Trắc nghiệm Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Ta có \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 2x - 1\\2x - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 2\).

Ta có: \({2^x} < 5\)\( \Leftrightarrow x < {\log _2}5\)

Vậy tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}5} \right)\).

\({5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - x - 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ { - 2;4} \right]\).

a) Phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\).

Thay x = 0 vào phương trình ta được \({9^{2.0}}{.27^{{0^2}}} = \frac{1}{3}\) (vô lí).

Vậy x = 0 không là nghiệm của phương trình.

b) Ta có \(f\left( x \right) = {9^{2x}}{.27^{{x^2}}}\)\( = {3^{4x}}{.3^{3{x^2}}}\)\( = {3^{3{x^2} + 4x}}\).

c) Đồ thị hàm số f(x) luôn nằm phía trên trục hoành.

d) Có \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x}} = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x}} = {3^{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}\) hoặc x = −1.

Khi đó \({\left( {{x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_2}} \right)^2} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = \frac{{10}}{9}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\) $\iff$ x² + 2x = 3 $\iff$ x² + 2x − 3 = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = −3.

Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\).

b) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1² + (−3)² = 10.

c) \({3^{3{x^2} - x}} = {3^{x + 5}}\) $\iff$ 3x² – x = x + 5 $\iff$ 3x² – 2x – 5 = 0 $\iff$ x = −1 hoặc \(x = \frac{5}{3}\).

Do đó tích các nghiệm là \( - \frac{5}{3}\).

d) Tập nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\) là {1; −3}.

Tập nghiệm của phương trình \({3^{3{x^2} - x}} = {3^{x + 5}}\) là \(\left\{ { - 1;\frac{5}{3}} \right\}\).

Do đó hai phương trình đã cho không cùng tập nghiệm.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Tập xác định của hàm số đã cho là ℝ.

b) Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ nên đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải.

c) Có f(x) = 4 $\iff$ 2^x = 4 $\iff$ x = 2.

d) log₂(f(x)) – x² + 2 > 0 $\iff$ log₂(2^x) – x² + 2 > 0 $\iff$ x – x² + 2 > 0 $\iff$ −1 < x < 2.

Do vậy có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn là 0 và 1.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Điều kiện: 2x + 4 > 0 $\iff$ x > −2. Suy ra tập xác định D = (−2; +∞).

b) Ta có f(2) = 2log₂(2.2 + 4) – 1 = 5. Do đó đồ thị hàm số qua điểm M(2; 5).

c) Ta có f(x) = 1 $\iff$ 2log₂(2x + 4) – 1 = 1 $\iff$ log₂(2x + 4) = 1 $\iff$ 2x + 4 = 2 $\iff$ x = −1.

d) Ta có f(x) ≤ 3 $\iff$ 2log₂(2x + 4) – 1 ≤ 3 $\iff$ log₂(2x + 4) ≤ 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4 > 0\\2x + 4 \le {2^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x \le 0\end{array} \right.\).

Tập nghiệm nguyên của bất phương trình là S = {−1; 0}.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}}\) \( \Rightarrow 1000 = {4000.10^{ - 2\alpha }}\) \( \Rightarrow \alpha = - \frac{1}{2}\log \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\log 4 \approx 0,31 \notin \left( {1;2} \right)\).

b) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {4000.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} < \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow - \alpha t < \log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > - \frac{1}{\alpha }\log \frac{1}{8}\)

\( \Leftrightarrow t > - \frac{1}{{\frac{1}{2}\log 4}}\log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > 3\).

c) Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 1 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.1}} = 2000\).

Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 2,5 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.2,5}} \approx 707\).

Lượng vi khuẩn mất đi khoảng 2000 – 707 = 1293 > 1200.

d) Ta có \[P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} = \frac{{40}}{{100}}.{P_0}\]\[ \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} = \frac{2}{5}\]\[ \Leftrightarrow t = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \alpha }} = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \frac{1}{2}\log 4}} \approx 1,32\].

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

Ta có \({2^{{x^2}}} = \frac{1}{{{4^{x - 4}}}}\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} = {2^{8 - 2x}}\) $\iff$ x² = 8 – 2x $\iff$ x = −4 hoặc x = 2.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là −2.

Trả lời: −2.

log₃(2x – 1) ≤ log₃5 $\iff$ 0 < 2x – 1 ≤ 5 $\iff$ \(\frac{1}{2} < x \le 3\).

Vậy bất phương trình trên có 3 nghiệm nguyên.

Trả lời: 3.

Ta có V(t) = A.(0,905)^t ≤ 300 $\iff$ 780.(0,905)^t ≤ 300 $\iff$ \(t \ge {\log _{0,905}}\frac{{300}}{{780}} \approx 9,57\).

Vậy sau ít nhất 10 năm sử dụng.

Trả lời: 10.

Theo đề ta có \(850 < A{\left( {1 + 8\% } \right)^3} \Leftrightarrow A > \frac{{850}}{{{{\left( {1 + 8\% } \right)}^3}}} \approx 674,8\).

Vậy số tiền ít nhất mà khách hàng phải gửi để sau 3 năm khách hàng đó nhận được lớn hơn 850 triệu đồng là 675 triệu đồng.

Trả lời: 675.

Ta có \(5000 = 1000{e^{10r}}\)\( \Leftrightarrow {e^{10r}} = 5\) \( \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 5}}{{10}}\).

Gọi t (giờ) là thời gian cần tìm để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần.

Do đó \(10000 = 1000{e^{rt}}\)\( \Leftrightarrow {e^{rt}} = 10\)\( \Leftrightarrow rt = \ln 10\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 10}}{r} = \frac{{\ln 10}}{{\frac{{\ln 5}}{{10}}}} = 10{\log _5}10 \approx 14,3\).

Vậy sau khoảng 14,3 giờ thì số lượng vi khuẩn sẽ tăng gấp 10 lần.

Trả lời: 14,3.