Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án - Phần 3

Ta có: \[S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \frac{4}{{{2^4}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^{10}}}}\]

Suy ra \[2S = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{4}{{{2^3}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^9}}}\]

\[2S - S = \left( {1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{4}{{{2^3}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^9}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + ... + \frac{{10}}{{{2^{10}}}}} \right)\]

\[S = 1 + \left( {\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{3}{{{2^2}}} - \frac{2}{{{2^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{{10}}{{{2^9}}} - \frac{9}{{{2^9}}}} \right) - \frac{{10}}{{{2^{10}}}}\]

\[S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}} - \frac{{10}}{{{2^{10}}}}\]

Xét \[B = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}\]

\[2B = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^8}}}\]

\[2B - B = \left( {2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^8}}}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right)\]

\[B = 2 - \frac{1}{{{2^9}}}\]

Suy ra \[S = 2 - \frac{1}{{{2^9}}} - \frac{{10}}{{{2^{10}}}}.\]

B = 1 + 2 + 3 + ... + (2n + 1)

\[ = \frac{{\left( {2n + 1} \right) + 1}}{2} \cdot \left( {2n + 1} \right)\]

Ta có: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{6}{8} - \frac{4}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4};\)

\(1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4};\)

\(\frac{5}{4} - 1 = \frac{5}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4};\)

\(\frac{3}{2} - \frac{5}{4} = \frac{{12}}{8} - \frac{{10}}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.\)

Như vậy, cách viết dãy phân số đã cho là: số liền sau hơn số liền trước \(\frac{1}{4}\) đơn vị.

Số số hạng là:

(100 ‒ 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng).

Tổng dãy số trên là:

(100 + 1) . 100 : 2 = 5050.

Đáp số : 5050.

Số số hạng là:

(100 ‒ 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng).

Tổng dãy số trên là:

(100 + 1) . 100 : 2 = 5050.

Đáp số : 5050.

Số số hạng là:

(100 ‒ 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng).

Tổng dãy số trên là:

(100 + 1) . 100 : 2 = 5050.

Đáp số : 5050.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0

= (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 + 0

= 10 + 10 + 10 + 10 + 5

= 45.

1 ‒ 2 + 3 ‒ 4 + 5 ‒ 6 + 7 ‒ 8 + 9 ‒ 10

= (1 ‒ 2) + (3 ‒ 4) + (5 ‒ 6) + (7 ‒ 8) + (9 ‒ 10)

= ‒1 + (‒1) + (‒1) + (‒1) + (‒1)

= ‒5.

Ta thấy dãy số trên có 100 số hạng chia đều vào 50 cặp, mỗi cặp có 50 số hạng như sau:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +....+ 100

= (100 + 1) + (99 + 2) + (98 + 3) +.....+ (50 + 51)

= 101 + 101 + 101 +....+ 101 (CÓ 50 SỐ HẠNG 101)

= 101.50 ( 101 nhân 50)

= 5050

Vậy 1 + 2 + 3 + 4 +....+ 100 = 5050

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n

\[ = \left( {\frac{{n - 1}}{1} + 1} \right) \cdot \frac{{n - 1}}{1}\]

\[ = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\]

(‒1) + (‒2) + 3 + 4 + … + (‒97) + (‒98) + 99 + 100

= [(‒1) + 3 + (‒5) + … + (‒97) + 99] + [(‒2) + 4 + (‒6) + … + (‒98) + 100]

Xét (‒1) + 3 + (‒5) + … + (‒97) + 99

Số số hạng của tổng là: [99 – (‒1)] : 2 + 1 = 50.

