Bài tập Phương trình lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x > 0 và x – 1 > 0, tức x > 1.

Khi đó phương trình trở thành log₅[x(x – 1)] = 1 hay x² – x – 5 = 0.

Từ đó tìm được $\text{x}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\text{ và x}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$  nhưng chỉ có nghiệm $\text{x}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$  thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\text{x}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$  .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện x – 5 > 0 hay x > 5

Ta có: log₂(x – 5) = 3 ⇔ x – 5 = 2³ ⇔ x – 5 = 8 ⇔ x = 8 + 5 = 13 (thỏa mãn điều kiện).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 3 > 0\end{array} \right.\) ⇔ x > 3.

Ta có: log₂x + log₂(x – 3) = 2 ⇔ log₂(x² – 3x) = 2

⇔ x² – 3x = 2² = 4 ⇔ x² – 3x – 4 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\).

Mà x > 3 ⇒ Phương trình có một nghiệm x = 4 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x > 0\\2x + 3 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 4\end{array} \right.\\x > - \frac{3}{2}\end{array} \right.\) ⇔ x > 0.

Ta có: log₃(x² + 4x) + \({\log _{\frac{1}{3}}}(2x + 3)\) = 0 ⇔ log₃(x² + 4x) + \({\log _{{3^{ - 1}}}}(2x + 3)\) = 0

⇔ log₃(x² + 4x) – log₃(2x + 3) = 0 ⇔ log₃(x² + 4x) = log₃(2x + 3)

⇔ x² + 4x = 2x + 3 ⇔ x² + 4x – 2x – 3 = 0 ⇔ x² + 2x – 3 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện ta được x = 1.

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: 3x – 1 > 0 hay x > \(\frac{1}{3}\)

Ta có: log₃(3x – 1) = 2 ⇔ 3x – 1 = 3² = 9 ⇔ x = \(\frac{{9 + 1}}{3}\) = \(\frac{{10}}{3}\) (thỏa mãn điều kiện).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: 2^x – 1 > 0 ⇔ 2^x > 1 ⇔ 2^x > 2⁰ ⇔ x > 0

Ta có: log₃(2^x – 1) = 4 ⇔ 2^x – 1 = 3⁴ ⇔ 2^x – 1 = 81

⇔ 2^x = 82.

Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: log₂2^x = log₂82 ⇔ x = log₂82 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm x = log₂82.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: 3 – x > 0 ⇔ –x > –3 ⇔ x < 3.

b) Đúng. Ta có: 4 – log(3 – x) = 3 ⇔ log(3 – x) = 4 – 3 ⇔ log(3 – x) = 1.

c) Sai. Theo câu b), log(3 – x) = 1

⇔ 3 – x = 10¹ ⇔ 3 – x = 10 ⇔ x = 3 – 10 ⇔ x = –7 (thỏa mãn điều kiện)

Vì –7 < 0 và –7 ∈ ℤ ⇒ Nghiệm của phương trình là một số nguyên âm.

d) Đúng. Vì x = –7 thuộc khoảng (–8; –6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: x² – 3x + 21 > 0 (1).

log₅\(\sqrt {{x^2} - 3x + 21} \) = 1 ⇔ \(\sqrt {{x^2} - 3x + 21} \) = 5¹ = 5

⇔ \(\sqrt {{x^2} - 3x + 21} \) = \(\sqrt {25} \) ⇔ x² – 3x + 21 = 25 ⇔ x² – 3x – 4 = 0.

Vậy phương trình (*) có chung tập nghiệm với phương trình x² – 3x – 4 = 0.

b) Sai. Theo câu a), phương trình (*) Û x² – 3x – 4 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\).

Thay lần lượt hai giá trị này vào điều kiện (1), ta được:

\(\left[ \begin{array}{l}{( - 1)^2} - 3 \cdot ( - 1) + 21 = 25 > 0\\{4^2} - 3 \cdot 4 + 21 = 25 > 0\end{array} \right.\)(thỏa mãn điều kiện)

⇒ Phương trình có tập nghiệm là S = {–1; 4}.

⇒ Tổng các nghiệm của phương trình bằng: (–1) + 4 = 3.

c) Sai. Theo câu b), hai nghiệm của phương trình lần lượt là x₁ = –1; x₂ = 4.

Ta có: x₁ + 8 = (–1) + 8 = 7

2x₂ = 2 ⋅ 4 = 8

Mà x₁ + 8 ≠ 2x₂ (do 7 ≠ 8).

Do số đứng giữa không bằng trung bình cộng của hai số hạng kề bên, nên ba số x₁; x₂; 8 không tạo thành một cấp số cộng.

d) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} (x - 2)\) = x₁ – 2 = –1 – 2 = –3.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} (x - 2)\) = x₂ – 2 = 4 – 2 = 2.

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} (x - 2) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} (x - 2)\) = –3 + 2 = –1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Điều kiện: x² – x + 2 > 0 ⇔ \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}\) > 0 đúng với mọi x ∈ ℝ.

Vậy phương trình luôn xác định với mọi x ∈ ℝ.

b) Đúng. Ta có: log₂(x² – x + 2) = 1 ⇔ x² – x + 2 = 2¹ = 2

⇔ x² – x = 0 ⇔ x(x – 1) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = 0 và x = 1.

c) Đúng. Theo câu b), phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = 0 và x = 1

⇒ Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là: 0² + 1² = 1.

d) Sai. Theo câu b), phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = 0 và x = 1

Ta có: P = x₁ ⋅ x₂ = 0 ⋅ 1 = 0.

