Bài tập Các bài toán thực tiễn liên quan đến phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Một khu rừng ban đầu có trữ lượng gỗ là 6.105 mét khối gỗ. Gọi tốc độ sinh trưởng mỗi năm của khu rừng là a%. Biết sau 4 năm thì sản lượng gỗ xấp xỉ là 6,988.105 mét khối. Giá trị của a (làm tròn đến hàng đơn vị) là:
a = 1;
a = 2;
a = 3;
a = 4.
Đáp án đúng là: D
Trữ lượng gỗ sau 1 năm của khu rừng là:
\({6.10^5} + {6.10^5}.\frac{{\rm{a}}}{{100}} = {6.10^5}\left( {1 + \frac{{\rm{a}}}{{100}}} \right)\)
Trữ lượng gỗ sau 2 năm của khu rừng là:
\({6.10^5}\left( {1 + \frac{{\rm{a}}}{{100}}} \right) + {6.10^5}\left( {1 + \frac{{\rm{a}}}{{100}}} \right).\frac{{\rm{a}}}{{100}} = = {6.10^5}{\left( {1 + \frac{{\rm{a}}}{{100}}} \right)^2}\)
Trữ lượng gỗ sau 4 năm của khu rừng là:
\({6.10^5}{\left( {1 + \frac{{\rm{a}}}{{100}}} \right)^4} = 6,{988.10^5}\)
Từ đó tìm được a xấp xỉ 4.
Chị B gửi 10 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 9,2% mỗi năm và lãi suất hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm chị B thu được tổng số tiền là 45 triệu đồng, biết lãi suất không đổi?
10 năm;
15 năm;
17 năm;
20 năm.
Đáp án đúng là: C
Gọi A là số tiền gửi ban đầu, sau n năm (n ∈ ℕ) số tiền thu được là:
An = A(1 + 0,092)n = A(1,092)n.
Từ đó theo đề bài ta có:
10 . (1,092)n = 45 ⇔ \({\left( {1,092} \right)^{\rm{n}}} = 4,5\) ⇔ n = log1,092 4,5 ≈ 17 (năm)
Khi quan sát quá trình sao chép tế bào trong phòng thí nghiệm, nhà sinh vật học nhận ra các tế bào nhân đôi sau mỗi phút. Biết sau một thời gian t phút thì có 200000 tế bào và ban đầu có 1 tế bào. Khi đó giá trị của t (làm tròn đến hàng phần trăm) bằng:
17,16 phút;
17,61 phút;
17,6 phút;
18 phút.
Đáp án đúng là: B
Do ban đầu có một tế bào nên ta có:
Sau phút sao chép thứ t số tế bào là:
2t = 200000
⇔ t = log2200000
⇔ t ≈ 17,61 (phút).
Biết thể tích khí CO2 năm 2000 là V (m3). 8 năm tiếp theo, thể tích khí CO2 tăng m%, 10 năm tiếp theo nữa tăng n%. Thể tích khí CO2 năm 2016 là:
\(\frac{{{\rm{V}}\left( {100 + {\rm{m}}} \right){{\left( {100 + {\rm{n}}} \right)}^8}}}{{{{10}^{32}}}}\);
\(\frac{{{\rm{V}}{{\left( {100 + {\rm{m}}} \right)}^8}{{\left( {100 + {\rm{n}}} \right)}^{10}}}}{{{{10}^{31}}}}\);
\(\frac{{{\rm{V}}{{\left( {100 + {\rm{m}}} \right)}^8}{{\left( {100 + {\rm{n}}} \right)}^8}}}{{{{10}^{31}}}}\);
\(\frac{{{\rm{V}}{{\left( {100 + {\rm{m}}} \right)}^8}{{\left( {100 + {\rm{n}}} \right)}^{10}}}}{{{{10}^{32}}}}\).
Đáp án đúng là: A
Từ năm 2000 đến năm 2016 là 16 năm, trong đó 8 năm đầu chỉ số tăng m% và 8 năm sau chỉ số tăng n%.