Khi đó: (‒1) + 3 + (‒5) + … + (‒97) + 99

= [(‒1) + 3] + [(‒5) + 7] + … + [(‒97) + 99]

= 2 + 2 + … + 2 

= 2.(50 : 2) = 2.25 = 50.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

\[ = \left( {\frac{{n - 1}}{1} + 1} \right) \cdot \frac{{n - 1}}{1}\]

\[ = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\]

Số số hạng của tổng đó là:

(n ‒ 1) :1 + 1 = n (số số hạng)

Tổng A là:

\[\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.\]

Đặt A = 1 + 2 + 3 + ... + n

Tổng A có số số hạng là:

(n ‒ 1) : 1 + 1 = n (số)

Tổng A theo n là:

\[\left( {n + 1} \right) \cdot n:2 = \frac{{{n^2} + n}}{2}\]

Từ đó, ta có:

\[\frac{{{n^2} + n}}{2} = 105\]

n² + n = 210

n² ‒ 14n + 15n ‒ 210 = 0

n(n ‒ 14) + 15(n ‒ 14) = 0

(n ‒ 14)(n + 15) = 0

n ‒ 14 = 0 hoặc n + 15 = 0

n = 14 (thỏa mãn) hoặc n = ‒15 (loại).

Vậy n = 14.

\[x + \frac{1}{2} = x - \frac{2}{3}\]

\[x - x = \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\]

\[0 = \frac{7}{6}\] (vô lý)

Vậy không có x thỏa mãn.

Đặt A = 1 + 2 + 3 + ... + x

Tổng A theo x số hạng là: \[\frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot x}}{2}.\]

Từ đó, ta có:

\[\frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot x}}{2} = 210\]

x(x + 1) = 420

x² + x = 420

x – 20x + 21x – 420 = 0

x(x – 20) + 21(x – 20) = 0

(x – 20)(x + 21) = 0

x – 20 = 0 hoặc x + 21 = 0

x = 20 (thỏa mãn) hoặc x = –21 (loại)

Vậy x = 20.

1 + 2 + 3 = 6.

Quy luật: số sau bằng số trước nó nhân 2

Nên ta có:

16.2 = 32

32.2 = 64

64.2 = 128

Vậy số cần tìm là: 32, 64, 128.

A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 4096 + 8192

Nhìn vào biểu thức tính nhanh này ta thấy:

1 + 2 + 4 = 7 và số liền sau nó là 8

1 + 2 + 4 + 8 = 15 và số liền sau nó là 16

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 và số liền sau nó là 32

Theo quy luật đó ta thấy tổng của các chữ số đứng trước nó sẽ bằng số liền trước nó.

Vậy 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 4096 + 8192 sẽ bằng 8191 + 8192

Vậy biểu thức A có giá trị là: 8191 + 8192 = 16383.

\[1 - \left( {\frac{2}{5} - \frac{1}{3}} \right)\]

\[ = 1 - \left( {\frac{6}{{15}} - \frac{5}{{15}}} \right)\]

\[ = 1 - \frac{1}{{15}} = \frac{{14}}{{15}}\]

\[C = \frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{{11}}{{12}} + \frac{{19}}{{20}} + \frac{{29}}{{30}} + \frac{{41}}{{42}} + \frac{{55}}{{56}} + \frac{{71}}{{72}} + \frac{{89}}{{90}}\]

\[ = 1 - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{6} + 1 - \frac{1}{{12}} + 1 - \frac{1}{{20}} + 1 - \frac{1}{{30}} + 1 - \frac{1}{{42}} + 1 - \frac{1}{{56}} + 1 - \frac{1}{{72}} + 1 - \frac{1}{{90}}\]

\[ = 9 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}}} \right)\]

\[ = 9 - \left( {\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + \frac{1}{{6 \cdot 7}} + \frac{1}{{7 \cdot 8}} + \frac{1}{{8 \cdot 9}} + \frac{1}{{9 \cdot 10}}} \right)\]

\[ = 9 - \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}}} \right)\]

\[ = 9 - \left( {1 - \frac{1}{{10}}} \right)\]

\[ = 9 - \frac{9}{{10}} = \frac{{81}}{{10}}.\]

Vậy \[C = 9 - \frac{9}{{10}} = \frac{{81}}{{10}}.\]

\[\frac{1}{2} \cdot 60 = 30\]

\[\frac{1}{2} = 0,5.\]

\[\frac{1}{2}\] còn gọi là 0,5 vì ta lấy 1: 2 được 0,5.

\[\frac{{120}}{{100}} = 1,2\% .\]

1 ngày bằng 24 giờ

Nên \[\frac{1}{2}\] ngày \[ = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12\] giờ.

