Trắc nghiệm Toán 9 Bài 2 (có đáp án): Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số

Từ phương trình (1): x – my = m$\iff$x = m + my thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

m (m + my) + y = 1

$\iff m^2+m^{2}y+y=1\iff (m^2+1)y=1–m^2\iff y=\frac{1-m^2}{1+m^2}$ 

(vì $1+m^2 >0; \forall m$) suy ra $x=m+m.\frac{1-m^2}{1+m^2}=\frac{2m}{1+m^2}$với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $(x; y)=\left(\frac{2m}{1+m^2};\frac{1-m^2}{1+m^2}\right)$  

$\Rightarrow x – y =\frac{2m}{1+m^2}-\frac{1-m^2}{1+m^2}=\frac{m^2+2m-1}{1+m^2}$

Đáp án: B

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(m-2\right)x-3y=-5\\ x+my=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m-2\right)\left(3-my\right)-3y=-5\\ x=3-my\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3m-m^{2}y-6+2my-3y=-5\\ x=3-my\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left(m^2-2m+3\right)y=3m-1\left(1\right)\\ x=3-my\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có: $m^2–2m+3={(m–1)}^2+2>0 \forall m$ nên PT (1) có nghiệm duy nhất $\forall m$

Hay hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\forall m$

Từ (1) ta có: $y=\frac{3m-1}{m^2-2m+3}$thay vào (2) ta có $x=\frac{9-5m}{m^2-2m+3}$

Vậy $\left(x;y\right)=\left(\frac{9-5m}{m^2-2m+3};\frac{3m-1}{m^2-2m+3}\right)$

Đáp án: B

Ta có 

$\left\{\begin{array}{l}mx-y=2m+1\\ 2x+my=1-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m-1\\ 2x+m\left(mx-2m-1\right)=1-m\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m-1\\ 2x+m^{2}x-2m^2-m=1-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m^2+2\right)x=2m^2+1\left(1\right)\\ y=mx-2m-1\left(2\right)\end{array}\right.$

Ta có $m^2+2>0; \forall m$ nên PT (1) có nghiệm duy nhất $\forall m$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\forall m$

Từ (1) ta có: $x=\frac{2m^2+1}{m^2+2}$thay vào (2) ta có:

$y=m.\frac{2m^2+1}{m^2+2}-2m-1=\frac{-m^2-3m-2}{m^2+2}$  

Vậy $\left(x;y\right)=\left(\frac{2m^2+1}{m^2+2};\frac{-m^2-3m-2}{m^2+2}\right)$

Đáp án: D

Ta có $\left\{\begin{array}{l}3x+y=2m+9\\ x+y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=m+2\\ y=3-m\end{array}\right.$

$\Rightarrow A=xy+x–1=8–{(m–1)}^2$

 $A_{max} = 8$ khi m = 1

Đáp án: A

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m-1\right)x-m\left(2x-m-5\right)=3m-1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m-1\right)x-2mx+m^2+5m=3m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ -\left(m+1\right)x=-m^2-5m+3m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m+1\right)x=m^2+2m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\left(1\right)\\ \left(m+1\right)x={\left(m+1\right)}^2\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay $m\ne -1$

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra $x=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{m+1}=m+1$

Thay x = m + 1vào phương trình (1) ta được y = 2 (m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với $m\ne -1$ thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét $S=x^2+y^2={(m+1)}^2+{(m–3)}^2=m^2+2m+1+m^2-6m+9$

$=2m^2–4m+10=2(m^2–2m+1)+8=2{(m–1)}^2+8$

Vì ${(m – 1)}^2 \ge 0; \forall m\Rightarrow 2{(m–1)}^2+8\ge 8;\forall m$

Hay $S\ge 8;\forall m$. Dấu “=” xảy ra khi m–1 = 0$\iff$m=1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

Đáp án: A

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}x+my=m+1\left(1\right)\\ mx+y=2m\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (2)$\Rightarrow$y = 2m – mx thay vào (1) ta được:

x + m (2m – mx) = m + 1

$\iff 2m^2–m^{2}x+x=m+1\iff (1–m^2)x=-2m^2+m+1$

$\iff (m^2–1)x=2m^2–m–1 \left(3\right)$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  (3) có nghiệm duy nhất khi

$m^2–1\ne 0\iff m\ne \pm 1(*)$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2m+1}{m+1}\\ y=\frac{m}{m+1}\end{array}\right.$