Khi đó thể tích khí CO2 năm 2016 là:
\({{\rm{V}}_{2016}} = {\rm{V}}{\left( {1 + \frac{{\rm{m}}}{{{\rm{100}}}}} \right)^8}{\left( {1 + \frac{{\rm{n}}}{{{\rm{100}}}}} \right)^8} = \frac{{{\rm{V}}{{\left( {100 + {\rm{m}}} \right)}^8}{{\left( {100 + {\rm{n}}} \right)}^8}}}{{{{10}^{32}}}}\).
Biết tỉ lệ lạm phát của Việt Nam trong 10 năm qua là 4%. Nếu năm 2017, giá xăng là 20000 đồng/lít thì một lít xăng năm 2023 có giá là:
23000 đồng;
25000 đồng;
28000 đồng;
27000 đồng.
Đáp án đúng là: B
Giá xăng năm 2018 là: 20000 . (1 + 0,04).
Giá xăng năm 2019 là: 20000 . (1 + 0,04)2.
Giá xăng năm 2023 là:
20000 . (1 + 0,04)6 ≈ 25000 (đồng).
Một khu rừng có trữ lượng gỗ 5.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong khu rừng là 8% mỗi năm. Sau 7 năm khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?
5.105.(1,8)7;
5.105.(1 + 0,087);
5.105.(1,08)7;
5.105.(0,08)7.
Đáp án đúng là: C
Nếu ban đầu khu rừng có A mét khối gỗ và tốc độ sinh trưởng là r% thì sau n năm khu rừng sẽ có \({\rm{A}}{\left( {1 + \frac{{\rm{r}}}{{{\rm{100}}}}} \right)^{\rm{n}}}\) mét khối gỗ.
Vậy sau 7 năm khu rừng có:
\({5.10^5}{\left( {1 + \frac{8}{{{\rm{100}}}}} \right)^7} = {5.10^5}.{\left( {1,08} \right)^7}\) (m3)
Để đo đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ âm là đềxiben (dB). Khi đó mức cường độ âm L của âm được tính theo công thức: \({\rm{L}} = 10\log \frac{{\rm{I}}}{{{{\rm{I}}_{\rm{0}}}}}\), trong đó I là cường độ tại thời điểm đang xét, I0 cường độ âm ở ngưỡng nghe (I0 = 10-12 w/m2). Một cuộc trò chuyện trong lớp học có mức cường độ âm trung bình là 58 dB. Khi đó cường độ âm tương ứng là:
6,3.10-7 w/m2;
5,4.10-7 w/m2;
3,8.10-7 w/m2;
4,9.10-7 w/m2.
Đáp án đúng là: A
Theo giả thiết ta có L = 58 dB, I0 = 10-12 w/m2.
Áp dụng công thức \({\rm{L}} = 10\log \frac{{\rm{I}}}{{{{\rm{I}}_{\rm{0}}}}}\) ta có:
\(58 = 10\log \frac{{\rm{I}}}{{{{\rm{I}}_0}}}\) ⇔ \(\log \frac{{\rm{I}}}{{{{\rm{I}}_0}}} = 5,8\) ⇔ \(\frac{{\rm{I}}}{{{{\rm{I}}_0}}} = {10^{5,8}}\) ⇔ I = 105,8 . 10-12 ≈ 6,3 . 10-7 w/m2.
Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,04 %. Biết rằng dân số Việt Nam ngày 1 tháng 4 năm 2014 là 90728900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào ngày 1 tháng 4 năm 2040 dân số của Việt Nam là:
118732368;
118733268;
118733628;
117833268.
Đáp án đúng là: B
Vào ngày 1 tháng 4 năm 2040 dân số của Việt Nam là:
90728900 . (1 + 0,0104)26 = 118733268 (người).
Ông Nghĩa muốn sở hữu khoản tiền 20 triệu đồng vào ngày 10/12/2023 ở một tài khoản với lãi suất năm 6%. Hỏi ông Nghĩa đã đầu tư tối thiểu bao nhiêu tiền trên tài khoản này vào ngày 10/12/2018 để được mục tiêu đề ra?
14945163,46 đồng;
14495163,46 đồng;
14945361,46 đồng;
14954163,46 đồng.
Đáp án đúng là: A
Gọi A là số tiền mà ông Nghĩa đã đầu tư.
Ta có A(1 + r)5 = 20000000.
⇒ \({\rm{A}} = \frac{{20000000}}{{{{(1 + 0,06)}^5}}} = 14945163,46\) (đồng).
Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức \({\rm{m(t}}) = {{\rm{m}}_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{\rm{t}}}{{\rm{T}}}}}\), trong đó m0 là chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ biến thành chất khác). Với T = 2000 năm, hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \(\frac{1}{5}\) khối lượng chất phóng xạ ban đầu?
4643 năm;
4644 năm;
4446 năm;
4634 năm.
Đáp án đúng là: B
Với T = 2000 năm và khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \(\frac{1}{5}\) khối lượng chất phóng xạ ban đầu, ta có:
\({\rm{m(t)}} = {{\rm{m}}_{\rm{0}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{\rm{t}}}{{{\rm{2000}}}}}} < \frac{1}{5}{{\rm{m}}_{\rm{0}}}\)
⇔ \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{\rm{t}}}{{{\rm{2000}}}}}} < \frac{1}{5}\)
⇔ \(\frac{{\rm{t}}}{{{\rm{2000}}}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{5}} \right)\)
⇔ \({\rm{t}} > 2000.{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{5}} \right) = 4643,85619\)
Vậy cần ít nhất 4644 năm thì khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \(\frac{1}{5}\) khối lượng chất phóng xạ ban đầu.
Ông A gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm theo hình thức lãi kép. Tổng số tiền nhận được sau n năm tính bằng công thức A = 100 ∙ (1,06)n (triệu đồng). Hỏi cần gửi ít nhất bao nhiêu năm để tổng số tiền thu về vượt mức 150 triệu đồng?
6 năm.
7 năm.
8 năm.
9 năm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có bất phương trình: 100 ∙ (1,06)n > 150
⇔ 1,06n > 1,5
⇔ n > \({\log _{1,06}}(1,5)\) ≈ 6,958.
Vì n là số nguyên nên ông A cần gửi ít nhất 7 năm.
9,70 km.
9,71 km.
4,85 km.
19,41 km.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Thay p = 25 vào công thức: \(\ln \left( {\frac{{25}}{{100}}} \right) = - \frac{h}{7}\)
⇔ ln(0,25) = \( - \frac{h}{7}\)
⇔ h = –7 ∙ ln(0,25) = 7 ∙ ln(4) ≈ 9,704 km.
Làm tròn đến hai chữ số thập phân ta được 9,70 km.
Diện tích bề mặt lan rộng của một đám mây khói ô nhiễm sau t giờ kể từ khi xuất hiện được ước tính bởi hàm số S(t) = 150(1,2)t (km2). Hỏi sau bao nhiêu giờ thì diện tích đám mây ô nhiễm này đạt mức 300 km2 (làm tròn đến một chữ số thập phân)?
3,5 giờ.
3,6 giờ.
3,7 giờ.
3,8 giờ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Cần giải phương trình: 150(1,2)t = 300
⇔ 1,2t = 2 ⇔ t = \({\log _{1,2}}\left( 2 \right)\) ≈ 3,801.
Làm tròn đến một chữ số thập phân ta được 3,8 giờ.
2 lần.
20 lần.
100 lần.
1000 lần.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi A1 và A2 lần lượt là biên độ rung chấn của trận động đất 6,5 độ Richter và 4,5 độ Richter.
Ta có:
\(\log \left( {\frac{A}{{{A_0}}}} \right)\)= 6,5 suy ra \(\frac{{{A_1}}}{{{A_0}}}\) = 106,5 hay A1 = 106,5 ∙ A0
\(\log \left( {\frac{{{A_2}}}{{{A_0}}}} \right)\)= 4,5 suy ra \(\frac{{{A_2}}}{{{A_0}}}\) = 104,5 hay A2 = 104,5 ∙ A0
Lập tỉ số: \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}\) = \(\frac{{{{10}^{6,5}} \cdot {A_0}}}{{{{10}^{4,5}} \cdot {A_0}}} = {10^{6,5 - 4,5}} = {10^2} = 100\).
Vậy trận động đất 6,5 độ Richter có biên độ lớn gấp 100 lần trận 4,5 độ Richter.
0,98% .
1,05% .
0,89% .
1,20%.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có P0 = 2, P(5) = 2,1.