1 phút = 60 giây

Nên \[\frac{1}{2}\] phút \[ = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30\]giây.

1 tạ = 100 kg

Nên \[\frac{1}{2}\] tạ \[ = \frac{1}{2} \cdot 60 = 100\]giây.

1 tấn = 1000 kg

Nên \[\frac{1}{2}\] tấn \[ = \frac{1}{2} \cdot 1000 = 500\]kg.

\[1,2 \times 1,2 = 2,4\].

\[\frac{1}{2} - \left( {x + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{6}\]

\[x + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{5}{6}\]

\[x + \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}\]

\[x = - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\]

\[x = - \frac{2}{3}\]

Vậy \[x = - \frac{2}{3}.\]

\[{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = \frac{1}{{32}}\]

\[{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}\]

Suy ra x = 5.

1 yến = 10 kg

\[\frac{1}{2}\] yến \[\; = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\] kg.

\[A = \frac{1}{{2 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 8}} + \frac{1}{{8 \cdot 11}} + ... + \frac{1}{{92 \cdot 95}} + \frac{1}{{95 \cdot 98}}\]

\[ = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{3}{{2 \cdot 5}} + \frac{3}{{5 \cdot 8}} + \frac{3}{{8 \cdot 11}} + ... + \frac{3}{{92 \cdot 95}} + \frac{3}{{95 \cdot 98}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{{11}} + ... + \frac{1}{{92}} - \frac{1}{{95}} + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{98}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{98}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{{24}}{{49}} = \frac{8}{{49}}.\]

1 thế kỉ = 100 năm

Vậy \[\frac{1}{{20}}\] thế kỉ bằng số năm là: \(\frac{1}{{20}} \cdot 100 = 5\) (năm).

\[\frac{1}{{21}} + \frac{1}{{28}} + \frac{1}{{36}} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{9}\]

\[\frac{2}{{42}} + \frac{2}{{56}} + \frac{2}{{72}} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{9}\]

\[2\left[ {\frac{1}{{6 \cdot 7}} + \frac{1}{{7 \cdot 8}} + \frac{1}{{8 \cdot 9}} + ... + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right] = \frac{2}{9}\]

\[\frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{2}{9}:2 = \frac{1}{9}\]

\[\frac{1}{6} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{9}\]

\[\frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{1}{{18}}\]

x + 1 = 18

x = 18 ‒ 1 = 17.

Vậy x = 17.

1,23 : x − 0,45 : x = 1,5

(1,23 − 0,45) : x = 1,5

0,78 : x = 1,5

x = 0,52

Vậy x = 0,52.

\[1,25 = \frac{{125}}{{100}} = \frac{5}{4}\].

\[\frac{{x - 1}}{{27}} = \frac{3}{{x - 1}}\]

⇒ (x ‒ 1).(x ‒ 1) = 27.3

(x ‒ 1)² = 81

x ‒ 1 = 9 hoặc x ‒ 1 = ‒9

x = 10 hoặc x = ‒8

\[\frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}}\]

\[ = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}\]

\[ = \frac{1}{2} + \left( { - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \right) + \left( { - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( { - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}} \right) - \frac{1}{6}\]

\[ = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.\]

Đặt \[A = \frac{1}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{35}} + \frac{1}{{63}} + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{143}} + \frac{1}{{195}}\]

\[2A = \frac{2}{3} + \frac{2}{{15}} + \frac{2}{{35}} + \frac{2}{{63}} + \frac{2}{{99}} + \frac{2}{{143}} + \frac{2}{{195}}\]

\[ = \frac{2}{{1 \cdot 3}} + \frac{2}{{3 \cdot 5}} + \frac{2}{{5 \cdot 7}} + \frac{2}{{7 \cdot 9}} + \frac{2}{{9 \cdot 11}} + \frac{2}{{11 \cdot 13}} + \frac{2}{{13 \cdot 15}}\]

\[ = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{13}} - \frac{1}{{15}}\]

\[ = 1 - \frac{1}{{15}} = \frac{{14}}{{15}}\]

