Trắc nghiệm Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {5x} \right) = 2\) là
\(x = \frac{8}{5}\).
\(x = 9\).
\(x = \frac{9}{5}\).
\(x = 8\).
C
TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có:\({\log _3}\left( {5x} \right) = 2 \Leftrightarrow 5x = {3^2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{5}\).
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {x - 1} \right) = 2\) là
\(x = 8\).
\(x = 9\).
\(x = 7\).
\(x = 10\).
D
TXĐ: \(D = \left( {1; + \infty } \right)\)
\({\log _3}\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 10\).
Cho phương trình \({\log _2}{(2x - 1)^2} = 2{\log _2}(x - 2).\)Số nghiệm thực của phương trình là:
\(1.\)
\(0.\)
\(3.\)
\(2.\)
B
Điều kiện: \(x > 2.\)
Phương trình đã cho tương đương với: \(2{\log _2}(2x - 1) = 2{\log _2}(x - 2)\)
\( \Leftrightarrow 2x - 1 = x - 2 \Leftrightarrow x = - 1\)
Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Tổng các nghiệm của phương trình \({\log _4}{x^2} - {\log _2}3 = 1\) là
\(6\)
\(5\)
\(4\)
\(0\)
D
Điều kiện \(x \ne 0\).
Có \({\log _4}{x^2} - {\log _2}3 = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}{x^2} = 1 + {\log _2}3 \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} = 2.{\log _2}6 \Leftrightarrow {x^2} = {6^2}\)
Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng \(0\).
Nghiệm của phương trình \({5^{2x - 4}} = 25\) là
\(x = 3\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = - 1\).
A
Ta có \({5^{2x - 4}} = 25 \Leftrightarrow {5^{2x - 4}} = {5^2} \Leftrightarrow 2x - 4 = 2 \Leftrightarrow x = 3.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ 3 \right\}.\)
Nghiệm của phương trình \({2^{2x - 4}} = {2^x}\) là
\(x = 16\).
\(x = - 16\).
\(x = - 4\).
\(x = 4\).
D
Ta có: \({2^{2x - 4}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x - 4 = x \Leftrightarrow x = 4.\)
Tập nghiệm của phương trình: \({4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272\) là
3; 2
\[\left\{ 2 \right\}\].
\[\left\{ 3 \right\}\].
\[\left\{ {3\,;\,5} \right\}\].
C
\({4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272\)\( \Leftrightarrow {4.4^x} + \frac{{{4^x}}}{4} = 272\)\( \Leftrightarrow {4^x} = 64\)\( \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ 3 \right\}\].
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x \ge 1\) là
\(\left( {10; + \infty } \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left[ {10; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;10} \right)\).
C
\(\log x \ge 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge 10\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 10.\)
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\left[ {10; + \infty } \right).\)
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {3x - 1} \right) > 3\).
\(x > 3\)
\(\frac{1}{3} < x < 3\)
\(x < 3\)
\(x > \frac{{10}}{3}\)
A
Điều kiện: \(3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\).
Bất phương trình\( \Leftrightarrow 3x - 1 > {2^3} \Leftrightarrow 3x > 9 \Leftrightarrow x > 3\).
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 3.
Tìm tập nghiệm \(S\)của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\).
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
\(S = \left( { - 1;2} \right)\).
\(S = \left( { - \infty ;2} \right)\).
\(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\).
D
Ta có \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 2x - 1\\2x - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 2\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^x} < 5\) là
\(\left( { - \infty ;{{\log }_2}5} \right)\).
\(\left( {{{\log }_2}5; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;{{\log }_5}2} \right)\).
\(\left( {{{\log }_5}2; + \infty } \right)\).
A
Ta có: \({2^x} < 5\)\( \Leftrightarrow x < {\log _2}5\)
Vậy tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}5} \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}}\) là
\(\left[ { - 2;4} \right]\).
\(\left[ { - 4;2} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
A
\({5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - x - 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ { - 2;4} \right]\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số mũ \(f\left( x \right) = {9^{2x}}{.27^{{x^2}}}\). Xét phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\).
a) x = 0 là một nghiệm của phương trình.
b) \(f\left( x \right) = {3^{3{x^2} + 4x}}\).
c) Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục hoành.
d) \({\left( {{x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_2}} \right)^2} = \frac{{10}}{9}\) với x1; x2 là hai nghiệm của phương trình trên.
a) Phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\).
