Bài tập Bất phương trình lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x > 0 và 2 – 9x > 0, tức .

Khi đó bất phương trình trở log₅x < log₅(2 – 9x)²

Vì cơ số 5 > 1 nên ta có x < (2 – 9x)²

⇔ 81x² – 37x + 4 > 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\text{x}>\frac{37+\sqrt{73}}{162}\\ \text{x<}\frac{37-\sqrt{73}}{162}\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x – 2 > 0 ⇔ x > 2

Ta có: \({\log _{\frac{1}{2}}}(x - 2)\) ≤ 1. Vì 0 < a = \(\frac{1}{2}\) < 1

⇒ x – 2 ≥ \(\frac{1}{2}\) ⇔ x ≥ \(\frac{5}{2}\)

Kết hợp với điều kiện ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left[ {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x > 0\\x + 6 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > - 6\end{array} \right.\) ⇔ x > 0

Vì a = 10 > 1 nên ta có: log(2x) < log(x + 6) ⇔ 2x < x + 6 ⇔ 2x – x < 6 ⇔ x < 6

Kết hợp với điều kiện, suy ra 0 < x < 6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (0; 6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6 > 0\\x > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > - 6\\x > 0\end{array} \right.\) ⇔ x > 0

Ta có: log₄(x + 6) < 2 – 2log₄x ⇔ log₄(x + 6) < log₄16 – 2log₄x

⇔ log₄(x + 6) < log₄16 – log₄x² ⇔ log₄(x + 6) < \({\log _4}\frac{{16}}{{{x^2}}}\) ⇔ x + 6 < \(\frac{{16}}{{{x^2}}}\)

⇔ x³ + 6x² – 16 < 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x < - 2 - 2\sqrt 3 \\ - 2 < x < - 2 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, suy ra 0 < x < –2 + \(2\sqrt 3 \) ≈ 1,46

Suy ra nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là x = 1.

Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\6 - 5x > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right.\) ⇔ \(\frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}\)

Ta có: log₂(3x – 2) + \({\log _{\frac{1}{2}}}(6 - 5x)\) > 0 ⇔ log₂(3x – 2) + \({\log _{{2^{ - 1}}}}(6 - 5x)\) > 0

⇔ log₂(3x – 2) – log₂(6 – 5x) > 0 ⇔ log₂(3x – 2) > log₂(6 – 5x)

Vì a = 2 > 1 ⇒ 3x –2 > 6 – 5x ⇔ 3x + 5x > 6 + 2 ⇔ 8x > 8 ⇔ x > 1

Kết hợp với điều kiện, suy ra 1 < x < \(\frac{6}{5}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left( {1;\frac{6}{5}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - x - 2 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\) ⇔ x > 2

Ta có: \({\log _2}({x^2} - x - 2)\) ≥ log_0,5(x – 1) + 1 ⇔ \({\log _2}({x^2} - x - 2)\) ≥ \({\log _{{2^{ - 1}}}}(x - 1)\) + 1

⇔ \({\log _2}({x^2} - x - 2)\) ≥ –log₂(x – 1) + 1 ⇔ \({\log _2}({x^2} - x - 2)\) + log₂(x – 1) ≥ 1

⇔ \({\log _2}({x^2} - x - 2)(x - 1)\) ≥ 1 ⇔ (x² – x – 2)(x – 1) ≥ 2¹ ⇔ (x² – x – 2)(x – 1) ≥ 2

⇔ x³ – x² – x² + x – 2x + 2 ≥ 2 ⇔ x³ – 2x² – x ≥ 0 ⇔ x ∈ [1 – \(\sqrt 2 \), 0] ∪ [1 +\(\sqrt 2 \), \( + \infty \))

Kết hợp với điều kiện, suy ra x ≥ 1 + \(\sqrt 2 \) ≈ 2,41

Suy ra các nghiệm nguyên thuộc [0; 2023] là x ∈ {3; 4; 5;…; 2023}

⇒ Bất phương trình có: 2021 nghiệm nguyên thuộc [0; 2023]

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình thuộc [0; 2023] là 2021.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện –x + 3 > 0 ⇔ x < 3

Ta có: log₂(–x + 3) ≥ 1. Vì a = 2 > 1

⇒ –x + 3 ≥ 2¹ ⇔ –x + 3 ≥ 2 ⇔ –x ≥ –1 ⇔ x ≤ 1.

