Trắc nghiệm Toán 12: Chủ đề 9. Một số ứng dụng của số phức có đáp án

Đây là hệ đẳng cấp bậc ba. tuy nhiên, nếu giải bằng phương pháp thông thường ta sẽ đi đến giải phương trình bậc ba: 
Phương trình này không có nghiệm đặc biệt!
Xét số phức . Vì ,

nên từ hệ đã cho ta có ,

tương tự cách làm ở chương 1, ta tìm được 3 giá trị của z là:
, , 
Từ đó suy hệ đã cho có 3 nghiệm là:

Xét số phức z = x + iy
Vì , nên từ hệ đã cho suy ra:
(*)
Các số phức thỏa mãn (*):

Vậy các nghiệm cần tìm của hệ là:

Điều kiện Đặt z = x + yi. Ta có: 
Vì hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nên hệ đã cho tương đương với:

Phương trình  có hai nghiệm 

nên hệ đã cho có các nghiệm  hoặc 

Từ hệ suy ra x > 0, y > 0.
Bài hệ này không có ngay dàng giống ví dụ trên, tuy nhiên với mục đích chuyển mẫu số về dạng nình phương mođun của số phức, chỉ cần đặt  với u, v > 0
Hệ đã cho có dạng: 
Đặt z = u + iz. Ta có: 
Hệ đã cho tương đương với:

Giải phương trình (*), ta có  suy ra các nghiệm là 
Vì u, v > 0 nên  do đó 
Vậy nghiệm cần tìm là 

Hệ phương trình đã cho tương đương với

Nhận thấy x = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình
Nếu  thì hệ đã cho viết thành 
Suy ra:


Đặt  ta có phương trình

Với z = 1 ta được nghiệm của hệ là 
Với z = 3 - i ta được nghiệm của hệ là 
Với z = -1 + i ta được nghiệm của hệ là 

Xét , ta có , nên z là nghiệm khác -1 của phương trình . Ta có:
$\iff$
+) 
nên 
+) 
Do đó xét phần thực của đẳng thức  ta suy ra được:
; 

Ta có: 
Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton cho vế phải và tách phần thực và phần ảo ta có

Từ đó suy ra:

Đặt , ta có: 
nên 
Vì thế: 
= 

Nên 
Từ đó ta suy ra đều phải chứng minh.

Đặt 
Suy ra 
a) Ta có:  nên lượng giác:


Từ đó ta được:  và
b) Với x + y + z = 0 thì 
Mặt khác, từ  suy ra 
Vì thế:

Do đó 

Vậy nên 

Xét số phức có 

Ta có 
Đẳng thức cần chứng minh trở thành

Rút gọn và chú ý $z\ne 0$ ta có 
Hay:  (đúng)
Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ta có . Không mất tính tổng quát, lấy . Theo giả thiết .
Lúc đó: 
Tương tự :

Do đó . Mặt khác: 

Từ đó ta có được: 

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Xét số phức: 
Lúc đó: 
Vì 

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Xét 
Vì 

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Xét

Ta luôn có :

Xét khai triển nhị thức Newton:

Vì  nên ta có:
(1)
Mặt khác, theo công thức Moivre thì:
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Chú ý rằng  nên:

Vì 
và  nên:

Vậy ta có 

Đặt  thì 
Do đó ta có:

Vì  nên:

Vậy 
Nhận xét: Cho n là giá trị cụ thể, suy ra được nhiều biểu thức lượng giác đẹp.

Các nghiệm của đa thức x⁴ - 1 là: $\pm 1, \pm i$
Đặt , ta có , nhưng 
- Nếu  thì .
Nếu  thì 
Vậy không tồn tại số nguyên dương n để đa thức  chia hết chho đa thức x⁴ - 1

a) Ta có:

Vì
- 
- 
- 
- 
Vậy 
b) 

Ta có:
- 
- 
- 
- 
Vì vậy