Thay x = 0 vào phương trình ta được \({9^{2.0}}{.27^{{0^2}}} = \frac{1}{3}\) (vô lí).
Vậy x = 0 không là nghiệm của phương trình.
b) Ta có \(f\left( x \right) = {9^{2x}}{.27^{{x^2}}}\)\( = {3^{4x}}{.3^{3{x^2}}}\)\( = {3^{3{x^2} + 4x}}\).
c) Đồ thị hàm số f(x) luôn nằm phía trên trục hoành.
d) Có \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x}} = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x}} = {3^{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}\) hoặc x = −1.
Khi đó \({\left( {{x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_2}} \right)^2} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = \frac{{10}}{9}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho phương trình \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\) và phương trình \({3^{3{x^2} - x}} = {3^{x + 5}}\).
a) x = 1 là nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\).
b) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\) bằng 16.
c) Phương trình \({3^{3{x^2} - x}} = {3^{x + 5}}\) có tích các nghiệm bằng \( - \frac{5}{3}\).
d) Hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm.
a) \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\) Û x2 + 2x = 3 Û x2 + 2x − 3 = 0 Û x = 1 hoặc x = −3.
Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\).
b) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 12 + (−3)2 = 10.
c) \({3^{3{x^2} - x}} = {3^{x + 5}}\) Û 3x2 – x = x + 5 Û 3x2 – 2x – 5 = 0 Û x = −1 hoặc \(x = \frac{5}{3}\).
Do đó tích các nghiệm là \( - \frac{5}{3}\).
d) Tập nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\) là {1; −3}.
Tập nghiệm của phương trình \({3^{3{x^2} - x}} = {3^{x + 5}}\) là \(\left\{ { - 1;\frac{5}{3}} \right\}\).
Do đó hai phương trình đã cho không cùng tập nghiệm.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số y = f(x) = 2x.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là ℝ.
b) Hàm số đã cho có đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải.
c) Phương trình f(x) = 4 có nghiệm x = 2.
d) Có đúng 3 số nguyên x thỏa mãn log2(f(x)) – x2 + 2 > 0.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là ℝ.
b) Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ nên đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải.
c) Có f(x) = 4 Û 2x = 4 Û x = 2.
d) log2(f(x)) – x2 + 2 > 0 Û log2(2x) – x2 + 2 > 0 Û x – x2 + 2 > 0 Û −1 < x < 2.
Do vậy có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn là 0 và 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số f(x) = 2log2(2x + 4) – 1.
a) Hàm số có tập xác định là ℝ.
b) Đồ thị hàm số qua điểm M(2; 5).
c) Phương trình f(x) = 1 có nghiệm x = −1.
d) Bất phương trình f(x) ≤ 3 có 3 nghiệm nguyên.
a) Điều kiện: 2x + 4 > 0 Û x > −2. Suy ra tập xác định D = (−2; +∞).
b) Ta có f(2) = 2log2(2.2 + 4) – 1 = 5. Do đó đồ thị hàm số qua điểm M(2; 5).
c) Ta có f(x) = 1 Û 2log2(2x + 4) – 1 = 1 Û log2(2x + 4) = 1 Û 2x + 4 = 2 Û x = −1.
d) Ta có f(x) ≤ 3 Û 2log2(2x + 4) – 1 ≤ 3 Û log2(2x + 4) ≤ 2
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4 > 0\\2x + 4 \le {2^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x \le 0\end{array} \right.\).