Kết hợp với điều kiện, suy ra x ≤ 1 ⇒ Nghiệm lớn nhất của bất phương trình bằng 1.

b) Sai. Điều kiện: 2x – 3 > 0 ⇔ x > \(\frac{1}{3}\)

Ta có: \({\log _{\frac{1}{3}}}(2x - 3)\) ≤ 3. Vì 0 < a = \(\frac{1}{3}\) < 1

⇒ 2x – 3 ≥ \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}\) ⇔ 2x – 3 ≥ \(\frac{1}{{27}}\) ⇔ 2x ≥ \(\frac{{82}}{{27}}\) ⇔ x ≥ \(\frac{{41}}{{27}}\)

Kết hợp với điều kiện, suy ra x ≥ \(\frac{{41}}{{27}}\)

⇒ Nghiệm bé nhất của bất phương trình bằng \(\frac{{41}}{{27}}\).

c) Sai. Điều kiện: x² + 5x + 4 > 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x > - 1\\x < - 4\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện nghiệm của bất phương trình là x > –1 hoặc x < –4.

d) Đúng. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x - 1 > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x < - \frac{1}{2}\\x > - 1\end{array} \right.\) ⇔ –1 < x < \( - \frac{1}{2}\)

Ta có: \({\log _{\frac{1}{9}}}( - 2x - 1) > {\log _{\frac{1}{9}}}(x + 1)\). Vì 0 < a = \(\frac{1}{9}\) < 1

⇒ –2x – 1 < x + 1 ⇔ –2x – x < 1 + 1 ⇔ –3x < 2 ⇔ x > \( - \frac{2}{3}\)

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là \( - \frac{2}{3} < x < - \frac{1}{2}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{1}{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: x² – 5x + 7 > 0 ⇔ \({\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\) > \(\frac{3}{4}\) > 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ x ∈ ℝ

b) Đúng. Ta có: \({\log _{\frac{1}{{10}}}}({x^2} - 5x + 7)\) ≥ 0. Vì 0 < a = \(\frac{1}{{10}}\) < 1

⇒ x² – 5x + 7 ≤ \({\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^0}\) ⇔ x² – 5x + 7 ≤ 1 ⇔ x² – 5x + 6 ≤ 0.

⇒ Bất phương trình có chung tập nghiệm với x² – 5x + 6 ≤ 0.

c) Sai. Theo câu b), bất phương trình ⇔ x² – 5x + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3

Kết hợp với điều kiện theo câu a), suy ra nghiệm của bất phương trình là 2 ≤ x ≤ 3

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = [2; 3] ⇒ a = 2; b = 3

Ta có: 3 số a; b; 5 lập thành cấp số cộng ⇔ 2b = a + 5

Mà 2 ⋅ 3 ≠ 2 + 5 (do 6 ≠ 7) ⇒ a; b; 5 không là một cấp số cộng.

d) Đúng. Ta có: [a; b] ∪ (2; 9) = [2; 3] ∪ (2; 9) = [2; 9).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện: x – 1 > 0 ⇔ x > 1.

b) Đúng. Vì 0 < a = \(\frac{1}{3}\) < 1 ⇒ x – 1 ≤ \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}}\) ⇔ x – 1 ≤ (3^–1)^–2 ⇔ x – 1 ≤ 3²

⇔ x – 1 ≤ 9.

c) Đúng. Theo câu b), ta có: x – 1 ≤ 9 ⇔ x ≤ 10.

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là: 1 < x ≤ 10.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1; 10].

d) Sai. Theo câu c), tập nghiệm của bất phương trình là (1; 10]

Với x ∈ ℤ ⇒ x ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Vậy tổng cộng có 9 giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{(x + 1)^2} > 0\\2x > 0\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x > 0\end{array} \right.\) ⇔ x > 0

Ta có: log_0,5(x + 1)² ≤ log_0,52x. Vì 0 < a = 0,5 < 1

⇒ (x + 1)² ≥ 2x ⇔ x² + 2x + 1 – 2x ≥ 0 ⇔ x² + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ.

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là x > 0.

Vây tập nghiệm của bất phương trình là S = (0; \( + \infty \)) ⇒ a = 0.

b) Đúng. Theo câu a), S = (0; \( + \infty \))

⇒ (a; b) ∩ (3; 2024) = (0; \( + \infty \)) ∩ (3; 2024) = (3; 2024).

c) Sai. Vì với a = 0 ⇒ P = 0² + 3 ⋅ 0 + 5 = 5 ≠ 2.

d) Sai. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right)\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right)\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^3}}}\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{x}} \right)\) = 0 + 0 + 0 = 0

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right)\) = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 3 > 0\\{x^2} + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right.\) (*)

Ta có: x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 > 0; x² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ

⇒ (*) ⇔ m > 0.