Phương trình: 2 ∙ e5r = 2,1
⇔ e5r = 1,05 ⇔ 5r = ln(1,05) ≈ 0,04879.
Từ đó: r = \(\frac{{0,04879}}{5}\) ≈ 0,009758 = 0,98%.
Độ pH của một dung dịch được tính bằng công thức pH = -log[H+], trong đó [H+] là nồng độ ion hydrogen tính bằng mol/lít. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Nước cất trung tính có pH = 7, suy ra nồng độ [H+] bằng 10–7 mol/lít.
Khi nồng độ [H+] tăng lên 100 lần thì độ pH sẽ tăng thêm 2 đơn vị.
Một dung dịch có pH < 5 đồng nghĩa với việc nồng độ [H+] > 10–5 mol/lít.
Khi pha loãng dung dịch axit (làm giảm nồng độ [H+]), độ pH của dung dịch sẽ giảm xuống.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. –log[H+] = 7 ⇒ [H+] = 10-7.
b) Sai. Nồng độ tăng 100 lần ⇒ pH mới là -log(100[H+]) = –2 – log[H+] = pH – 2. Độ pH giảm đi 2 đơn vị.
c) Đúng. – log[H+] < 5 ⇒ log[H+] > – 5, do đó [H+] > 10-5.
d) Sai. Giảm nồng độ [H+] làm cho log[H+] nhỏ hơn, dẫn đến -log[H+] lớn hơn, nên độ pH phải tăng lên.
Nồng độ một loại thuốc trong máu của bệnh nhân sau t giờ được tiêm vào cơ thể tính bằng công thức C(t) = 50(0,5)t (đơn vị: mg/L). Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Nồng độ thuốc trong máu ngay tại thời điểm mới tiêm (t = 0) là 50 mg/L.
Chu kì bán thải của loại thuốc này (thời gian để nồng độ giảm đi một nửa) là 2 giờ.
Sau 3 giờ tiêm, nồng độ thuốc trong máu giảm xuống chỉ còn 6,25 mg/L.
Cần chờ ít nhất 5 giờ đồng hồ để nồng độ thuốc trong máu giảm xuống mức an toàn không vượt quá 3,125 mg/L.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Thay t = 0 vào ta được C(0) = 50(0,5)0 = 50.
b) Sai. Để nồng độ giảm một nửa (còn 25 mg/L): 50(0,5)t = 25 ⇒ (0,5)t = 0,5 nên t = 1. Chu kì bán thải là 1 giờ.
c) Đúng. Thay t = 3 : C(3) = 50(0,5)3 = 50 ∙ 0,125 = 6,25.
d) Sai. Giải bất phương trình 50(0,5)t ≤ 3,125 ⇒ (0,5)t ≤ \(\frac{1}{{16}}\) ⇔ t ≥ 4.
Vậy chỉ cần chờ ít nhất 4 giờ đồng hồ để nồng độ thuốc trong máu giảm xuống mức an toàn dưới 3,125 mg/L.
Khi cường độ âm thanh I bằng với cường độ âm chuẩn I0 thì mức cường độ âm bằng 0 dB.
Nếu mức cường độ âm của một động cơ phản lực đo được là 90 dB thì cường độ âm thực tế I bằng 109 ∙ I0.
Hai nguồn âm có mức cường độ âm L chênh lệch nhau 20 dB thì cường độ âm thanh I của chúng chênh lệch nhau 20 lần.
Để mức cường độ âm giảm đi một nửa (từ 100 dB xuống 50 dB), cường độ âm thực tế I chỉ cần giảm đi một nửa.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. L = 10 ∙ log(1) = 0.
b) Đúng. 90 = 10 ∙ \(\log \left( {\frac{I}{{{I_0}}}} \right)\) ⇒ \(\log \left( {\frac{I}{{{I_0}}}} \right)\) = 9 hay I = 109 ∙ I0.
c) Sai. L1 – L2 = 10 ∙ \(\log \left( {\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}} \right)\) = 20 ⇒ \(\log \left( {\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}} \right)\) = 2, vậy tỉ lệ chênh lệch \(\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}\) = 102 = 100 lần.
d) Sai. 100 dB ứng với I = 1010 ∙ I0; 50 dB ứng với I = 105 ∙ I0. Cường độ âm đã giảm đi 105 lần (100000 lần) chứ không phải một nửa.