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ y\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2m+1}{m+1}\ge 2\\ \frac{m}{m+1}\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-1}{m+1}\ge 0\\ \frac{-1}{m+1}\ge 0\end{array}\right. \\ \iff m+1<0\iff m<-1 \end{gathered}$$

Kết hợp với (*) ta được giá trị m cần tìm là m < −1

Đáp án: B

Xét hệ 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx+y=3\\ 4x+my=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=3-mx\\ 4x+m\left(3-mx\right)=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=3-mx\\ 4x+3m-m^{2}x=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=3-mx\\ \left(4-m^2\right)x=6-3m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=3-mx\left(1\right)\\ \left(m^2-4\right)x=3\left(m-2\right)\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\iff$(2) có nghiệm duy nhất

$m^2–4\ne 0\iff m\ne \pm 2(*)$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{m+2}\\ y=3-\frac{3m}{m+2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{m+2}\\ y=\frac{6}{m+2}\end{array}\right.$

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{3}{m+2}>0\\ \frac{6}{m+2}>1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+2>0\\ \frac{4-m}{m+2}>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>-2\\ 4-m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>-2\\ m<4\end{array}\right.\iff -2<m<4 \end{gathered}$$

Kết hợp với (*) ta được giá trị m cần tìm là – 2 < m < 4; m$\ne$2

Đáp án: A

Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu a = 0, hệ có dạng:$\left\{\begin{array}{l}2x=-4\\ -3y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.

+ Nếu $a\ne 0$, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: $\frac{0}{2}\ne \frac{-3}{a}\iff \frac{-3}{a}\ne 0 luôn đúng vì a \ne 0$  

Do đó, với $a\ne 0$, hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.

Đáp án: C

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x+m\left(2m-mx\right)=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x+2m^2-m^{2}x=m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x\left(m^2-1\right)=2m^2-m-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với $m^2–1=0\iff m^2=1\iff m=\pm 1$

Nếu m = 1 ta được 0x = 0 (đúng với $\forall x$)$\Rightarrow$Hệ phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = −1 ta được 0x = 2 (vô lí)$\Rightarrow$hệ phương trình vô nghiệm

Vậy m = 1 thì hệ đã cho vô số nghiệm.

Đáp án: A

Từ PT (1) ta có: y = (a + 1)x – (a + 1) (*)

Thế vào PT (2) ta được:

x + (a – 1) [(a + 1)x – (a + 1)] = 2$\iff x+(a^2–1)x–(a^2–1)=2$

$\iff a^{2}x=a^2+1 \left(3\right)$

Với $a\ne 0$, phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x=\frac{a^2+1}{a^2}$. Thay vào (*) ta có:

$$\begin{gathered} y=\left(a+1\right)\frac{a^2+1}{a^2}-\left(a+1\right) \\ =\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)-a^2\left(a+1\right)}{a^2} \\ =\frac{a^3+a+a^2+1-a^3-a^2}{a^2}=\frac{a+1}{a^2} \end{gathered}$$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$  

$\Rightarrow x+y=\frac{a^2+1}{a^2}+\frac{a+1}{a^2}=\frac{a^2+a+2}{a^2}$

Đáp án: A

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx-y=m^2\\ 2x+my=-m^3+2m+2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-m^2\\ 2x+m\left(mx-m^2\right)=-m^3+2m+2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-m^2\\ x\left(m^2+2\right)=2m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\displaystyle 2m+2}}{{\displaystyle m^2+2}}\\ y=m.\frac{{\displaystyle 2m+2}}{{\displaystyle m^2+2}}-m^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\displaystyle 2m+2}}{{\displaystyle m^2+2}}\\ y=\frac{{\displaystyle -m^4+2m}}{{\displaystyle m^2+2}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

(vì $m^2+2>0;\forall m$ )

Suy ra $x–y=\frac{m^4+2}{m^2+2}$  

Đáp án: C

Từ PT (1) ta có: y = (a + 1)x – (a + 1) (*) thế vào PT (2) ta được:

$x+(a–1)\left[\right(a+1)x–(a+1\left)\right]=2\iff x+(a^2–1)x–(a^2–1)=2$

$\iff a^{2}x=a^2+1 \left(3\right)$

Với a ≠ 0, phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x=\frac{a^2+1}{a^2}$. Thay vào (*) ta có:

$$\begin{gathered} y=(a+1)\frac{a^2+1}{a^2}-(a+1)=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)-a^2\left(a+1\right)}{a^2} \\ =\frac{a^3+a+a^2+1-a^3-a^2}{a^2}=\frac{a+1}{a^2} \end{gathered}$$  