Suy ra \[A = \frac{{14}}{{15}}:2 = \frac{7}{{15}}.\]

\[A = \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + ... + \frac{1}{{{3^{100}}}}\]

\[3A = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{99}}}}\]

\[3A - A = \left( {1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{99}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{99}}}} + \frac{1}{{{3^{100}}}}} \right)\]

\[2A = 1 - \frac{1}{{{3^{100}}}} = \frac{{{3^{100}} - 1}}{{{3^{100}}}}\]

Suy ra \[A = \frac{{{3^{100}} - 1}}{{2 \cdot {3^{100}}}}.\]

\[\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{21}} + ... + \frac{1}{{300}}\]

\[ = \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{20}} + ... + \frac{2}{{600}}\]

\[ = 2\left( {\frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + ... + \frac{1}{{24 \cdot 25}}} \right)\]

\[ = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{24}} - \frac{1}{{25}}} \right)\]

\[ = 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{25}}} \right)\]

\[ = 2 \cdot \frac{{23}}{{50}} = \frac{{23}}{{25}}.\]

\[\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{21}} + ... + \frac{1}{{300}}\]

\[ = \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{20}} + ... + \frac{2}{{600}}\]

\[ = 2\left( {\frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + ... + \frac{1}{{24 \cdot 25}}} \right)\]

\[ = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{24}} - \frac{1}{{25}}} \right)\]

\[ = 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{25}}} \right)\]

\[ = 2 \cdot \frac{{23}}{{50}} = \frac{{23}}{{25}}.\]

Đặt \[A = \frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\]

Suy ra \[3A = 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}\]

Do đó \[4A = A + 3A = \left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}} \right) + \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}} \right)\]

\[4A = 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}\]

\[ = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... - \frac{1}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\]

Suy ra \[12A = 3 - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{3^2}}} + ... - \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}\]

Nên \[4A + 12A = 3 - \frac{{100}}{{{3^{99}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}} < 3\]

Hay \[16A < 3\] suy ra \[A < \frac{3}{{16}}.\]

Vậy \[\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}} < \frac{3}{{16}}.\]

Ta cần chứng minh: 1³ + 2³ + 3³ +....+ n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)² (*)

Với n = 1 ta có 1³ = 1² (đúng) nên (*) đúng.

Giả sử (*) đúng với  n = k tức là: 

1³ + 2³ + 3³ +...+ k³= (1 + 2 + ... + k)² (đúng)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1.

Tức là ta cần chứng minh:

1³ + 2³ + 3³ +...+ k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + ... + k + 1)².

Thật vậy, ta có:

1³ + 2³ + 3³ +...+ k³ + (k + 1)³

= (1 + 2 + 3 + ... + k)²  + (k + 1)³

= [k(k + 1) : 2]² + (k + 1)³

\[ = {\left( {k + 1} \right)^2}\left( {\frac{{{k^2}}}{4} + k + 1} \right) = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 2k + 2k + 4} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 2k + 2k + 4} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left[ {k\left( {k + 2} \right) + 2\left( {k + 2} \right)} \right]}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {k + 2} \right)\left( {k + 2} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\]

\[ = {\left[ {\frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}} \right]^2}\]

Mặt khác ta cũng có: 

1 + 2 + 3 + 4 +...+ k + k + 1 \( = \frac{{\left( {k + 1 + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}{2}\)\( = \frac{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}}{2}\)

Do đó (1 + 2 + 3 + ... + k + 1)² \( = {\left[ {\frac{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}}{2}} \right]^2}.\)

Vậy 1³ + 2³ + 3³ +...+ n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)².

\[\frac{{1 \cdot 5}}{{3 \cdot 5}} = \frac{5}{{15}}\]

\[\frac{{1 \cdot 5}}{{3 \cdot 5}} = \frac{5}{{15}}\]

Mà \[\frac{5}{{15}} < \frac{6}{{15}}\] nên \[\frac{1}{3} < \frac{2}{5}\]

\[B = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}}\]

\[3B = {3^1} + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{101}}\]

\[3B - B = \left( {{3^1} + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{101}}} \right) - \left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}}} \right)\]

\[2B = {3^{101}} - 3\]

\[B = \frac{{{3^{101}} - 3}}{2}.\]

