175 câu Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải (P3)

Đáp án C

HD: Ta có

Tập hợp điểm M(z) là đường tròn  tâm I(3;-2), R=3. 

Gọi A(1;2), B(5;2) và E(3;2) là trung điểm của AB suy ra P=MA+MB 

Lại có

P lớn nhất  ME lớn nhất.

Mà  

Vậy 

Đáp án C.

z=2+4i có phần thực a=2 và phần ảo a=4 nên a-b= 2-4 = -2

Đáp án D.

Giải hệ ta tìm được 

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x=-12 và y=5\\ x=12 và y=-5\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{z}_1=-12+5i\\ z_2=12-5i\end{array}\right. \\ \Rightarrow z_1-z_2=-24+10i \\ \Rightarrow \left|z_1-z_2\right|=\sqrt{{(-24)}^2+{10}^2}=26 \\ \Rightarrow {\left|z_1-z_2\right|}^2={26}^2=676 \end{gathered}$$

Đáp án A

Ta có:  

Xét:

Đáp án D

Cách 1: Đại số

Từ (1)  .

Thế vào (2) ta được: (3)

Từ (1) và (3): .

Cách 2: Hình học

Ta có:

(1)

Gọi $M_1,M_2,M_3$ là 3 điểm biểu diễn $z_1,z_2,z_3$ 

Dễ dàng có:  

(2)

Từ (1) và (2):

Cách 3: Chuẩn hóa chọn $z_1=1$.

Đáp án D

Đáp án B

Dựa vào hình vẽ ta thấy M biểu thị cho số phức -2+3i 

Đáp án A

Hai nghiệm của phương trình  (do $z_1$  có phần ảo âm).

Vậy 

Đáp án A

Đăt  

Thay vào biểu thức của bài toán ta có:

Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài toán

Đáp án D

Đặt  lần lượt là các điểm biểu thị cho các số phức $z,z_1,z_2$ 

Vậy  

Từ giả thiết cho ta tam giác MNP cân tại M có  

 (nhân chéo vế với vế của hai phương trình).

Tìm được Thay vào (1) thì thấy chỉ có  thỏa mãn. Lúc này do 

Do  

Vậy 

Đáp án B

Ta có:  $\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

Đáp án C

Gọi z = a + bi (a,b

$$\begin{gathered} z-\left|z\right|=-2-4i \\ \iff a+bi-\sqrt{a^2+b^2}=-2-4i \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a-\sqrt{a^2+b^2}=-2\\ b=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{3^2+{(-4)}^2}=5$

Đáp án B

Gọi M(x;y)  biểu diễn cho z, ta có hệ

Để ý đường thẳng tiếp xúc với đường tròn , nên chỉ có một số phức.

Đáp án D

Cách 1

·       Đặt   biểu diễn cho số phức z.

·       Từ giả thiết, ta có M  thuộc đường trung trực  của đoạn EF và P=AM+BM+CM 

·       Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng $∆$ .

-        Với M’ tùy ý thuộc$∆$, M’ khác M. Gọi  A’ là điểm đối xứng của A qua $∆$. Nhận thấy rằng ba điểm A’, M, C thẳng hàng.

-        Ta có  

Mà  

Lại có  Do đó  

Cách 2

·       Gọi  Từ giả thiết  , dẫn đến y=x .

Khi đó z=x+xi. 

·        

·       Sử dụng bất đẳng thức  

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  . Ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  

·       Mặt khác

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= $\frac{7}{2}$ 

·       Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của P là  .

Khi đó  a+b=3.

Đáp án A

Đặt 

Đáp án A

 z có phần ảo là 2.

Đáp án D

Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của 3iz và -2w

A, B lần lượt thuộc các đường tròn tâm O(9;15) bán kính bằng 9 và đường tròn tâm I(4;-8) bán kính bằng 4

 OI= $\sqrt{554}$

Khi đó  

Yêu cầu bài toán trở thành tìm $A{B}_{max}$ 

Đáp án D

Ta có:

Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm (5;7) bán kính $5\sqrt{13}$

Đáp án B

Phương pháp:

+ Số phức  được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng xOy.

+ Tọa độ trung điểm I của AB là:

Cách giải:

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đáp án A

Phương pháp:

+) Giải phương trình bậc hai ẩn z trên tập số phức.

+) Cho số phức  

Cách giải:

Ta có: 

Đáp án C

Phương pháp:

Gọi z=x+yi thay vào giải thiết và so sánh hai số phức 

Cách giải:

Do đó có 3 số phức z thỏa mãn bài toán.

Đáp án D

Phương pháp:

+) Từ giả thiết , tìm ra đường biểu diễn (C) của các số phức z.

+) Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của

vị trí của AB đối với đường tròn (C).

+) Sử dụng công thức trung tuyến tính $O{A}^2+O{B}^2$

+) Sử dụng BĐT Bunhiascopsky tìm GTLN của OA+OB

Cách giải:

Ta có: 

với 

  M(x;y) biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I($1;\sqrt{2}$)bán kính R=1.

Lại có:  

Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có:

Theo BĐT Bunhiascopsky ta có:

Đáp án D

Ta có  

số phức z biểu diễn Q(3;1)

Đáp án C

Đáp án A

Tập hợp tất cả các điểm biễu diễn các số phức z thỏa mãn  là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là