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

Hệ phương trình có nghiệm nguyên:$\left\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{Z}\\ y\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{a^2+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\\ \frac{a+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\end{array}\right.(a\in \mathrm{\mathbb{Z}})$ 

Điều kiện cần: $x=\frac{a^2+1}{a^2}=1+\frac{1}{a^2}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\iff \frac{1}{a^2}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ mà $a^2>0 \Rightarrow a^2=1$

$\iff a=\pm 1(TM a\ne 0)$

Điều kiện đủ:

a = −1$\Rightarrow$ y = 0  (nhận)

a = 1$\Rightarrow$ y = 2  (nhận) 

Vậy $a=\pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Đáp án: D

Ta có$\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ mx-y=m\end{array}\right.\Rightarrow$x + mx = 2 + m$\Rightarrow$x(m + 1) = m + 2

Nếu m = −1$\Rightarrow$0.x = 1 (vô lí)

Nếu m ≠ 1$\Rightarrow x=\frac{m+2}{m+1}=1+\frac{1}{m+1}$

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất$\Rightarrow$x nguyên

$\Rightarrow m+1 =\pm 1\Rightarrow$ m = 0; m = −2

Với m = 0$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Với m = −2$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Đáp án: C

Ta có $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2\\ mx-y=m\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2-2y\\ m\left(2-2y\right)-y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2-2y\\ \left(2m+1\right)y=m\end{array}\right.$

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì $m\ne \frac{-1}{2}$

Suy ra $y=\frac{m}{2m+1}\Rightarrow x=2-2.\frac{m}{2m+1}\Rightarrow x=\frac{2m+2}{2m+1}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2m+2}{2m+1}\\ y=\frac{m}{2m+1}\end{array}\right.$

Để $\left\{\begin{array}{l}x>1\\ y>0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2m+2}{2m+1}>1\\ \frac{m}{2m+1}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2m+1}>0\\ \frac{m}{2m+1}>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2m+1>0\\ m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>-\frac{1}{2}\\ m>0\end{array}\right.\Rightarrow m>0 \end{gathered}$$

Kết hợp điều kiện $m\ne \frac{-1}{2}$ta có m > 0

Đáp án: A

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx-y=2m\\ 4x-my=m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m\\ 4x-m\left(mx-2m\right)=m+6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m\\ x\left(m^2-4\right)=2m^2-m-6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $m^2-4\ne 0\iff m\ne \left\{2;-2\right\}$

Khi đó $x=\frac{2m^2-m-6}{m^2-4}=\frac{\left(2m+3\right)\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)\left(m+2\right)}=\frac{2m+3}{m+2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow y=m.\frac{2m+3}{m+2}-2m=\frac{-m}{m+2} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2m+3}{m+2}\\ y=\frac{-m}{m+2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{m+2}\\ y=-1+\frac{2}{m+2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x=4-\frac{2}{m+2}\\ y=-1+\frac{2}{m+2}\end{array}\right.\Rightarrow 2x + y = 3 \end{gathered}$$

vậy hệ thức không phụ thuộc vào m là 2x + y = 3

Đáp án: D

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+my=1\\ mx-y=-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m\left(1-my\right)-y=-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m-m^{2}y-y=-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ y\left(m^2+1\right)=2m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do $m^2+1\ge 1>0\Rightarrow y=\frac{2m}{m^2+1}\Rightarrow x=1–my=1-\frac{2m^2}{m^2+1}=\frac{1-m^2}{m^2+1}$

Xét $x^2+y^2={\left(\frac{1-m^2}{m^2+1}\right)}^2+{\left(\frac{2m}{m^2+1}\right)}^2=\frac{m^4-2m^2+1+4m^2}{{\left(m^2+1\right)}^2}=\frac{m^4+2m^2+1}{{\left(m^2+1\right)}^2}=\frac{{\left(m^2+1\right)}^2}{{\left(m^2+1\right)}^2}=1$

Vậy $x^2 + y^2 = 1$ không phụ thuộc vào giá trị của m

Đáp án: D

Ta có $\left\{\begin{array}{l}mx-y=2m\\ 4x-my=m+6\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m\\ 4x-m\left(mx-2m\right)=m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m\\ x\left(m^2-4\right)=2m^2-m-6\end{array}\right.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $m^2–4\ne 0\iff$m ≠ {−2; 2}

Khi đó $x=\frac{2m^2-m-6}{m^2-4}=\frac{\left(2m+3\right)\left(m-2\right)}{\left(m+2\right)\left(m-2\right)}=\frac{2m+3}{m+2}$