C = 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1)

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là : 3 ‒ 1 = 2

Số số hạng của dãy số trên là :  (2n + 1 ‒ 1) : 2 + 1 = n + 1

C = (2n + 1 + 1)(n + 1) : 2

C = (2n + 2)(n + 1) : 2

C = (n + 1)²

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2x ‒ 1) = 225

Xét dãy số: 1; 3; 5; 7; 9; ... ; (2x ‒ 1) 

Dãy số trên là dãy số cách đều với  khoảng cách là:

              3 ‒ 1 = 2

Số số hạng của dãy số trên là:

           (2x ‒ 1 ‒ 1) : 2 + 1 = x

 1 + 3 + 5 + ... + (2x ‒ 1) = (1 + 2x ‒ 1).x : 2 

⇒ 2x² : 2 = 225

       x²     = 225

      x²    = 15²

x = 15 hoặc x = ‒15

Vậy x = 15 hoặc x = ‒15.

Dãy số trên cách đều với khoảng cách là 2.

Số số hạng của dãy số trên là:

(99 ‒ 1) : 2 + 1 = 50 số

1 ‒ 3 + 5 ‒ 7 + 9 ‒ 11 + ... + 97 ‒ 99

= (1 ‒ 3) + (5 ‒ 7) + (9 ‒ 11) + ... + (97 ‒ 99)

= ‒2 + (‒2) + (‒2) +...+ (‒2) (có 25 số ‒2)

= ‒2.25

= 50.

Xét dãy số 1, 3, 5, 7, 9 ,...... ( 2x ‒ 1)

ta thấy dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là 2.

số số hạng của dãy số trên là:

(2x ‒ 1 ‒ 1 ) : 2 + 1 = x

Vậy 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + .... + ( 2x ‒ 1) = (2x ‒ 1 + 1)x : 2 = 225

x² = 225 

 x = 15 

Vậy x = 15.

Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 97 + 99

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 3 ‒ 1 = 2

Số số hạng của dãy số trên là: (99 ‒ 1) : 2 + 1 = 50

Vậy A = (99 + 1).50 : 2 = 2500.

Đặt A = 1 + 3 + 5 + ... + 97 + 99

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 3 ‒ 1 = 2

Số số hạng của dãy số trên là: (99 ‒ 1) : 2 + 1 = 50

A = (99 + 1).50 : 2 = 2500

\[\frac{1}{3}:6 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{{18}}.\]

Các số trên lập thành một dãy số cách đếu với khoảng cách giữa 2 số liền nhau là 3 đơn vị

Có số số hạng là : (2001 ‒ 3 ) : 3 + 1 = 667 (số)

Tổng dãy số trên là : (2001 + 3).667 : 2 = 668334 

                                                                     Đáp số : 668334

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255

Quy luật: lấy tổng cộng thêm 1,vd: 7 + 7 + 1 = 15.

\[\frac{1}{3} = 0,33333... = 0,\left( 3 \right).\]

\[\frac{1}{3} = 0,33333... \approx 33,3\% .\]

1 phút = 60 giây

\[\frac{1}{3}\]phút \[ = \frac{1}{3} \cdot 60 = 20\] giây

\[\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}\left( {x - 1} \right) = 0\]

\[\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}x - \frac{2}{5} = 0\]

\[\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}x = \frac{2}{5}\]

\[x\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{5}} \right) = \frac{2}{5}\]

\[x \cdot \frac{{11}}{{15}} = \frac{2}{5}\]

\[x = \frac{2}{5}:\frac{{11}}{{15}}\]

\[x = \frac{6}{{11}}\]

Vậy \[x = \frac{6}{{11}}.\]

1 + 35 + ... + x = 3200

(x ‒ 1) : 34 + 1(x + 1) : 2 = 3200

(x ‒ 1) : 34 + (x + 1) : 2 = 3200

(x ‒ 1)(34 ‒ 2) = 3200

\[x - 1 = \frac{{3200}}{{32}}\]

x ‒ 1 = 100

x = 100 + 1 = 101.

Vậy x = 101.