Trắc nghiệm Toán 12: Chủ đề 8. Dạng lượng giác số phức có đáp án

a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có:

d) Ta có

a) Ta có: 

b) Ta có: 

c) 

d) 

a) Ta có:

b) Ta có:

a) Ta có:

- Khi  thì dạng lượng giác là 
- Khi  thì dạng lượng giác là 
- Khi  thì không có dạng lượng giác.
b) Ta có

- Khi  thì dạng lượng giác là 
- Khi  thì dạng lượng giác là 
- Khi  thì không có dạng lượng giác.

a) Ta có

b) Ta có

c) Ta có

Ta có: 

z là số thực $\iff m=4k$,

Ta có 
Suy ra 

Gọi số phức  thay vào (1) ta có:



Vậy phần thực của z²⁰¹³ là

Ta có 
Áp dụng công thức Moa-vrơ:

. Phần thực của w là -1, phần ảo là 0.

Ta có z = 0; z = 2 không thỏa mãn phương trình nên .
nên đặt 

Nên

Vậy z luôn có phần thực là 1.

Ta có: 
a) Ta có


Do đó: 
b) Ta có



Vậy 

a) Ta có

b) Theo câu a) ta có

Ta có

Do đó:

Vậy .

Phương trình:  có nghiệm duy nhất là (vì VT của phương trình là một hàm số đồng biến nên đồ thị của nó cắt đường thẳng tại một điểm duy nhất)
Ta có:

Suy ra .

Ta có: 

Khi đó:

Vậy phần thực của w là -32, phần ảo là $-32\sqrt{3}$.

Vì  là số thực nên ta có các giá trị đặc biệt:
• Chọn z = 1 thì  (1)
• Chọn z = -1 thì  (2)
• Chọn z = i thì  (3)
• Chọn z = -i thì  (4)
Từ (1) và (2) ta có $b\in R$. Nhưng từ (3) và (4) ta có $ib\in R$ do đó b = 0
Khi đó, từ (1) và (3) thì $a, c\in R$
Vì $\left|z\right|=1$ nên đặt  ta có:

khi và chỉ khi 
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
Vậy giá trị cần tìm là a = b = c = 0 và c là một số thực tùy ý.

a) Ta có

Vậy 
b) Ta có

Vậy 
c) Ta có


Vậy 
d) 
Ta có 

Suy ra 
Vậy 

Gọi . Ta có:

, thay vào (2) ta có 
Suy ra 
Do đó


Vậy 

Ta có 

Đặt . Khi đó:

Theo bài ra ta có: . Suy ra 
Từ giả thiết của bài toán ta có: 

Từ đó ta có .

Ta có 
Gọi $\phi$ là một acgumen của z. Ta có 
Từ đó suy ra:

Chọn $\phi$ sao cho 
Vậy z có dạng lượng giác là .

Vì  và  có một acgumen là $-\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ nên $\frac{1}{z}$ có một acgumen là $-\frac{\mathrm{\pi }}{3}$, suy ra z có một acgumen là $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.
Gọi 
Ta có  là số thực khi và chỉ khi: 
. Vậy .

Đặt 
có một acgumen bằng $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$
Lại có: 

Từ (1) và (2) suy ra .

Đặt 


Áp dụng Bunhia copski:

$\left|z\right|$ nhỏ nhất khi $\left|z\right|=4$
Dấu “=” xảy ra khi: 
. Acgumen của z là: .

Đặt .
Suy ra . Khi đó:

Theo giả thiết ta có . Khi đó .
Suy ra 
(vì r > 0)
Vậy $z=\sqrt{3}-i$.

b) Kẻ tiếp tuyến OK với đường tròn. Dễ thấy OI = 1 nên 

Vậy 

Từ $\left|\frac{z-i}{z+3i}\right|=1\iff \left\{\begin{array}{l}x\in R\\ y=-1\end{array}\right.$với z = x + yi
Lúc đó: . Vì z + 1 có 1 acgumen bằng $\frac{-\mathrm{\pi }}{6}$ nên z + 1 có dạng 
Từ (1) và (2) suy ra 
Vậy $z=2\sqrt{3}-1-i$ là số phức cần tìm

Giả sử  thì 
Do $\frac{z-2}{z+2}$ có một acgument bằng $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ nên ta có

Do đó: 
Từ (1) và (2) ta suy ra y > 0 và

Ta có: 

Vậy w có 2 căn bậc hai là:

Ta có: 
w có môđun R=1 và acgumen 
Suy ra căn bậc ba của w là số phức z có: môđun  và một acgumen 
Với k = 0,1,2 ta có ba giá trị của $\phi$.

Vậy  có 3 căn bậc 3 là:

Ta có: có:

Lấy k = 0,1,2,3 ta có 4 giá trị cuả $\phi$

Vậy  có 4 căn bậc 4 là:

Căn bậc năm của số phức w = i là số phức z thỏa mãn z⁵ = i
Vì . Đặt  ta có

Lấy k = 0,1,2,3,4a được 5 giá trị của $\phi$:

Vậy có 5 căn bậc năm của i là:

a) 
b) 
Các căn bậc 4 của là :