Điều kiện của tham số để bất phương trình có nghĩa với mọi x ∈ ℝ là m > 0.

b) Đúng. Ta có: log₃(x² + 2x + 3) – log₃(x² + 1) ≥ log₃m

⇔ \({\log _3}\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ≥ log₃m. Vì a = 3 > 1

⇒ \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ≥ m với mọi x ∈ ℝ.

c) Đúng. Đặt y = \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ⇔ y(x² + 1) = x² + 2x + 3

⇔ yx² + y = x² + 2x + 3 ⇔ yx² – x² – 2x + y – 3 = 0

⇔ (y – 1)x² – 2x + (y – 3) = 0 (1)

*TH1: y – 1 = 0 ⇔ y = 1

Thay y = 1 vào phương trình (1) ⇔ 0 ⋅ x² – 2x + (1 – 3) = 0 ⇔ –2x – 2 = 0 ⇔ x = –1

*TH2: y – 1 ≠ 0 ⇔ y ≠ 1

Phương trình có nghiệm ⇔ △' ≥ 0 ⇔ (–1)² – (y – 1)(y – 3) ≥ 0

⇔ –y² + 4y – 2 ≥ 0 ⇔ 2 – \(\sqrt 2 \) ≤ y ≤ 2 + \(\sqrt 2 \).

Vì 2 – \(\sqrt 2 \) ≤ y ≤ 2 +\(\sqrt 2 \) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là 2 – \(\sqrt 2 \).

d) Đúng. Theo câu b), ta có \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ≥ m với mọi x ∈ ℝ.

Mà f(x) = \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) nên để bất phương trình đúng với mọi x ∈ ℝ ⇒ m ≤ f(x), ∀x.

⇔ m ≤ f_min. Mà f_min = 2 – \(\sqrt 2 \) ⇒ m ≤ 2 – \(\sqrt 2 \) .

Kết hợp với điều kiện, suy ra 0 < m ≤ 2 – \(\sqrt 2 \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Điều kiện: x > 0

log₂3 + log₅x ≥ 1 + log₂3 ⋅ log₅x ⇔ log₂3 + log₅x – 1 – log₂3 ⋅ log₅x ≥ 0

⇔ log₅x⋅(1 – log₂3) – (1 – log₂3) ≥ 0

⇔ (log₅x – 1) (1 – log₂3) ≥ 0

Vì 1 – log₂3 ≈ –0,58 < 0 và cơ số 5 > 1 nên bất phương trình trở thành:

log₅x – 1 ≤ 0 ⇔ log₅x ≤ 1 ⇔ x ≤ 5

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là 0 < x ≤ 5

Mà x ∈ ℤ ⇒ x ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Vậy số phần tử của S bằng 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5 > 0\\4x > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 5 \\x < - \sqrt 5 \end{array} \right.\\x > 0\end{array} \right.\) ⇔ x > \(\sqrt 5 \)

Ta có: log₃(x² – 5) < log₃4x. Vì cơ số 3 > 1 nên bất phương trình đã cho trở thành:

x² – 5 < 4x ⇔ x² – 4x – 5 < 0 ⇔ –1 < x < 5

Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (\(\sqrt 5 \); 5)

⇒ Các nghiệm nguyên của bất phương trình là x ∈ {3; 4}.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Điều kiện: x – 2 > 0 ⇔ x > 2

Ta có: \({\log _{\frac{1}{2}}}(x - 2)\) ≥ –3. Vì cơ số 0 < \(\frac{1}{2}\) < 1 nên bất phương trình trở thành:

x – 2 ≤ \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}}\) ⇔ x – 2 ≤ 8 ⇔ x ≤ 10

Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (2; 10].

Do đó, nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 121

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x - 4 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x > 4\end{array} \right.\) ⇔ x > 4

Ta có: log₃(x + 2) + log₃(x – 4) ≤ 3 ⇔ log₃(x + 2)(x – 4) ≤ 3

Vì cơ số 3 > 1 nên bất phương trình trở thành:

(x + 2)(x – 4) ≤ 3³ ⇔ x² – 2x – 8 ≤ 27 ⇔ x² – 2x – 35 ≤ 0 ⇔ –5 ≤ x ≤ 7

Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (4; 7].

Suy ra a = 4, b = 7. Giá trị của biểu thức T = (a + b)² = (4 + 7)² = 121.

Vậy T = 121.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7

Điều kiện: x > 0

Đặt t = log₂x (t ∈ ℝ)

⇒ t² – 4t + 3 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 3

Thay t = log₂x ⇒ 1 ≤ log₂x ≤ 3

Vì cơ số 2 > 1 nên bất phương trình trở thành: 2¹ ≤ x ≤ 2³ ⇔ 2 ≤ x ≤ 8

Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = [2; 8]

Suy ra các giá trị nguyên thỏa mãn của bất phương trình là x ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Vậy số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình trên là: 7.