Bài tập Phương trình mũ lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Đưa vế phải về cơ số 3, ta có 1 = 3⁰.

Từ đó phương trình trở thành  ⇔ x² – 4 = 0 ⇔ x = 2 và x = – 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 3^x = 81 ⇔ 3^x = 3⁴ ⇔ x = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2^x = 7. Lấy logarit cơ số 2 cho hai vế, ta được:

log₂2^x = log₂7 ⇔ x ⋅ log₂2 = log₂7 ⇔ x = log₂7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: 9^x+1 = 27^2x+1 ⇔ 3^2(x+1) = 3^3(2x+1)

⇔ 3^2x+2 = 3^6x+3 ⇔ 2x + 2 = 6x + 3

⇔ 2x – 6x = 3 – 2 ⇔ –4x = 1 ⇔ x = \( - \frac{1}{4}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ { - \frac{1}{4}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: 4^2x–3 = 5. Lấy logarit cơ số 4 cho hai vế, ta được:

log₄4^{2x – 3} = log₄5 ⇔ (2x – 3) ⋅ log₄4 = log₄5 ⇔ 2x – 3 = log₄5

⇔ 2x = 3 + log₄5 ⇔ 2x = 3 + \({\log _{{2^2}}}5\) ⇔ 2x = 3 + \(\frac{1}{2}\)log₂5

⇔ x = \(\frac{3}{2}\) + \(\frac{{\frac{1}{2}{{\log }_2}5}}{2}\) ⇔ x = \(\frac{3}{2}\) + \(\frac{1}{4}\)log₂5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: Đặt t = 3^x (t > 0) ⇒ 9^x = t²

⇒ t² – 5t + 6 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn Điều kiện) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{3^x} = 2\\{3^x} = 3\end{array} \right.\) ;

Lấy logarit cơ số 3 cho 2 vế của từng nghiệm, ta được:

\(\left[ \begin{array}{l}{\log _3}{3^x} = {\log _3}2\\{\log _3}{3^x} = {\log _3}3\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = {\log _3}2\\x = 1\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {log₃2; 1}.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Ta có: 3^x–2 = 27 ⇔ 3^x–2 = 3³ ⇔ x – 2 = 3 ⇔ x = 3 + 2 ⇔ x = 5.

Vậy phương trình có đúng một nghiệm x = 5.

b) Sai. Ta có: 5^x–2 = \({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^2}\)

⇔ 5^x–2 = (5^–2)² ⇔ 5^x–2 = 5^–4

⇔ x – 2 = –4 ⇒ x = –4 + 2 ⇒ x = –2.

Mà – 2 < 0 ⇒ Phương trình có nghiệm nhỏ hơn 0.

c) Sai. Ta có: 2^x–1 = 8 ⇔ 2^x–1 = 2³ ⇔ x – 1 = 3 ⇔ x = 4.

Lại có: x² – 6x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)² = 0 ⇔ x = 3 ≠ 4.

Vậy phương trình 2^x–1 = 8 không có chung tập nghiệm với phương trình x² – 6x + 9 = 0.

d) Sai. Ta có: 7^x+2  – 40 ⋅ 7^x = 9 ⇔ 7² ⋅ 7^x – 40 ⋅ 7^x = 9

⇔ 7^x ⋅ (7² – 40) = 9 ⇔ 7^x ⋅ (49 – 40) = 9

⇔ 9 ⋅ 7^x = 9 ⇔ 7^x = 1 ⇔ 7^x = 7⁰ ⇔ x = 0.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^2} + 2x + 5)\) = 5 ≠ 6.

Vậy khẳng định d) sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}\) = \({\left( {\frac{1}{{\frac{3}{2}}}} \right)^{x + 3}}\)= \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - (x + 3)}}\) = \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 3}}\).

 ⇒ \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}}\)= \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}\) ⇔ \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}}\) = \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 3}}\)

⇔ x – 5 = – x – 3 ⇔ x + x = –3 + 5 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 > 0.

b) Đúng. Ba số a; 2; 3 = 1; 2; 3 tạo thành cấp số cộng với công sai d = 1.

c) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 2x + 5)\) = 1² + 2 ⋅ 1 + 5 = 8.

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 2x + 5)\) = 8.

d) Đúng. Ta có: x² + x + 1 = \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}\) + \(\frac{3}{4}\) ≥ \(\frac{3}{4}\) > 0

Do đó x² + x + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

⇒ Phương trình x² + x + 1 = 0 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Sai. Ta có: Điều kiện x > 0

Chia cả hai vế của phương trình cho 3^{2log x} > 0, ta được:

4\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2\log x}}\) – \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}}\) – 18 = 0

Đặt \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}}\) = t (t > 0) ⇒ 4t² – t – 18 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{9}{4}\\t = - 2\end{array} \right.\). Vì t > 0 ⇒ t = –2 loại.