Chu kì bán rã của Carbon-14 (thời gian lượng chất còn lại 50%) là 5730 năm.
Lượng Carbon-14 trong mẫu vật giảm liên tục theo thời gian (hàm số nghịch biến).
Nếu một mẩu xương chỉ còn lại 12,5% lượng Carbon-14 so với sinh vật sống thì mẩu xương đó có tuổi đời khoảng 17190 năm.
Thời gian để lượng Carbon-14 tiêu biến từ 100% xuống 25% bằng với thời gian nó tiêu biến từ 25% xuống 0%.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Thay t = 5730 vào công thức, ta được:
m(5730) = m0 ⋅ \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{5730}}{{5730}}}}\) = m0 ⋅ \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^1}\) = \(\frac{{{m_0}}}{2}\)
Vậy sau 5730 năm, lượng Carbon-14 còn lại bằng 50% lượng ban đầu. Do đó, chu kì bán rã của Carbon-14 là 5730 năm.
b) Đúng. Cơ số của hàm số mũ là \(\frac{1}{2}\) < 1 nên đây là hàm nghịch biến.
c) Đúng. 12,5% = \(\frac{1}{8}\). Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{5730}}}}\) = \(\frac{1}{8}\) = \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\) ⇒ t = 3 ∙ 5730 = 17190.
d) Sai. Carbon-14 không bao giờ phân rã xuống mức tuyệt đối 0% trong mô hình hàm mũ cơ bản (tiệm cận).
Số lượng sản phẩm một công nhân sản xuất được mỗi ngày sau t tháng làm việc được mô phỏng bằng hàm lôgarit Q(t) = 10 + 30 ∙ log2(t + 1). Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Trong tháng đầu tiên mới vào làm (t = 0), năng suất của người công nhân là 10 sản phẩm mỗi ngày.
Sau tròn 1 tháng làm việc (t = 1), người này có thể sản xuất được 40 sản phẩm mỗi ngày.
Cần tối thiểu 4 tháng làm việc để người công nhân đạt năng suất 70 sản phẩm mỗi ngày.
Theo mô hình này, người công nhân không bao giờ có thể đạt mức năng suất 100 sản phẩm một ngày.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. t = 0 ⇒ Q(0) = 10 + 30 ∙ log2(1) = 10.
b) Đúng. t = 1 ⇒ Q(1) = 10 + 30 ∙ log2(2) = 10 + 30 = 40.
c) Sai. Giải 10 + 30 ∙ log2(t + 1) = 70 ⇒ 30 ∙ log2(t + 1) = 60 hay log2(t + 1) = 2 ⇒ t +1 = 4 ⇒ t = 3 (tháng).
Vậy cần 3 tháng để đạt năng suất 70 sản phẩm.
d) Sai. 10 + 30 ∙ log2(t+1) = 100 ⇒ log2 (t +1) = 3 ⇒ t = 7. Sau 7 tháng sẽ đạt mức 100 sản phẩm.
Cường độ ánh sáng Mặt Trời xuyên qua nước biển giảm dần theo độ sâu x (mét) tính bằng công thức I(x) = I0 ∙ e-0,4x. Tại độ sâu bao nhiêu mét thì cường độ ánh sáng chỉ còn đúng bằng 10% (hay 0,1 lần) cường độ ánh sáng tại mặt nước I0? (Làm tròn kết quả đến phần nguyên).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6
Ta có phương trình: e-0,4x = 0,1 -0,4x = ln(0,1) x = \(\frac{{\ln (0,1)}}{{ - 0,4}}\) ≈ 5,756.
Làm tròn đến phần nguyên ta được 6.
Định luật làm nguội của Newton chỉ ra rằng nhiệt độ T(t) của một cốc nước nóng để trong phòng 20°C sau t phút được tính bởi công thức T(t) = 20 + 80(0,5)t. Hỏi sau bao nhiêu phút thì nhiệt độ cốc nước sẽ giảm xuống chỉ còn 30°C?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Cần giải phương trình: 20 + 80(0,5)t = 30
⇔ 80(0,5)t = 10 ⇔ (0,5)t = \(\frac{1}{8}\)
Vì \(\frac{1}{8}\) = \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\) ⇒ t = 3.