Tập nghiệm nguyên của bất phương trình là S = {−1; 0}.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Người ta dùng thuốc để khử khuẩn cho một thùng nước. Biết rằng nếu lúc đầu mỗi mililít nước chứa P0 vi khuẩn thì sau t giờ (kể từ khi cho thuốc vào thùng), số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước là P = P0.10-αt với α là một hằng số dương nào đó. Biết rằng ban đầu mỗi mililít nước có 4000 vi khuẩn và sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước là 1000.
a) α nằm trong khoảng (1; 2).
b) Sau 3 giờ 30 phút thì lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước ít hơn 500.
c) Lượng vi khuẩn mất đi trong mỗi mililít trong khoảng thời gian từ 1 giờ đến 2,5 giờ tính từ lúc dùng thuốc thì lớn hơn 1200.
d) Lượng vi khuẩn sau khoảng 1,32 giờ sẽ bằng 40% lượng vi khuẩn ban đầu.
a) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}}\) \( \Rightarrow 1000 = {4000.10^{ - 2\alpha }}\) \( \Rightarrow \alpha = - \frac{1}{2}\log \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\log 4 \approx 0,31 \notin \left( {1;2} \right)\).
b) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {4000.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} < \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow - \alpha t < \log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > - \frac{1}{\alpha }\log \frac{1}{8}\)
\( \Leftrightarrow t > - \frac{1}{{\frac{1}{2}\log 4}}\log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > 3\).
c) Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 1 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.1}} = 2000\).
Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 2,5 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.2,5}} \approx 707\).
Lượng vi khuẩn mất đi khoảng 2000 – 707 = 1293 > 1200.
d) Ta có \[P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} = \frac{{40}}{{100}}.{P_0}\]\[ \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} = \frac{2}{5}\]\[ \Leftrightarrow t = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \alpha }} = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \frac{1}{2}\log 4}} \approx 1,32\].
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Tính tổng các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2}}} = \frac{1}{{{4^{x - 4}}}}\).
Ta có \({2^{{x^2}}} = \frac{1}{{{4^{x - 4}}}}\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} = {2^{8 - 2x}}\) Û x2 = 8 – 2x Û x = −4 hoặc x = 2.
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là −2.
Trả lời: −2.
Bất phương trình log3(2x – 1) ≤ log35 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
log3(2x – 1) ≤ log35 Û0 < 2x – 1 ≤ 5 Û \(\frac{1}{2} < x \le 3\).
Vậy bất phương trình trên có 3 nghiệm nguyên.
Trả lời: 3.
Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc ô tô sau t năm sử dụng được mô hình hóa bằng công thức V(t) = A.(0,905)t, trong đó A là giá xe (tính theo triệu đồng) lúc mới mua. Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết A = 780 (triệu đồng).
Ta có V(t) = A.(0,905)t ≤ 300 Û 780.(0,905)t ≤ 300 Û \(t \ge {\log _{0,905}}\frac{{300}}{{780}} \approx 9,57\).
Vậy sau ít nhất 10 năm sử dụng.
Trả lời: 10.
Một ngân hàng X, quy định về số tiền nhận được của khách hàng sau n năm gửi tiền vào ngân hàng tuân theo công thức P(n) = A(1 +8%)n, trong đó A là số tiền gửi ban đầu của khách hàng. Hỏi số tiền ít nhất mà khách hàng phải gửi là bao nhiêu để sau 3 năm khách hàng đó nhận được lớn hơn 850 triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng triệu)?
Theo đề ta có \(850 < A{\left( {1 + 8\% } \right)^3} \Leftrightarrow A > \frac{{850}}{{{{\left( {1 + 8\% } \right)}^3}}} \approx 674,8\).
Vậy số tiền ít nhất mà khách hàng phải gửi để sau 3 năm khách hàng đó nhận được lớn hơn 850 triệu đồng là 675 triệu đồng.
Trả lời: 675.
Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức f(t) = A.ert, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng (r > 0), t (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Ta có \(5000 = 1000{e^{10r}}\)\( \Leftrightarrow {e^{10r}} = 5\) \( \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 5}}{{10}}\).
Gọi t (giờ) là thời gian cần tìm để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần.
Do đó \(10000 = 1000{e^{rt}}\)\( \Leftrightarrow {e^{rt}} = 10\)\( \Leftrightarrow rt = \ln 10\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 10}}{r} = \frac{{\ln 10}}{{\frac{{\ln 5}}{{10}}}} = 10{\log _5}10 \approx 14,3\).
Vậy sau khoảng 14,3 giờ thì số lượng vi khuẩn sẽ tăng gấp 10 lần.
Trả lời: 14,3.