Với t = \(\frac{9}{4}\), ta có: \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}}\) = \(\frac{9}{4}\) = \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 2}}\)⇔ log x = –2 ⇔ x = 10^–2 = 0,01.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất a = 10^–2 = 0,01.

⇒ (a – 10)² = 1 ⇒ (0,01 – 10)² = 99,8001 ≠ 1.

b) Đúng. Theo câu a), \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}}\) = \(\frac{9}{4}\) ⇔ x = 0,01 = a.

Do đó, a cũng là nghiệm của phương trình \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}}\) = \(\frac{9}{4}\).

c) Sai. Thay a = 0,01 vào vế trái, ta có:

0,01² + 0,01 + 1 = 1,0101 ≠ 2.

d) Sai. Theo câu a), a = 10^–2 ≠ 10².

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Ta có: 2^x+1 = 16 ⇔ 2^x+1 = 2⁴ ⇔ x + 1 = 4 ⇔ x = 3.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3 ≠ 2.

b) Đúng. Vì x = 3 ∈ ℤ nên nghiệm của phương trình là số nguyên.

c) Đúng. Theo câu a), phương trình có nghiệm x = 3. Mà 3 ∈ (1; 3]

⇒ Nghiệm của phương trình thuộc khoảng (1; 3].

d) Đúng. Thay a = 3 và biểu thức P, ta được:

P = 3² – 3 + 1 = 9 – 3 + 1 = 7

Vậy P = 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Ta có: 9^x–1 = 27^2–x ⇔ 3^2(x–1) = 3^3(2–x)

⇔ 3^2x–2 = 3^6–3x ⇔ 2x – 2 = 6 – 3x ⇔ 2x + 3x = 6 + 2 ⇔ 5x = 8 ⇔ x = \(\frac{8}{5}\) = a.

b) Sai. Thay a = \(\frac{8}{5}\), ta có: 5 ⋅ \(\frac{8}{5}\) – 1 = 8 – 1 = 7 ≠ 8.

c) Đúng. Theo câu a), x = a = \(\frac{8}{5}\) = 1,6 > 1.

d) Sai. Thay a = \(\frac{8}{5}\), ta có: \({\left( {\frac{8}{5}} \right)^2} - 3 \cdot \frac{8}{5}\) + 2 = \(\frac{{64}}{{25}}\) – \(\frac{{24}}{5}\) + 2 = \( - \frac{6}{{25}}\) ≠ 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Ta có: \(\sqrt 2 \)⋅ 2^3x+1 = 8 ⇔ 2^3x+1 = \(\frac{8}{{\sqrt 2 }}\) = 4\(\sqrt 2 \)

Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: log₂2^3x+1 = log₂4\(\sqrt 2 \)

⇔ (3x +1)log₂2 = log₂4\(\sqrt 2 \) ⇔ 3x + 1 = \(\frac{5}{2}\) ⇔ x = \(\frac{{\frac{5}{2} - 1}}{3}\) = \(\frac{1}{2}\).

Vậy phương trình có một nghiệm là x = \(\frac{1}{2}\)

⇒ a = 1; b = 2 ⇒ 10a + b = 10 ⋅ 1 + 2 = 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: –5

Ta có: \({2^{{x^2} + 2x}}\) = 8^2–x ⇔ \({2^{{x^2} + 2x}}\) = (2³)^2–x ⇔ \({2^{{x^2} + 2x}}\) = 2^6–3x

⇔ x² + 2x = 6 – 3x ⇔ x² + 2x + 3x – 6 = 0 ⇔ x² + 5x – 6 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right.\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng: 1 + (–6) = –5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta có: 5^2x–4 = 25 ⇔ 5^2x–4 = 5² ⇔ 2x – 4 = 2 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: –10

Ta có: \({2^{{x^2}}}\) = \(\frac{1}{{{4^{x - 4}}}}\) ⇔ \({2^{{x^2}}}\) = 4^4–x ⇔ \({2^{{x^2}}}\) = 2^2(4–x)

⇔ x² = 2(4 – x) ⇔ x² = 8 – 2x ⇔ x² + 2x – 8 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 2\end{array} \right.\).

⇒ a = –4; b = 2 ⇒ 2a – b = 2 ∙ (–4) – 2 = –10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 585

Đặt 2^x = t (t > 0)

Ta có: t² – 5t + 6 = 0 ⇔ (t – 2)(t – 3) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 3\end{array} \right.\) (TMĐK) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{2^x} = 2\\{2^x} = 3\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{\log _2}{2^x} = {\log _2}2\\{\log _2}{2^x} = {\log _2}3\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {\log _2}3\end{array} \right.\)

Do đó 1000(x₂ – x₁) = 1000(log₂3 – 1) ≈ 1000(1,585 – 1) ≈ 585.