Số người biết đến một bài đăng trên mạng xã hội sau t ngày được đánh giá theo mô hình hàm mũ N(t) = 500 ∙ \({3^{\frac{t}{2}}}\). Hỏi sau bao nhiêu ngày thì bài đăng đó tiếp cận được 40500 người?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 8
Ta có phương trình: 500 ∙ \({3^{\frac{t}{2}}}\)= 40500
⇔ \({3^{\frac{t}{2}}}\) = 81
Do 81 = 34 nên \(\frac{t}{2}\) = 4 ⇒ t = 8 (ngày).
Người ta dùng thuốc để khử khuẩn cho một thùng nước. Biết rằng nếu lúc đầu mỗi mililit nước chứa P0 vi khuẩn thì sau t giờ (kể từ khi cho thuốc vào thùng), số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước là P = P0⋅10–αt, với α là một hằng số dương nào đó. Biết rằng ban đầu mỗi mililit nước có 9000 vi khuẩn và sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước là 6000. Sau thời gian bao lâu thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1000? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 10,8
Thay P = 6000, P0 = 9000, t = 2 vào công thức đã cho, ta được:
6000 = 9000⋅10–2α ⇔10–2α = \(\frac{{6000}}{{9000}}\) ⇔10–2α = \(\frac{2}{3}\)
Lấy lôgarit thập phân hai vế, ta có:
–2α = log\(\frac{2}{3}\) ⇔ α = \( - \frac{1}{2}\)log\(\frac{2}{3}\) ⇔ α = \(\frac{1}{2}\)log\(\frac{3}{2}\)
Để số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1000
⇒ 9000⋅10–αt ≤ 1000 ⇔ 10–αt ≤ \(\frac{{1000}}{{9000}}\) ⇔ 10–αt ≤ \(\frac{1}{9}\) ⇔ –αt ≤ log\(\frac{1}{9}\) ⇔ t ≥ \( - \frac{1}{\alpha }\) log\(\frac{1}{9}\) (*)
Thay α = \(\frac{1}{2}\)log\(\frac{3}{2}\) vào bất phương trình (*):
t ≥ \( - \frac{1}{{\frac{1}{2}\log \frac{3}{2}}}\) log\(\frac{1}{9}\) ⇔ t ≥ \( - \frac{2}{{\log \frac{3}{2}}}\) log\(\frac{1}{9}\)
Mà log\(\frac{1}{9}\) = –2log3 nên t ≥ \( - \frac{2}{{\log \frac{3}{2}}}\)(–2log3) ⇔ t ≥ \(\frac{{4\log 3}}{{\log \frac{3}{2}}}\) ≈ 10,8 (giờ)
Vậy sau 10,8 giờ thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1000.
Dân số thành phố Hà Nội năm 2022 khoảng 8,4 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm của Hà Nội không đổi và bằng r = 1,04%. Biết rằng, sau t năm dân số Hà Nội (tính từ mốc năm 2022) ước tính theo công thức: S = A ⋅ ert (1), trong đó A là dân số năm lấy làm mốc. Hỏi từ năm nào trở đi, dân số của Hà Nội vượt quá 10 triệu người?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2039
Thay A = 8,4; r = 1,04% = 0,0104 vào công thức (1), ta được:
S = 8,4 ⋅ e0,0104t (triệu người)
Dân số của Hà Nội vượt quá 10 triệu người
⇔ 8,4 ⋅ e0,0104t > 10 ⇔ e0,0104t > \(\frac{{10}}{{8,4}}\)
Lấy ln hai vế, ta có:
0,0104t > ln\(\left( {\frac{{10}}{{8,4}}} \right)\) ⇔ 0,0104t > ln10 – ln8,4
⇔ t > \(\frac{{\ln 10 - \ln 8,4}}{{0,0104}}\) ≈ 16,764 ≈ 17 (năm)
Vì t được tính theo số năm kể từ năm 2022, nên năm đầu tiên dân số Hà Nội vượt quá 10 triệu người là sau khoảng 17 năm kể từ năm 2022, tức là: 2022 + 17 = 2039
Vậy từ năm 2039 dân số Hà Nội được dự đoán sẽ vượt quá 10 triệu người.