Vì hai nghiệm trái dấu thì tích của chúng phải nhỏ hơn 0, do đó khẳng định này là sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x > 0\\{(x - 3)^2} > 0\end{array} \right.\) ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.\\x \ne 3\end{array} \right.\) ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.\).

b) Sai. Ta có: log₂(x² – 3x) = log₄(x – 3)² + 2

⇔ log₂(x² – 3x) = \({\log _{{2^2}}}{(x - 3)^2}\) + 2

⇔ log₂(x² – 3x) = \(\frac{2}{2}\)log₂|x – 3| + 2

⇔ log₂(x² – 3x) = log₂|x – 3| + 2.

Vì khi x < 0, |x – 3| = 3 – x ≠ x – 3 ⇒ không thể viết log₂|x – 3| = log₂(x – 3).

Vậy khẳng định b sai.

c) Sai. Ta có: log₂(x² – 3x) = log₂|x – 3| + 2 ⇔ log₂(x² – 3x) = log₂|x – 3| + log₂4

⇔ log₂(x² – 3x) = log₂(4∣x − 3∣) ⇔ x² – 3x = 4∣x − 3∣

* TH1: x > 3: x² – 3x = 4∣x − 3∣ ⇔ x² – 3x = 4(x – 3)

⇔ x² – 7x + 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 4) = 0 ⇔ x = 3 (loại) hoặc x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

* TH2: x < 0: x² – 3x = 4∣x − 3∣ ⇔ x² – 3x = 4(3 – x)

⇔ x² + x – 12 = 0 ⇔ (x + 4)(x − 3) = 0 ⇔ x = – 4 (thỏa mãn điều kiện) hoặc x = 3 (loại).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = –4; x = 4.

d) Đúng. Theo câu c), phương trình có hai nghiệm x = –4; x = 4

⇒ Tổng bình phương các nghiệm bằng: (–4)² + 4² = 16 + 16 = 32.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện: x > 0.

log₃x = 4 ⇒ x = 3⁴ = 81 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 81.

b) Đúng. Điều kiện: 2x – 2 > 0 ⇒ x > 1.

Vậy phương trình có điều kiện nghiệm là x > 1.

c) Đúng. Điều kiện: x² + 5x + 10 > 0 (*)

Ta có: log₄(x² + 5x + 10) = 2

⇔ x² + 5x + 10 = 4² ⇔ x² + 5x – 6 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right.\).

Thay lần lượt hai giá trị này vào (*), ta được:

\(\left[ \begin{array}{l}{1^2} + 5 \cdot 1 + 10 = 16 > 0\\{( - 6)^2} + 5 \cdot ( - 6) + 10 = 16 > 0\end{array} \right.\)(thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {–6; 1}.

⇒ Tổng các nghiệm của phương trình bằng: (–6) + 1 = –5.

d) Sai. 3 ⋅ e^2x+4 = 4 ⇔ e^2x+4 = \(\frac{4}{3}\)

Lấy ln cả hai vế, ta được: 2x + 4 = ln\(\left( {\frac{4}{3}} \right)\) ⇔ 2x = ln\(\left( {\frac{4}{3}} \right)\) – 4 ⇔ x = \(\frac{1}{2}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right)\) – 2.

Vậy phương trình có một nghiệm là x = \(\frac{1}{2}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right)\) – 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: –14

Điều kiện: –x + 2 > 0 ⇔ –x > –2 ⇔ x < 2.

Ta có: \({\log _{\frac{1}{4}}}( - x + 2)\) = –2 ⇔ –x + 2 = \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 2}}\)

⇔ –x + 2 = (4^–1)^–2 = 4² ⇔ –x + 2 = 16 ⇔ –x = 14 ⇔ x = –14 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm x = –14.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 > 0\\x - 2 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2}\\x > 2\end{array} \right.\) ⇔ x > 2

Ta có: log₃(2x – 3) = log₃(x – 2) + 1 ⇔ log₃(2x – 3) = log₃(x – 2) + log₃3

⇔ log₃(2x – 3) = log₃3(x – 2) ⇔ 2x – 3 = 3(x – 2)

⇔ 2x – 3 = 3x – 6 ⇔ 2x – 3x = –6 + 3 ⇔ –x = –3 ⇔ x = 3.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 43

Điều kiện: x + 4 > 0 ⇔ x > –4

Ta có: log₅(x + 4) = 2 ⇔ x + 4 = 5² ⇔ x + 4 = 25

⇔ x = 25 – 4 ⇔ x = 21 (thỏa mãn điều kiện)

⇒ Phương trình có nghiệm x = 21

⇒ P = 2 ⋅ 21 + 1 = 43.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x + 3 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x > - 3\end{array} \right.\) ⇔ x > 1.

Ta có: log₂(x – 1) + log₂(x + 3) = 5 ⇔ log₂[(x – 1)(x + 3)] = 5

⇔ (x – 1)(x + 3) = 2⁵ ⇔ x² + 3x – x – 3 = 32

⇔ x² + 2x – 3 = 32 ⇔ x² + 2x – 35 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 7\end{array} \right.\)

Đối chiếu với điều kiện ⇒ x = 5 thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 > 0\\2x - 4 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}(x - 1)(x - 2) > 0\\x > 2\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.\\x > 2\end{array} \right.\) ⇔ x > 2

Ta có: log(x² – 3x + 2) = 2log₁₀₀(2x – 4)

⇔ log(x² – 3x + 2) = \(2{\log _{{{10}^2}}}(2x - 4)\)

⇔ log(x² – 3x + 2) = \(\frac{2}{2}\)log(2x – 4)

⇔ log(x² – 3x + 2) = log(2x – 4) ⇔ x² – 3x + 2 = 2x – 4

⇔ x² – 3x – 2x + 2 + 4 = 0 ⇔ x² – 5x + 6 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Đối chiếu với điều kiện ⇒ x = 3 thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.