này để tìm giá trị của m và kết luận.

Lời giải chi tiết.

Giả sử  Khi đó ta có

Để   là số thuần ảo thì ta phải có

$a(a-4)+b^2=0 \iff a^2-4a+b^2=0 \left(1\right)$

Từ (1) suy ra  thay vào (2) ta nhận được

Nếu m=2 thì (3) vô nghiệm

Nếu m$\ne$2 thì từ (3) suy ra  

Vì nên để có duy nhất một số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho thì b=0

Ta nhận được a=0 hoặc a=4 

với a=4 thì z=a+bi=4. Loại vì  là số thuần ảo

vậy a=b=0$\Rightarrow$z=0.  Khi đó 

Tổng các phần tử của S là 6+(-6)=0

Đáp án D

Phương pháp.

Gọi . Sử dụng giả thiết để tìm a, bsuy ra giá trị của z.

Lời giải chi tiết.

Giả sử .Khi đó ta có 

Vậy z=a+bi=1-2i 

Sai lầm.Một số học sinh có thể nhớ nhầm $i^2=-1$ thành $i^2=1$ do đó quá trình tính toán kết quả sẽ bị sai.

Đáp án D

Ta có 

Đáp án C

Đặt  

Ta có 

Đáp án D

$\Rightarrow \left|z\right|=\left|\overline{z}\right|=\sqrt{{\left(\frac{13}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{\sqrt{37}}{5}$

Đáp án D

Đặt  theo giả thiết ta có:  

Tổng quát: Với 2 số thực $z_1,z_2$ thõa mãn  

Khi đó

Đáp án C

Phương pháp: Số phức z=a+bi có số phức liên hợp $\overline{z}=a-bi$ 

Cách giải: Số phức liên hợp của z=2-3i là $\overline{z}=2+3i$ 

Đáp án A

Phương pháp: Sử dụng công thức cộng, nhân các số phức.

Cách giải:

$$\begin{gathered} w=i\overline{z}+3z=i\left(1+\frac{1}{3}i\right)+3\left(1-\frac{1}{3}i\right) \\ =i-\frac{1}{3}+3-i=\frac{8}{3} \end{gathered}$$

Đáp án C

Phương pháp: Đặt  tính toán và rút gọn, so sánh hai số phức.

Cách giải:Gọi  ta có:

Đáp án D

Phương pháp: Đưa biểu thức T về dạng biểu thức vector bằng cách tìm các vecto biểu diễn cho các số phức.

Cách giải:

Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện  là đường tròn (C) tâm I(1;0) bán kính R=$\sqrt{2}$

Gọi M là điểm biểu diễn cho số  phức z, A(0;-1) là điểm biểu diễn cho số phức -i, B(2;1) là  điểm  biểu  diễn  cho  số  phức 2+i 

Dễ thấy A,B$\in$C và 

 AB là đường kính của  đường  tròn (C) 

vuông  tại  M

Đặt

Xét hàm số  trên  ta có:

Vậy maxT=4

Đáp án D

Phương pháp: Số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng phức.

Cách giải: Ta có: M(3;-2) $\Rightarrow$z=3-2i

Đáp án C

Phương pháp giải: 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Để ${\mathrm{i}}^{\mathrm{n}}$ là số nguyên dương thì n là số nguyên dương chia hết cho 4

Lời giải:

Xét n=2k khi đó  là số nguyên dương khi k chẵn.

Kết hợp với  suy ra  và  là số chẵn.

Với mỗi bộ số  có 2 số k thỏa mãn,  có 3 số k thỏa mãn.

Vậy có tất cả 2.5+3.4=22 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D

Phương pháp giải: Số phức z=a+bi có môđun là 

Lời giải: Ta có  

Đáp án B

Phương pháp: Số phức  có phần thực là a, phần ảo là b. 

Cách giải:

z có phần thực là 7.

Đáp án A

Phương pháp: Cho $z_1,z_2$ là hai số phức bất kì, khi đó  

Cách giải: Ta có:

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng  

Cách giải:

Như vậy, chỉ có số phức  là số thực

Đáp án D

Phương pháp:

Chuyển vế, lấy mođun hai vế.

Cách giải: